อนุพันธ์อันดับสอง

{{#invoke:sidebar|collapsible | class = plainlist | titlestyle = padding-bottom:0.25em; | pretitle = บทความนี้เป็นส่วนหนึ่งของ | title = แคลคูลัส | image = $\underset{a}{\overset{b}{\int }}{f}^{\prime }(t)dt=f(b)-f(a)$ | listtitlestyle = text-align:center; | liststyle = border-top:1px solid #aaa;padding-top:0.15em;border-bottom:1px solid #aaa; | expanded = Differential

| abovestyle = padding:0.15em 0.25em 0.3em;font-weight:normal; | above = ทฤษฎีบทมูลฐาน แม่แบบ:Startflatlist

• ลิมิตของฟังก์ชัน
• ความต่อเนื่อง

• ทฤษฎีบทค่าเฉลี่ย
• ทฤษฎีบทของโรลล์

| list2name = อนุพันธ์ | list2titlestyle = display:block;margin-top:0.65em; | list2title = แคลคูลัสเชิงอนุพันธ์ | list2 =

แม่แบบ:Sidebar

| list3name = ปริพันธ์ | list3title = แคลคูลัสเชิงปริพันธ์ | list3 =

แม่แบบ:Sidebar

| list4name = อนุกรม | list4title = อนุกรม | list4 =

แม่แบบ:Sidebar

| list5name = เวกเตอร์ | list5title = แคลคูลัสเวกเตอร์ | list5 =

แม่แบบ:Sidebar

| list6name = หลายตัวแปร | list6title = แคลคูลัสหลายตัวแปร | list6 =

แม่แบบ:Sidebar

| list7name = พิเศษ | list7title = พิเศษ | list7 = แม่แบบ:Startflatlist

• แคลคูลัสเชิงเศษส่วน
• มาลียาแว็ง
• แคลคูลัสเฟ้นสุ่ม
• แคลคูลัสของการแปรผัน

}}

อนุพันธ์อันดับสองของ ฟังก์ชันกำลังสองมีค่าคงที่

ในแคลคูลัส อนุพันธ์อันดับสอง (แม่แบบ:Langx) ของฟังก์ชัน แม่แบบ:Math คือ อนุพันธ์ของอนุพันธ์ของ แม่แบบ:Math อนุพันธ์อันดับสองสามารถกล่าวในลักษณะไม่เป็นทางการได้ว่าเป็น "อัตราการเปลี่ยนแปลงของอัตราการเปลี่ยนแปลง" ตัวอย่างเช่น อนุพันธ์อันดับสองของตำแหน่งของวัตถุเทียบกับเวลาคือความเร่งขณะหนึ่งของวัตถุ หรืออัตราที่ความเร็วของวัตถุเปลี่ยนแปลงไปตามเวลา

ในสัญกรณ์ไลบ์นิซ$$a=\frac{dv}{dt}=\frac{d^{2}x}{d{t}^2}$$โดยที่ แม่แบบ:Math คือ ความเร่ง, แม่แบบ:Math คือ ความเร็ว, แม่แบบ:Mvar คือ เวลา, แม่แบบ:Math คือ ตำแหน่ง และ d คือ "เดลตา" หรือการเปลี่ยนแปลงขณะหนึ่ง นิพจน์สุดท้าย $\frac{d^{2}x}{d{t}^2}$ คือ อนุพันธ์อันดับสองของตำแหน่ง (แม่แบบ:Math) เทียบกับเวลา

บนกราฟของฟังก์ชัน อนุพันธ์อันดับสองสอดคล้องกับความโค้ง หรือความเว้าของกราฟ กราฟของฟังก์ชันที่มีอนุพันธ์อันดับสองเป็นลบจะเว้าบนในขณะที่กราฟของฟังก์ชันที่มีอนุพันธ์อันดับสองเป็นลบจะโค้งในทิศตรงกันข้าม

กฎยกกำลังอนุพันธ์อันดับสอง

กฎยกกำลังสำหรับอนุพันธ์อันดับหนึ่ง หากกระทำสองครั้งจะสามารถสร้างกฎยกกำลังอนุพันธ์อันดับสองได้ดังนี้$$\frac{d^2}{d{x}^2}{x}^n=\frac{d}{dx}\frac{d}{dx}{x}^n=\frac{d}{dx}\left(n{x}^{n-1}\right)=n\frac{d}{dx}{x}^{n-1}=n(n-1)x^{n-2}$$

