จำนวนเชิงซ้อน

แม่แบบ:ต้องการอ้างอิง จำนวนเชิงซ้อน (อังกฤษ : complex number) ในทางคณิตศาสตร์ คือ เซตที่ต่อมาจากเซตของจำนวนจริงโดยเพิ่มจำนวน $i$ ซึ่งทำให้สมการ $i^2+1=0$ เป็นจริง และหลังจากนั้นเพิ่มสมาชิกตัวอื่น ๆ เข้าไปจนกระทั่งเซตที่ได้ใหม่มีสมบัติการปิดภายใต้การบวกและการคูณ จำนวนเชิงซ้อน $z$ ทุกตัวสามารถเขียนอยู่ในรูป $x+iy$ โดยที่ $x$ และ $y$ เป็นจำนวนจริง โดยเราเรียก $x$ และ $y$ ว่าส่วนจริง (real part) และส่วนจินตภาพ (imaginary part) ของ $z$ ตามลำดับ

เซตของจำนวนเชิงซ้อนทุกตัวมักถูกแทนด้วยสัญลักษณ์ $ℂ$ จากนิยามข้างต้นเราได้ว่าเซตของจำนวนจริงเป็นสับเซตของเซตของจำนวนเชิงซ้อน ดังนั้นจำนวนจริงทุกตัวเป็นจำนวนเชิงซ้อน เราสามารถบวก ลบ คูณ และหารสมาชิกสองตัวใด ๆ ของเซตของจำนวนเชิงซ้อนได้ (เว้นแต่ในกรณีที่ตัวหารคือศูนย์) และผลลัพธ์ที่ได้จะเป็นจำนวนเชิงซ้อนเสมอ ดังนั้นในทางคณิตศาสตร์เราจึงกล่าวว่าเซตของจำนวนเชิงซ้อนเป็นฟีลด์ นอกจากนี้เซตของจำนวนเชิงซ้อนยังมีสมบัติการปิดทางพีชคณิต (algebraically closed) กล่าวคือ พหุนามที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเชิงซ้อนจะมีราก (พหุนาม)เป็นจำนวนเชิงซ้อนด้วย สมบัตินี้เป็นที่รู้จักในชื่อทฤษฎีบทมูลฐานของพีชคณิต

นอกจากนี้ ในทางคณิตศาสตร์แล้วคำว่า "เชิงซ้อน" ถูกใช้เป็นคำคุณศัพท์ที่มีความหมายว่าฟีลด์ของตัวเลขที่เราสนใจคือฟีลด์ของจำนวนเชิงซ้อน ยกตัวอย่างเช่น การวิเคราะห์เชิงซ้อน, พหุนามเชิงซ้อน, แมทริกซ์เชิงซ้อน, และพีชคณิตลีเชิงซ้อน เป็นต้น

นิยาม

ฟีลด์ของจำนวนเชิงซ้อน

ฟีลด์ของจำนวนเชิงซ้อน $ℂ$ ประกอบด้วยเซตของคู่อันดับ $(a,b)$ ทั้งหมดโดยที่ $a$ และ $b$ เป็นจำนวนจริง และปฏิบัติการสองตัวคือ $+$ (การบวก) และ $\cdot$ (การคูณ) โดยปฏิบัติการทั้งมีนิยามดังต่อไปนี้

ให้ $(a,b)$ และ $(c,d)$ เป็นจำนวนเชิงซ้อนใด ๆ

$(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)$

$(a,b)\cdot (c,d)=(ac-bd,ad+bc)$

เมื่อการบวก การลบ และการคูณภายในคู่ลำดับคือการบวก การลบ และการคูณจำนวนจริง

เซตของจำนวนเชิงซ้อนและปฏิบัติการทั้งสองมีสมบัติเป็นฟีลด์ กล่าวคือ

• การบวกและการคูณมีสมบัติการปิด การสลับที่ การเปลี่ยนกลุ่ม และการแจกแจง
• มีเอกลักษณ์การบวกคือ $(0,0)$
• มีเอกลักษณ์การคูณคือ $(1,0)$
• อินเวอร์สการบวกของ $z=(a,b)$ (เขียนแทนด้วย $-z$) คือ (-a, -b)
• ถ้าหาก $z=(a,b)\ne (0,0)$ อินเวอร์สการคูณของ $z$ (เขียนแทนด้วย $z^{-1}$) คือ $(\frac{a}{a^2+b^2},\frac{-b}{a^2+b^2})$

