ทฤษฎีบทมูลฐานของแคลคูลัส

{{#invoke:sidebar|collapsible | class = plainlist | titlestyle = padding-bottom:0.25em; | pretitle = บทความนี้เป็นส่วนหนึ่งของ | title = แคลคูลัส | image = $\underset{a}{\overset{b}{\int }}{f}^{\prime }(t)dt=f(b)-f(a)$ | listtitlestyle = text-align:center; | liststyle = border-top:1px solid #aaa;padding-top:0.15em;border-bottom:1px solid #aaa; | expanded =

| abovestyle = padding:0.15em 0.25em 0.3em;font-weight:normal; | above = ทฤษฎีบทมูลฐาน แม่แบบ:Startflatlist

• ลิมิตของฟังก์ชัน
• ความต่อเนื่อง

• ทฤษฎีบทค่าเฉลี่ย
• ทฤษฎีบทของโรลล์

| list2name = อนุพันธ์ | list2titlestyle = display:block;margin-top:0.65em; | list2title = แคลคูลัสเชิงอนุพันธ์ | list2 =

แม่แบบ:Sidebar

| list3name = ปริพันธ์ | list3title = แคลคูลัสเชิงปริพันธ์ | list3 =

แม่แบบ:Sidebar

| list4name = อนุกรม | list4title = อนุกรม | list4 =

แม่แบบ:Sidebar

| list5name = เวกเตอร์ | list5title = แคลคูลัสเวกเตอร์ | list5 =

แม่แบบ:Sidebar

| list6name = หลายตัวแปร | list6title = แคลคูลัสหลายตัวแปร | list6 =

แม่แบบ:Sidebar

| list7name = พิเศษ | list7title = พิเศษ | list7 = แม่แบบ:Startflatlist

• แคลคูลัสเชิงเศษส่วน
• มาลียาแว็ง
• แคลคูลัสเฟ้นสุ่ม
• แคลคูลัสของการแปรผัน

}} ทฤษฎีบทมูลฐานของแคลคูลัส (แม่แบบ:Langx) เป็นทฤษฎีบทที่กล่าวว่าอนุพันธ์และปริพันธ์ซึ่งเป็นการดำเนินการหลักในแคลคูลัสนั้นผกผันกัน

ทฤษฎีบทมูลฐานของแคลคูลัสสามารถแบ่งได้เป็นสองส่วน ทฤษฎีบทมูลฐานของแคลคูลัสส่วนแรก (First fundamental theorem of calculus) กล่าวว่าสำหรับฟังก์ชันต่อเนื่อง $f$ ใด ๆ ปฏิยานุพันธ์ของ $f$ สามารถหาได้จากการอินทิเกรต $f$ เหนือช่วงสักช่วง แล้วให้ขอบเขตบนของการอินทิเกรตเป็นตัวแปรของฟังก์ชัน

ทฤษฎีบทมูลฐานของแคลคูลัสส่วนที่สอง (Second fundamental theorem of calculus) กล่าวว่าปริพันธ์ของฟังก์ชัน $f$ เหนือช่วงสักช่วง จะเท่ากับผลต่างของค่าของปฏิยานุพันธ์ของ $f$ ที่จุดขอบของช่วง

ทฤษฎีบททั้งสองเป็นหัวใจสำคัญของแคลคูลัส ผลสืบเนื่องสำคัญของทฤษฎีบทมูลฐานของแคลคูลัสทำให้เราสามารถคำนวณหาปริพันธ์โดยใช้ปฏิยานุพันธ์ของฟังก์ชัน

ภาพโดยทั่วไป

โดยทั่วไปแล้ว ทฤษฎีบทนี้กล่าวว่าผลรวมของการเปลี่ยนแปลงที่น้อยยิ่ง ในปริมาณในช่วงเวลา (หรือปริมาณอื่น ๆ) นั้นเข้าใกล้การเปลี่ยนแปลงรวม