สัญกรณ์

อนุพันธ์อันดับสองของ $f(x)$ โดยมากจะเขียนเป็น $f^{″}(x)$ ซึ่งคือ $$f^{″}=\left(f^{\prime }\right)$$

เมื่อใช้สัญกรณ์ของไลบ์นิซสำหรับอนุพันธ์ อนุพันธ์อันดับสองของตัวแปรตาม แม่แบบ:Mvar เทียบตัวแปรอิสระ แม่แบบ:Mvar จะเขียนได้ว่า$$\frac{d^{2}y}{d{x}^2}$$ที่มาของสัญกรณ์นี้คือ$$\frac{d^{2}y}{d{x}^2}=\frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right)$$

ตัวอย่าง

เมื่อพิจารณาฟังก์ชัน

$$f(x)=x^3$$

อนุพันธ์ของ $f$ คือ ฟังก์ชัน

$$f^{\prime }(x)=3x^2$$

อนุพันธ์อันดับสองของ $f$ คือ อนุพันธ์ของ $f^{\prime }$ กล่าวคือ

$$f^{″}(x)=6x$$

ความสัมพันธ์กับกราฟ

กราฟของ $f(x)=\sin (2x)$ จาก $-\pi /4$ ถึง $5\pi /4$ - เส้นสัมผัสเป็นสีน้ำเงินตรงที่เส้นโค้งเว้าขึ้น สีเขียวตรงที่เส้นโค้งเว้าลง และเป็นสีแดงที่จุดเปลี่ยนเว้า (0, $\pi$ /2, และ $\pi$)

ความเว้า

อนุพันธ์อันดับสองของฟังก์ชัน แม่แบบ:Math สามารถใช้เพื่อกำหนด ความเว้า ของกราฟของ $f$ ฟังก์ชันที่มีอนุพันธ์อันดับสองเป็นบวกเรียก เว้าบน (หรือ นูน) ซึ่งมีความหมายว่าใกล้จุดที่สัมผัสกับฟังก์ชัน เส้นสัมผัสจะอยู่ใต้กราฟของฟังก์ชัน ในทำนองเดียวกัน ฟังก์ชันที่มีอนุพันธ์อันดับสองเป็นลบจะเรียกว่า เว้าล่าง (หรือ เว้า) และเส้นสัมผัสใกล้กับจุดที่สัมผัสจะอยู่เหนือกราฟของฟังก์ชัน

จุดเปลี่ยนเว้า

ถ้าอนุพันธ์อันดับสองของฟังก์ชันเปลี่ยนเครื่องหมาย กราฟของฟังก์ชันจะเปลี่ยนจากเว้าล่างไปเป็นเว้าบนหรือกลับกัน จุดที่ทำให้เครื่องหมายเปลี่ยนนี้เรียกว่า จุดเปลี่ยนเว้า (inflection point) หากอนุพันธ์อันดับสองเป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง แล้วอนุพันธ์อันดับสองต้องมีค่าเป็นศูนย์ที่จุดเปลี่ยนเว้าใด ๆ แม้ว่าไม่ใช่ทุกจุดที่อนุพันธ์อันดับสองเป็นศูนย์จะต้องเป็นจุดเปลี่ยนเว้าก็ตาม

การทดสอบอนุพันธ์อันดับสอง

ความสัมพันธ์ระหว่างอนุพันธ์อันดับสองกับกราฟสามารถใช้เพื่อทดสอบว่าจุดนิ่งของฟังก์ชัน (คือ จุดที่ $f^{\prime }(x)=0$) ว่าใช่ค่าสูงสุดเฉพาะที่หรือค่าต่ำสุดเฉพาะที่ไหม

• ถ้า $f^{″}(x)<0$, แล้ว $f$ มีค่าสูงสุดเฉพาะที่ที่ $x$
• ถ้า $f^{″}(x)>0$, แล้ว $f$ มีค่าต่ำสุดเฉพาะที่ที่ $x$
• ถ้า $f^{″}(x)=0$ การทดสอบอนุพันธ์อันดับสองใช้ไม่ได้กับจุด $x$ นี้ อาจเป็นจุดเปลี่ยนเว้าได้