จำนวนเชิงซ้อนในฐานะปริภูมิเวกเตอร์และฟีลด์ต่อเติม

อนึ่ง เราอาจมองเซตของจำนวนเชิงซ้อนเป็นปริภูมิเวกเตอร์สองมิติบนเซตของจำนวนจริง เราสามารถใช้การบวกจำนวนเชิงซ้อนแทนการบวกเวกเตอร์ และการคูณด้วยสเกลาร์สามารถนิยามได้ดังต่อไปนี้

$c(a,b)=(ca,cb)=(a,b)c$ เมื่อ $c$ เป็นจำนวนจริงและ $(a,b)$ เป็นจำนวนเชิงซ้อนใด ๆ

ด้วยเหตุนี้เราได้ว่าฐานหลักหนึ่งของเซตของจำนวนเชิงซ้อนประกอบด้วยเวกเตอร์ $(1,0)$ และ $(0,1)$ กล่าวคือเราสามารถเขียนจำนวนเชิงซ้อนทุกตัวในรูปของผลรวมเชิงเส้นของเวกเตอร์ทั้งสอง:

$(a,b)=a(1,0)+b(0,1)$

ตามความนิยม เรามักแปลความหมายของ $(a,0)=a(1,0)$ ว่าเป็นจำนวนจริง $a$ (ด้วยเหตุนี้เราจึงกล่าวว่าเซตจำนวนจริงเป็นสับเซตของเซตจำนวนเชิงซ้อน) และมักใช้สัญลักษณ์ $i$ แทน $(0,1)$ จำนวนเชิงซ้อน $(a,b)$ จึงเขียนได้อีกแบบหนึ่งว่า $a+bi$ ซึ่งเป็นที่นิยมใช้มากกว่าแบบคู่ลำดับ

จากนิยามการคูณจำนวนเชิงซ้อนข้างต้น เราได้ว่า $i^2=(-1,0)=-1$ นั่นคือ $i$ เป็นคำตอบของสมการ $x^2+1=0$ ซึ่งไม่สามารถหาคำตอบได้ในเซตของจำนวนจริง ดังนั้น เซตของจำนวนเชิงซ้อนจึงเป็นฟีลด์ต่อเติม (field extension) ของเซตของจำนวนจริงโดยการเพิ่มรากของพหุนาม $x^2+1$ อีกนัยหนึ่ง เซตของจำนวนเชิงซ้อนคือริงผลหาร (quotient ring) ของริงพหุนาม $ℝ[x]$ กับไอดีล $(x^2+1)$ เขียนเป็นประโยคสัญลักษณ์ได้ว่า

$ℂ=ℝ[x]/(x^2+1)$

สัญลักษณ์และคำศัพท์ที่เกี่ยวข้อง

ส่วนจริงและส่วนจินตภาพ

ถ้า $z=a+bi$ เราเรียก $a$ ว่า ส่วนจริง ของ $z$ เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ $\mathrm{\Re }(z)$ และเราเรียก $b$ ว่า ส่วนจินตภาพ ของ $z$ เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ $\mathrm{\Im }(z)$ เราเรียกจำนวนเชิงซ้อนที่มีส่วนจริงเป็น 0 และส่วนจินตภาพไม่เป็น 0 ว่าจำนวนจินตภาพ (imaginary number)

สังยุคเชิงซ้อน

ถ้า $z=a+bi$ เป็นจำนวนเชิงซ้อน สังยุคของ $z$ คือ $a-bi$ เราเขียนแทนสังยุคของ $z$ ด้วย $\overline{z}$ สังยุคของจำนวนเชิงซ้อนมีสมบัติสำคัญ ๆ ดังต่อไปนี้