เพื่อให้เห็นด้วยกับข้อความนี้ เราจะเริ่มด้วยตัวอย่างนี้ สมมติว่าอนุภาคเดินทางบนเส้นตรงโดยมีตำแหน่งจากฟังก์ชัน x(t) เมื่อ t คือเวลา อนุพันธ์ของฟังก์ชันนี้เท่ากับความเปลี่ยนแปลงที่น้อยมาก ๆ ของ x ต่อช่วงเวลาที่น้อยมาก ๆ (แน่นอนว่าอนุพันธ์ต้องขึ้นอยู่กับเวลา) เรานิยามความเปลี่ยนแปลงของระยะทางต่อช่วงเวลาว่าเป็นอัตราเร็ว v ของอนุภาค ด้วยสัญกรณ์ของไลบ์นิซ

$\frac{dx}{dt}=v(t)$

เมื่อจัดรูปสมการใหม่จะได้

$dx=v(t)dt$

จากตรรกะข้างต้น ความเปลี่ยนแปลงใน x ที่เรียกว่า $\mathrm{\Delta }x$ คือผลรวมของการเปลี่ยนแปลงที่น้อยมาก ๆ dx มันยังเท่ากับผลรวมของผลคูณระหว่างอนุพันธ์และเวลาที่น้อยมาก ๆ

ผลรวมอนันต์นี้ คือ ปริพันธ์ ดังนั้นการหาปริพันธ์ทำให้เราสามารถคืนฟังก์ชันต้นของมันจากอนุพันธ์เช่นเดียวกัน การดำเนินการนี้ผกผันกัน หมายความว่าเราสามารถหาอนุพันธ์ของผลการหาปริพันธ์ ซึ่งจะได้ฟังก์ชันอัตราเร็วคืนมาได้

เนื้อหาของทฤษฎีบท

ทฤษฎีบทมูลฐานของแคลคูลัสมีสองส่วน

ทฤษฎีบทมูลฐานของแคลคูลัสส่วนแรก

ให้ $f$ เป็นฟังก์ชันที่หาปริพันธ์ได้บนช่วงปิด $[a,b]$ และ $F$ เป็นฟังก์ชันบนช่วง $[a,b]$ นิยามโดย

$F(x)=\underset{a}{\overset{x}{\int }}f(t)dt$ สำหรับทุก $a\le x\le b$

แล้ว $F$ ต่อเนื่องบน $[a,b]$ ยิ่งไปกว่านั้น ถ้า $f$ เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องบน $[a,b]$ แล้ว $F$ หาอุนพันธ์ได้ทุกจุดบน $[a,b]$ และ $F^{\prime }(x)=f(x)$ สำหรับทุก $x$ ในช่วง $[a,b]$

ทฤษฎีบทมูลฐานของแคลคูลัสส่วนที่สอง

ให้ $f$ เป็นฟังก์ชันหาอนุพันธ์ได้บนช่วงปิด $[a,b]$ ถ้า $f^{\prime }$ หาปริพันธ์ได้บนช่วงปิด $[a,b]$ แล้ว

$f(x)=f(a)+\underset{a}{\overset{x}{\int }}{f}^{\prime }(t)dt$

สำหรับทุก $a\le x\le b$

บทพิสูจน์

ส่วนที่ 1

กำหนดให้

$F(x)=\underset{a}{\overset{x}{\int }}f(t)dt$

ให้ x₁ และ x₁ + Δx อยู่ในช่วง [a, b] จะได้

$F(x_1)=\underset{a}{\overset{x_1}{\int }}f(t)dt$

และ

$F(x_1+\mathrm{\Delta }x)=\underset{a}{\overset{x_1+\mathrm{\Delta }x}{\int }}f(t)dt$

นำทั้งสองสมการมาลบกันได้

$F(x_1+\mathrm{\Delta }x)-F(x_1)=\underset{a}{\overset{x_1+\mathrm{\Delta }x}{\int }}f(t)dt-\underset{a}{\overset{x_1}{\int }}f(t)dt(1)$

เราสามารถแสดงได้ว่า

$\underset{a}{\overset{x_1}{\int }}f(t)dt+\underset{x_1}{\overset{x_1+\mathrm{\Delta }x}{\int }}f(t)dt=\underset{a}{\overset{x_1+\mathrm{\Delta }x}{\int }}f(t)dt$