เหตุผลที่อนุพันธ์อันดับสองให้ผลลัพธ์เหล่านี้สามารถเห็นได้จากการเปรียบเทียบในชีวิตจริง พิจารณารถคันหนึ่งวิ่งไปข้างหน้าด้วยความเร็วสูงในตอนแรกแต่มีความเร่งเป็นลบ เห็นได้ชัดว่าตำแหน่งของรถ ณ จุดที่ความเร็วถึงศูนย์จะมีระยะทางเป็นค่าสูงสุดจากตำแหน่งเริ่มต้น หลังจากเวลานี้ ความเร็วจะกลายเป็นลบและรถจะถอยหลัง การเปรียบเทียบนี้ใช้ได้เช่นเดียวกับค่าต่ำสุด โดยทำให้รถในตอนแรกมีความเร็วเป็นลบมากแต่มีความเร่งเป็นบวกตรงกันข้ามกับกรณีของค่าสูงสุด

ลิมิต

สามารถเขียนลิมิตเพียงลิมิตเดียวแทนอนุพันธ์อันดับสองได้ดังนี้$$f^{″}(x)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(x+h)-2f(x)+f(x-h)}{h^2}$$ลิมิตนี้เรียกว่าอนุพันธ์สมมาตรอันดับสอง อนุพันธ์สมมาตรอันดับสองอาจหาค่าได้ แม้ว่าอนุพันธ์อันดับสองโดยนิยามปกติจะหาไม่ได้ก็ตาม

นิพจน์ทางขวาสามารถเขียนเป็นผลหารเชิงผลต่างของผลหารเชิงผลต่างได้ดังนี้$$\frac{f(x+h)-2f(x)+f(x-h)}{h^2}=\frac{\frac{f(x+h)-f(x)}{h}-\frac{f(x)-f(x-h)}{h}}{h}$$ลิมิตนี้สามารถมองได้เป็นรูปแบบที่ต่อเนื่องของผลต่างอันดับสองของลำดับ

อย่างไรก็ตาม การที่ลิมิตข้างต้นหาค่าได้ไม่ได้หมายว่าฟังก์ชัน $f$ นั้นมีอนุพันธ์อันดับสอง ลิมิตข้างต้นให้ความเป็นไปได้ในการคำนวณอนุพันธ์อันดับสอง แต่ไม่ใช่นิยาม ตัวอย่างค้าน เช่น ฟังก์ชันเครื่องหมาย $\mathrm{sgn}(x)$ ซึ่งนิยามว่า$$\mathrm{sgn}(x)=\{\begin{array}{cc}-1& \text{if }x<0,\\ 0& \text{if }x=0,\\ 1& \text{if }x>0\end{array}$$ฟังก์ชันเครื่องหมายไม่ต่อเนื่องที่ศูนย์ ดังนั้นอนุพันธ์อันดับสองที่ $x=0$ หาค่าไม่ได้ แต่ลิมิตข้างต้นหาค่าได้ที่ $x=0$$$\begin{array}{cc}\underset{h\to 0}{\lim }\frac{\mathrm{sgn}(0+h)-2\mathrm{sgn}(0)+\mathrm{sgn}(0-h)}{h^2}& =\underset{h\to 0}{\lim }\frac{\mathrm{sgn}(h)-2\cdot 0+\mathrm{sgn}(-h)}{h^2}\\ & =\underset{h\to 0}{\lim }\frac{\mathrm{sgn}(h)+(-\mathrm{sgn}(h))}{h^2}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{0}{h^2}=0\end{array}$$

การประมาณกำลังสอง

เช่นเดียวกับอนุพันธ์อันดับหนึ่งที่เกี่ยวข้องกับการประมาณเส้นตรง อนุพันธ์อันดับสองก็เกี่ยวข้องกับการประมาณกำลังสองที่ดีที่สุดของฟังก์ชัน แม่แบบ:Math เป็นฟังก์ชันกำลังสองซึ่งมีอนุพันธ์อันดับหนึ่งและสองที่เหมือนกับของ แม่แบบ:Math ที่จุดหนึ่ง ๆ สูตรของการประมาณกำลังสองที่ดีที่สุดของ แม่แบบ:Math รอบ ๆ จุด แม่แบบ:Math คือ$$f(x)\approx f(a)+f^{\prime }(a)(x-a)+\frac{1}{2}{f}^{″}(a)(x-a{)}^2$$การประมาณกำลังสองคือพหุนามเทย์เลอร์อันดับที่สองสำหรับฟังก์ชันที่มีจุดศูนย์กลางที่ แม่แบบ:Math