1. $\overline{z_1+z_2}={\overline{z}}_1+{\overline{z}}_2$
2. $\overline{z_1{z}_2}={\overline{z}}_1{\overline{z}}_2$
3. $z+\overline{z}=2\mathrm{\Re }(z)$
4. $z-\overline{z}=2\mathrm{\Im }(z)$

เมื่อ $z$, $z_1$, $z_2$ เป็นจำนวนเชิงซ้อนใด ๆ

ขนาดของจำนวนเชิงซ้อน

ขนาดของจำนวนเชิงซ้อน $z=a+bi$ เขียนแทนด้วย $|z|$ คือจำนวนจริงที่ไม่เป็นลบ $\sqrt{a^2+b^2}$ เราอาจแปลความหมายของขนาดของจำนวนเชิงซ้อนได้ว่าเป็นความยาวของเส้นตรงที่ลากจากจุด (0, 0) ไปยังจุด (a, b) บนระบบพิกัดคาร์ทีเซียน ขนาดของจำนวนเชิงซ้อนมีสมบัติสำคัญ ๆ ดังต่อไปนี้

1. $\left|z\right|=\left|\overline{z}\right|$
3. $\left|z_1{z}_2\right|=\left|z_1\right|\left|z_2\right|$
4. $|z_1+z_2|\le \left|z_1\right|+\left|z_2\right|$ (อสมการสามเหลี่ยม)
5. $|z_1-z_2|\ge |\left|z_1\right|-\left|z_2\right||$
6. $\left|z\right|=0$ ก็ต่อเมื่อ $z=0$

เมื่อ $z$, $z_1$, และ $z_2$ เป็นจำนวนเชิงซ้อนใด ๆ จากสมบัติข้อที่สองและการแทนจำนวนจริง $a$ ด้วยจำนวนเชิงซ้อน $(a,0)$ ทำให้เราได้ว่าถ้า $z\ne 0$

$z^{-1}=\frac{\overline{z}}{|z{|}^2}$

ระนาบเชิงซ้อน

เรายังสามารถมองจำนวนเชิงซ้อนเป็นจุดหรือเวกเตอร์บนระบบพิกัดคาร์ทีเซียนสองมิติ และมักจะเรียกระนาบนี้ว่าระนาบเชิงซ้อน (complex plane) หรือผังของอาร์กานด์ ตามชื่อของ ชอง-โรแบร์ต อาร์กานด์ ผู้ค้นพบ

พิกัดคาร์ทีเซียนของจำนวนเชิงซ้อน $z=a+bi$ คือ $(a,b)$ ในขณะที่พิกัดเชิงขั้วคิอ $(r,\phi )$ เมื่อ $r=|z|$ และ $\phi$ เป็นมุมที่เวกเตอร์ $(a,b)$ ทำกับแกน $x$ ในหน่วยเรเดียน เราเรียก $\phi$ ว่า อาร์กิวเมนต์ของ $z$ และเขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ $\arg (z)$ สังเกตว่าจำนวนเชิงซ้อนที่มีอาร์กิวเมนต์ต่างกันเท่ากับผลคูณของจำนวนเต็มกับ $2\pi$ จะมีค่าเท่ากัน

สูตรของออยเลอร์ช่วยแสดงความสัมพันธ์ระหว่างพิกัดคาร์ทีเซียนและพิกัดเชิงขั้ว อีกทั้งยังช่วยให้เราสามารถเขียนจำนวนเชิงซ้อนได้อีกรูปแบบหนึ่งดังต่อไปนี้

$z=a+bi=r(\cos \phi +i\sin \phi )=r{e}^{i\phi }$

และเรายังสามารถพิสูจน์ได้ว่า

$r_1{e}^{i{\phi }_1}\cdot r_2{e}^{i{\phi }_2}=r_1{r}_2{e}^{i({\phi }_1+{\phi }_2)}=r_1{r}_2(\cos ({\phi }_1+{\phi }_2)+i\sin ({\phi }_1+{\phi }_2))$