(ผลรวมพื้นที่ของบริเวณที่อยู่ติดกัน จะเท่ากับ พื้นที่ของบริเวณทั้งสองรวมกัน)

ย้ายข้างสมการได้

$\underset{a}{\overset{x_1+\mathrm{\Delta }x}{\int }}f(t)dt-\underset{a}{\overset{x_1}{\int }}f(t)dt=\underset{x_1}{\overset{x_1+\mathrm{\Delta }x}{\int }}f(t)dt$

นำไปแทนค่าใน (1) จะได้

$F(x_1+\mathrm{\Delta }x)-F(x_1)=\underset{x_1}{\overset{x_1+\mathrm{\Delta }x}{\int }}f(t)dt(2)$

ตามทฤษฎีบทค่าเฉลี่ยสำหรับการอินทิเกรต จะมี c อยู่ในช่วง [x₁, x₁ + Δx] ที่ทำให้

$\underset{x_1}{\overset{x_1+\mathrm{\Delta }x}{\int }}f(t)dt=f(c)\mathrm{\Delta }x$

แทนค่าลงใน (2) ได้

$F(x_1+\mathrm{\Delta }x)-F(x_1)=f(c)\mathrm{\Delta }x$

หารทั้งสองข้างด้วย Δx จะได้

$\frac{F(x_1+\mathrm{\Delta }x)-F(x_1)}{\mathrm{\Delta }x}=f(c)$

สังเกตว่าสมการข้างซ้าย คือ อัตราส่วนเชิงผลต่างของนิวตัน (Newton's difference quotient) ของ F ที่ x₁

ใส่ลิมิต Δx → 0 ทั้งสองข้างของสมการ

$\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim }\frac{F(x_1+\mathrm{\Delta }x)-F(x_1)}{\mathrm{\Delta }x}=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim }f(c)$

สมการข้างซ้ายจะเป็นอนุพันธ์ของ F ที่ x₁

$F^{\prime }(x_1)=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim }f(c)(3)$

เพื่อหาลิมิตของสมการข้างขวา เราจะใช้ทฤษฎีบท squeeze เพราะว่า c อยู่ในช่วง [x₁, x₁ + Δx] ดังนั้น x₁ ≤ c ≤ x₁ + Δx

จาก $\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim }{x}_1=x_1$ และ $\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim }{x}_1+\mathrm{\Delta }x=x_1$

ตามทฤษฎีบท squeeze จะได้ว่า

$\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim }c=x_1$

แทนค่าลงใน (3) จะได้

$F^{\prime }(x_1)=\underset{c\to x_1}{\lim }f(c)$

ฟังก์ชัน f มีความต่อเนื่องที่ c ดังนั้น เราสามารถนำลิมิตแทนในฟังก์ชันได้ ดังนั้น

$F^{\prime }(x_1)=f(x_1)$

จบการพิสูจน์

(Leithold et al, 1996)

ส่วนที่ 2

ต่อไปนี้คือบทพิสูจน์ลิมิตโดย ผลรวมของรีมันน์-ดาบูต์

ภาพแสดงแนวคิดของ ผลรวมรีมันน์-ดาบูต์ ซึ่งใช้ในการประมาณพื้นที่ภายใต้กราฟใด ๆ ด้วยกราฟแท่งจำนวนมาก

ให้ f เป็นฟังก์ชันที่มีความต่อเนื่องบนช่วง [a, b] และ F เป็นปฏิยานุพันธ์ของ f พิจารณานิพจน์ต่อไปนี้

$F(b)-F(a)$

ให้ $a=x_0<x_1<x_2<\dots <x_{n-1}<x_n=b$ จะได้

$F(b)-F(a)=F(x_n)-F(x_0)$

แล้วบวกและลบด้วยจำนวนเดียวกัน จะได้

$\begin{array}{ccc}F(b)-F(a)& =& F(x_n)+[-F(x_{n-1})+F(x_{n-1})]+\dots +[-F(x_1)+F(x_1)]-F(x_0)\\ & =& [F(x_n)-F(x_{n-1})]+[F(x_{n-1})+\dots -F(x_1)]+[F(x_1)-F(x_0)]\end{array}$