ค่าเฉพาะและเวกเตอร์เฉพาะของอนุพันธ์อันดับสอง

เงื่อนไขขอบจำนวนมากสามารถหาสูตรสำหรับค่าเฉพาะและเวกเตอร์เฉพาะของอนุพันธ์อันดับสองออกมาได้โดยชัดแจ้ง สมมติให้ $x\in [0,L]$ และเงื่อนไขขอบดิริชเลต์เอกพันธ์ุ (เช่น $v(0)=v(L)=0$ โดยที่ แม่แบบ:Math เป็นเวกเตอร์เฉพาะ) ค่าเฉพาะเป็น ${\lambda }_j=-\frac{j^2{\pi }^2}{L^2}$ และเวกเตอร์เฉพาะที่สอดคล้องกัน (เรียกอีกอย่างว่า ฟังก์ชันเฉพาะ ) คือ $v_j(x)=\sqrt{\frac{2}{L}}\sin \left(\frac{j\pi x}{L}\right)$ จะได้ แม่แบบ:ไม่ตัด เมื่อ แม่แบบ:ไม่ตัด

สำหรับกรณีอื่น ๆ ที่เป็นที่รู้จัก ดูที่ค่าเฉพาะและเวกเตอร์เฉพาะของอนุพันธ์อันดับสอง

การวางนัยทั่วไปสู่มิติที่สูงขึ้น

เมทริกซ์เฮสเซียน

แม่แบบ:หลัก อนุพันธ์อันดับสองวางนัยทั่วไปในมิติที่สูงกว่าผ่านแนวคิดของอนุพันธ์ย่อยอันดับสอง สำหรับฟังก์ชัน แม่แบบ:Math อนุพันธ์ย่อยอันดับสองประกอบด้วยอนุพันธ์ย่อยดังนี้

$$\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2},\frac{{\partial }^{2}f}{\partial y^2},\frac{{\partial }^{2}f}{\partial z^2}$$

และอนุพันธ์ย่อยผสม

$$\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x\partial y},\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x\partial z},\frac{{\partial }^{2}f}{\partial y\partial z}$$

ในบางกรณี เช่นเมื่ออนุพันธ์อันดับสองทุกตัวเป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง เราสามารถนำอนุพันธ์อันดับสองทั้งหมดประกอบกันเป็นเมทริกซ์สมมาตร เรียกว่า เมทริกซ์เฮสเซียน ค่าเฉพาะของเมทริกซ์นี้สามารถใช้ทดสอบอนุพันธ์อันดับสองของฟังก์ชันหลายตัวแปร (ดูเพิ่มที่ การทดสอบอนุพันธ์ย่อยอันดับสอง)

ตัวดำเนินการลาปลาส

แม่แบบ:หลัก การวางนัยทั่วไปอีกรูปแบบหนึ่งของอนุพันธ์อันดับสอง คือ ตัวดำเนินการลาปลาส ซึ่งเป็นตัวดำเนินการดิฟเฟอเรนเชียล ${\mathrm{\nabla }}^2$ (หรือ $\mathrm{\Delta }$) ที่กำหนดโดย

$${\mathrm{\nabla }}^{2}f=\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}f}{\partial y^2}+\frac{{\partial }^{2}f}{\partial z^2}$$

ลาปลาเซียนของฟังก์ชันเท่ากับไดเวอร์เจนซ์ของเกรเดียนต์ และเท่ากับรอยของเมทริกซ์เฮสเซียน

ดูเพิ่ม

• ความเชิร์ป อนุพันธ์อันดับสองของเฟสขณะหนึ่ง
• ผลต่างอันตะ ใช้ในการประมาณอนุพันธ์อันดับสอง
• การทดสอบอนุพันธ์ย่อยอันดับสอง
• ความสมมาตรของอนุพันธ์อันดับสอง

อ่านเพิ่มเติม

สิ่งพิมพ์

• แม่แบบ:Citation
• แม่แบบ:Citation
• แม่แบบ:Citation
• แม่แบบ:Citation
• แม่แบบ:Citation
• แม่แบบ:Citation
• แม่แบบ:Citation
• แม่แบบ:Citation

หนังสือออนไลน์

• แม่แบบ:Citation
• แม่แบบ:Citation
• แม่แบบ:Citation
• แม่แบบ:Citation
• แม่แบบ:Citation
• แม่แบบ:Citation
• แม่แบบ:Citation
• แม่แบบ:Citation
• แม่แบบ:Citation

แหล่งข้อมูลอื่น

• อนุพันธ์อันดับสองแบบไม่ต่อเนื่องจากจุดที่เว้นระยะไม่เท่ากัน