ทฤษฎีบทของโรลล์

{{#invoke:sidebar|collapsible | class = plainlist | titlestyle = padding-bottom:0.25em; | pretitle = บทความนี้เป็นส่วนหนึ่งของ | title = แคลคูลัส | image = $\underset{a}{\overset{b}{\int }}{f}^{\prime }(t)dt=f(b)-f(a)$ | listtitlestyle = text-align:center; | liststyle = border-top:1px solid #aaa;padding-top:0.15em;border-bottom:1px solid #aaa; | expanded =

| abovestyle = padding:0.15em 0.25em 0.3em;font-weight:normal; | above = ทฤษฎีบทมูลฐาน แม่แบบ:Startflatlist

• ลิมิตของฟังก์ชัน
• ความต่อเนื่อง

• ทฤษฎีบทค่าเฉลี่ย
• ทฤษฎีบทของโรลล์

| list2name = อนุพันธ์ | list2titlestyle = display:block;margin-top:0.65em; | list2title = แคลคูลัสเชิงอนุพันธ์ | list2 =

แม่แบบ:Sidebar

| list3name = ปริพันธ์ | list3title = แคลคูลัสเชิงปริพันธ์ | list3 =

แม่แบบ:Sidebar

| list4name = อนุกรม | list4title = อนุกรม | list4 =

แม่แบบ:Sidebar

| list5name = เวกเตอร์ | list5title = แคลคูลัสเวกเตอร์ | list5 =

แม่แบบ:Sidebar

| list6name = หลายตัวแปร | list6title = แคลคูลัสหลายตัวแปร | list6 =

แม่แบบ:Sidebar

| list7name = พิเศษ | list7title = พิเศษ | list7 = แม่แบบ:Startflatlist

• แคลคูลัสเชิงเศษส่วน
• มาลียาแว็ง
• แคลคูลัสเฟ้นสุ่ม
• แคลคูลัสของการแปรผัน

}}

ถ้า $f$ เป็นฟังก์ชันค่าจริงที่ต่อเนื่องบนช่วงปิด $[a,b]$ และหาอนุพันธ์ได้บนช่วงเปิด $(a,b)$ และ $f(a)=f(b)$ แล้วจะมีจำนวนจริง $c$ ในช่วง $(a,b)$ อย่างน้อยหนึ่งตัวที่ทำให้ $f^{\prime }(c)=0$

ในแคลคูลัส ทฤษฎีบทของโรลล์ หรือ บทแทรกของโรล (แม่แบบ:Langx) กล่าวว่าฟังก์ชันค่าจริงใด ๆ ที่หาอนุพันธ์ได้ และมีจุดสองจุดที่ทำให้ฟังก์ชันนั้นมีค่าเท่ากัน จะต้องมีจุดนิ่ง (stationary point) อย่างน้อยหนึ่งจุดระหว่างจุดสองจุดนั้น โดยจุดนิ่งคือจุดที่อนุพันธ์อันดับหนึ่งของฟังก์ชันนั้นเป็นศูนย์

ทฤษฎีบทนี้ตั้งชื่อตาม มิเชล โรลล์ นักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศส

รูปแบบมาตรฐานของทฤษฎีบท

แม่แบบ:ทฤษฎีบทคณิตศาสตร์ ทฤษฎีบทของโรลล์สามารถใช้เพื่อพิสูจน์ทฤษฎีบทค่าเฉลี่ย ซึ่งทฤษฎีบทของโรลล์เป็นกรณีพิเศษของทฤษฎีบทดังกล่าวอีกทอดหนึ่ง นอกจากนี้ทฤษฎีบทของโรลล์ยังเป็นฐานสำหรับพิสูจน์ทฤษฎีบทของเทย์เลอร์อีกด้วย

ประวัติ

แม้ว่าทฤษฎีบทจะตั้งชื่อตาม มิเชล โรลล์ แต่บทพิสูจน์ในปี 1691 ของโรลล์นั้นครอบคลุมเฉพาะกรณีฟังก์ชันพหุนามเท่านั้น บทพิสูจน์ของเขาไม่ได้ใช้แคลคูลัส ซึ่งในตอนนั้นเขาถือว่าเป็นทฤษฎีที่ไม่เป็นเหตุเป็นผล ทฤษฎีของโรลล์ในรูปแบบปัจจุบันนี้พิสูจน์ครั้งแรกโดย ออกุสแต็ง-หลุยส์ โคชี ในปี ค.ศ. 1823 โดยเป็นบทแทรกหนึ่งของ ทฤษฎีบทค่าเฉลี่ย ชื่อ "ทฤษฎีบทของโรลล์" ถูกใช้เป็นครั้งแรกโดย มอริตซ์ วิลเฮล์ม โดรบิสช์ ชาวเยอรมันในปี 1834 และ กุยอิสโต เบลลาวิติส ชาวอิตาลีในปี 1846