เขียนใหม่เป็น

$F(b)-F(a)=\sum _{i=1}^n[F(x_i)-F(x_{i-1})](1)$

เราจะใช้ทฤษฎีบทค่าเฉลี่ย ซึ่งกล่าวว่า

ให้ f เป็นฟังก์ชันที่มีความต่อเนื่องบนช่วง [a, b] และมีอนุพันธ์บนช่วง (a, b) แล้ว จะมี c อยู่ใน (a, b) ที่ทำให้

$f^{\prime }(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$

และจะได้

$f^{\prime }(c)(b-a)=f(b)-f(a)$

ฟังก์ชัน F เป็นฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้ในช่วง [a, b] ดังนั้น มันจะหาอนุพันธ์และมีความต่อเนื่องบนแต่ละช่วง x_i-1 ได้ ตามทฤษฎีบทค่าเฉลี่ย จะได้

$F(x_i)-F(x_{i-1})=F^{\prime }(c_i)(x_i-x_{i-1})$

แทนค่าลงใน (1) จะได้

$F(b)-F(a)=\sum _{i=1}^n[F^{\prime }(c_i)(x_i-x_{i-1})]$

จาก $F^{\prime }(c_i)=f(c_i)$ และ $x_i-x_{i-1}$ สามารถเขียนในรูป $\mathrm{\Delta }x$ ของผลแบ่งกั้น $i$

$F(b)-F(a)=\sum _{i=1}^n[f(c_i)(\mathrm{\Delta }{x}_i)](2)$

สังเกตว่าเรากำลังอธิบายพื้นที่ของสี่เหลี่ยมผืนผ้า โดยมีความกว้างคูณความสูง และเราก็บวกพื้นที่เหล่านั้นเข้าด้วยกันจากทฤษฎีบทค่าเฉลี่ย สี่เหลี่ยมผืนผ้าแต่ละรูปอธิบายค่าประมาณของส่วนของเส้นโค้ง สังเกตอีกว่า $\mathrm{\Delta }{x}_i$ ไม่จำเป็นต้องเหมือนกันในทุก ๆ ค่าของ $i$ หรือหมายความว่าความกว้างของสี่เหลี่ยมนั้นไม่จำเป็นต้องเท่ากัน สิ่งที่เราต้องทำคือประมาณเส้นโค้งด้วยจำนวนสี่เหลี่ยม $n$ รูป เมื่อขนาดของส่วนต่าง ๆ เล็กลง และ $n$ มีค่ามากขึ้น ทำให้เกิดส่วนต่าง ๆ มากขึ้น เพื่อครอบคลุมพื้นที่ เราจะยิ่งเข้าใกล้พื้นที่จริง ๆ ของเส้นโค้ง

โดยการหาลิมิตของนิพจน์นี้เป็นเมื่อค่าเฉลี่ยของส่วนต่าง ๆ นี้ เข้าใกล้ศูนย์ เราจะได้ปริพันธ์แบบรีมันน์ นั่นคือ เราหาลิมิตเมื่อขนาดส่วนที่ใหญ่ที่สุดเข้าใกล้ศูนย์ จะได้ส่วนอื่น ๆ มีขนาดเล็กลง และจำนวนส่วนเข้าใกล้อนันต์

ดังนั้น เราจะใส่ลิมิตไปทั้งสองข้างของสมการ (2) จะได้

$\underset{\Vert \mathrm{\Delta }\Vert \to 0}{\lim }F(b)-F(a)=\underset{\Vert \mathrm{\Delta }\Vert \to 0}{\lim }\sum _{i=1}^n[f(c_i)(\mathrm{\Delta }{x}_i)]dx$

ทั้ง F(b) และ F(a) ต่างก็ไม่ขึ้นกับ ||Δ|| ดังนั้น ลิมิตของข้างซ้ายจึงเท่ากับ F(b) - F(a)

$F(b)-F(a)=\underset{\Vert \mathrm{\Delta }\Vert \to 0}{\lim }\sum _{i=1}^n[f(c_i)(\mathrm{\Delta }{x}_i)]$