และ

$\frac{r_1{e}^{i{\phi }_1}}{r_2{e}^{i{\varphi }_2}}=\frac{r_1}{r_2}{e}^{i({\phi }_1-{\phi }_2)}=\frac{r_1}{r_2}(\cos ({\phi }_1-{\phi }_2)+i\sin ({\phi }_1-{\phi }_2))$

เมื่อ $r_2\ne 0$ ด้วยเหตุนี้เราจึงสามารถมองการคูณจำนวนเชิงซ้อนตัวหนึ่ง ๆ ว่าเป็นการหมุนและการยืด (หรือหด) เวกเตอร์ด้วยอาร์กิวเมนต์และขนาดของจำนวนเชิงซ้อนตัวนั้นตามลำดับ

การคูณด้วย $i=e^{i\pi /2}$ จึงสมมูลกับการหมุนเวกเตอร์ 90 องศาทวนเข็มนาฬิกา สมการ ฉะนั้นเราสามารถเข้าใจความหมายของสมการ $i^2=-1$ ได้อีกนัยหนึ่งว่า "การหมุน 90 องศาสองครั้งมีค่าเท่ากับการหมุน 180 องศา" หรือ "เมื่อหมุนเวกเตอร์ $(0,1)$ ไป 90 องศา ผลลัพธ์ที่ได้คือเวกเตอร์ (-1, 0) "

สมบัติต่าง ๆ

การเรียงลำดับ

$ℂ$ ไม่เป็นฟีลด์อันดับ กล่าวคือเราไม่สามารถเรียงลำดับจำนวนเชิงซ้อนโดยที่การเรียงลำดับนั้นสอดคล้องกับการบวกและการคูณจำนวนเชิงซ้อนได้เลย

ปริภูมิเวกเตอร์

อย่างที่ได้กล่าวไว้ข้างต้น $ℂ$ เป็นปริภูมิเวกเตอร์สองมิติบน $ℝ$ เราได้ว่าการแปลงเชิงเส้นบน $ℝ$ ($ℝ$-linear map) ทุกตัวจะสามารถเขียนได้ในรูป

$f(z)=az+b\overline{z}$

เมื่อ $a$ และ $b$ เป็นจำนวนเชิงซ้อนใด ๆ เราได้ว่าฟังก์ชัน $f_1(z)=a(z)$ เป็นการหมุนและการยืดเวกเตอร์ ส่วนฟังก์ชัน $f_2(z)=b\overline{z}$ นั้นประกอบด้วยการหมุน การพลิก และการยืดเวกเตอร์ในฟังก์ชันเดียว สังเกตว่า $f_1$ เท่านั้นที่เป็นการแปลงเชิงเส้นบน $ℂ$ และเป็นฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิก เราสามารถหาอนุพันธ์ของ $f_2$ ได้ในเซตของจำนวนจริง แต่อนุพันธ์นั้นไม่สอดคล้องกับสมการโคชี-รีมันน์

สมบัติเชิงพีชคณิต

$ℂ$ (หรือฟีลด์อื่นที่สมสัณฐานกับ $C$) จะมีลักษณะจำเพาะสามประการ ดังนี้

• มีแคแรกเทอริสติก 0
• มีดีกรีอดิศัยเมื่อเทียบกับฟีลด์เฉพาะใด ๆ เท่ากับขนาดของเซตจำนวนจริง
• มีสมบัติการปิดเชิงพีชคณิต (ดู ทฤษฎีบทมูลฐานของพีชคณิต)

ด้วยเหตุนี้ $ℂ$ จึงมีฟีลด์ย่อยแท้ที่สมสัณฐานกับตัวมันเองอยู่เป็นจำนวนมาก นอกจากนี้กาลอยด์กรุปของ $ℂ$ บนเซตของจำนวนตรรกยะมีขนาดเท่ากับเซตกำลังของเซตของจำนวนจริง แม่แบบ:โครงคณิตศาสตร์