ตัวอย่าง

ครึ่งวงกลมรัศมี $r$

ตัวอย่างแรก: ครึ่งวงกลม

กำหนดรัศมี $r>0$ พิจารณาฟังก์ชันรูปครึ่งวงกลม

$f(x)=\sqrt{r^2-x^2},x\in [-r,r]$

กราฟของฟังก์ชันข้างต้นคือครึ่งวงกลมส่วนบนที่มีจุดศูนย์กลางที่จุดกำเนิด ฟังก์ชันนี้ต่อเนื่องบนช่วงปิด $[-r,r]$ และหาอนุพันธ์ได้บนช่วงเปิด $(-r,r)$ แต่ไม่สามารถหาอนุพันธ์ได้ที่จุดปลาย $-r$ และ $r$ ทั้งสอง

เนื่องจาก $f(-r)=f(r)$ เราสามารถใช้ใช้ทฤษฎีบทของโรลล์กับฟังก์ชันนี้ได้ และจะเห็นว่ามีจุดที่อนุพันธ์ของ $f$ เป็นศูนย์ สังเกตว่าทฤษฎีบทนี้ใช้ได้แม้ว่าฟังก์ชันจะไม่มีอนุพันธ์ที่จุดปลายของช่วงปิดได้ เนื่องจากต้องการความหาอนุพันธ์ได้ของฟังก์ชันบนช่วงเปิดเท่านั้น

ตัวอย่างที่สอง: ฟังก์ชันค่าสัมบูรณ์

กราฟของฟังก์ชันค่าสัมบูรณ์

ถ้าฟังก์ชันไม่มีสมบัติหาอนุพันธ์ได้บนช่วงเปิด อาจไม่ได้ผลลัพธ์ตามทฤษฎีบทของโรลล์ พิจารณาฟังก์ชันค่าสัมบูรณ์

$f(x)=|x|,x\in [-1,1]$

พบว่า $f(-1)=f(1)$ แต่ไม่มีค่า $c$ ระหว่าง −1 และ 1 ที่ทำให้ $f^{\prime }(c)=0$ ทั้งนี้เป็นเพราะว่าฟังก์ชันดังกล่าวหาอนุพันธ์ที่จุด $x=0$ ไม่ได้

สังเกตว่าอนุพันธ์ของ $f$ เปลี่ยนเครื่องหมายที่จุด $x=0$ แต่เท่ากับ 0 ทฤษฎีบทของโรลล์ใช้ไม่ได้เพราะฟังก์ชัน $f$ ไม่ได้หาอนุพันธ์ได้ทุกจุดในช่วงเปิด อย่างไรเสียเราจะเห็นว่า $f$ มีจุดวิกฤติในช่วงดังกล่าวแม่แบบ:Clear

กรณีทั่วไป

 ตัวอย่างที่สองเป็นตัวอย่างหนึ่งของกรณีทั่วไปของทฤษฎีบทของโรลล์: แม่แบบ:ทฤษฎีบทคณิตศาสตร์

ในกรณีที่ลิมิตทางซ้ายและลิมิตทางขวาเท่ากันทั้งสองค่าสำหรับทุก $x$ แล้วฟังก์ชันจะหาอนุพันธ์ได้ และจะได้ทฤษฎีบทของโรลล์

ข้อสังเกต

• ถ้า $f$ เป็นฟังก์ชันเว้าหรือฟังก์ชันนูน แล้วอนุพันธ์ทางขวาและอนุพันธ์ทางซ้ายจะหาได้ทุกจุด ดังนั้นลิมิตขางต้นย่อมหาได้และเป็นจำนวนจริง
• รูปแบบทั่วไปนี้เพียงพอที่จะใช้พิสูจน์ว่าฟังก์ชันเป็นฟังก์ชันนูนถ้าอนุพันธ์ทางเดียวเป็นฟังก์ชันเพิ่มทางเดียว

$f^{\prime }(x^{-})\le f^{\prime }(x^{+})\le f^{\prime }(y^{-}),x<y$

ดูเพิ่ม

• ทฤษฎีบทค่าเฉลี่ย
• ทฤษฎีบทค่าระหว่างกลาง
• การประมาณค่าในช่วงเชิงเส้น
• ทฤษฎีบทเกาส์-ลูกาส์

ลิงก์ภายนอก

• แม่แบบ:Springer
• Rolle's and Mean Value Theorems ที่cut-the-knot.
• บทพิสูจน์ในระบบมิซาร์ proof: http://mizar.org/version/current/html/rolle.html#T2