และนิพจน์ทางขวาของสมการ หมายถึง อินทิกรัลของ f จาก a ไป b ดังนั้น เราจะได้

$F(b)-F(a)=\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx$

จบการพิสูจน์

ตัวอย่าง

ตัวอย่างเช่น ถ้าคุณต้องการคำนวณหา

$\underset{2}{\overset{5}{\int }}{x}^2\mathrm{d}x$

ให้ $f(x)=x^2$ เราจะได้ $F(x)=\frac{x^3}{3}$ เป็นปฏิยานุพันธ์ ดังนั้น

$\underset{2}{\overset{5}{\int }}{x}^2\mathrm{d}x=F(5)-F(2)=\frac{125}{3}-\frac{8}{3}=\frac{117}{3}=39$

ถ้าเราต้องการหา

จะได้ $\underset{1}{\overset{3}{\int }}\frac{dx}{x}=[\ln |x|{]}_1^3=\ln 3-\ln 1=\ln 3$

นัยทั่วไป

เราไม่จำเป็นต้องให้ $f$ ต่อเนื่องตลอดทั้งช่วง ดังนั้นส่วนที่ 1 ของทฤษฎีบทจะกล่าวว่า ถ้า $f$ เป็นฟังก์ชันที่สามารถหาปริพันธ์เลอเบกบนช่วง $[a,b]$ และ $x_0$ เป็นจำนวนในช่วง $[a,b]$ ซึ่ง $f$ ต่อเนื่องที่ $x_0$ จะได้

$F(x)=\underset{a}{\overset{x}{\int }}f(t)\mathrm{d}t$

สามารถหาอนุพันธ์ได้สำหรับ $x=x_0$ และ $F(x_0)=f(x_0)$ เราสามารถคลายเงื่อนไขของ $f$ เพียงแค่ให้สามารถหาปริพันธ์ได้ในตำแหน่งนั้น ในกรณีนั้น เราสามารถสรุปได้ว่าฟังก์ชัน $F$ นั่นสามารถหาอนุพันธ์ได้เกือบทุกที่ และ $F^{\prime }(x)=f(x)$ จะเกือบทุกที่ บางทีเราเรียกทฤษฎีนี้ว่า ทฤษฎีบทอนุพันธ์ของเลอเบก

ส่วนที่ 2ของทฤษฎีบทนี้เป็นจริงสำหรับทุกฟังก์ชัน $f$ ที่สามารถหาปริพันธ์เลอเบกได้ และมีปฏิยานุพันธ์ $F$ (ไม่ใช่ทุกฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้)

ส่วนของทฤษฎีบทของเทย์เลอร์ซึ่งกล่าวถึงพจน์ที่เกิดข้อผิดพลาดเป็นปริพันธ์สามารถมองได้เป็นนัยทั่วไปของทฤษฎีบทมูลฐานของแคลคูลัส

มีทฤษฎีบทหนึ่งสำหรับฟังก์ชันเชิงซ้อน: ให้ $U$ เป็นเซตเปิดใน $ℂ$ และ $f:U\to ℂ$ เป็นฟังก์ชันที่มี ปริพันธ์โฮโลมอร์ฟ $F$ ใน $U$ ดังนั้นสำหรับเส้นโค้ง $\gamma :[a,b]\to U$ ปริพันธ์เส้นโค้งจะคำนวณได้จาก

${\oint }_{\gamma }f(z)\mathrm{d}z=F(\gamma (b))-F(\gamma (a))$

ทฤษฎีบทมูลฐานของแคลคูลัสสามารถวางนัยทั่วไปให้กับ ปริพันธ์เส้นโค้งและพื้นผิวในมิติที่สูงกว่าและบนแมนิโฟลด์ได้ผ่านทฤษฎีบทของสโตกส์

อ้างอิง

• Stewart, J. (2003). Fundamental Theorem of Calculus. In Integrals. In Calculus: early transcendentals. Belmont, California: Thomson/Brooks/Cole.
• Larson, Ron, Bruce H. Edwards, David E. Heyd. Calculus of a single variable. 7th ed. Boston: Houghton Mifflin Company, 2002.
• Leithold, L. (1996). The calculus 7 of a single variable. 6th ed. New York: HarperCollins College Publishers.