ปริพันธ์

แม่แบบ:ต้องการอ้างอิง {{#invoke:sidebar|collapsible | class = plainlist | titlestyle = padding-bottom:0.25em; | pretitle = บทความนี้เป็นส่วนหนึ่งของ | title = แคลคูลัส | image = $\int_{a}^{b} f^{'} (t) d t = f (b) - f (a)$ | listtitlestyle = text-align:center; | liststyle = border-top:1px solid #aaa;padding-top:0.15em;border-bottom:1px solid #aaa; | expanded =

| abovestyle = padding:0.15em 0.25em 0.3em;font-weight:normal; | above = ทฤษฎีบทมูลฐาน แม่แบบ:Startflatlist

แม่แบบ:Endflatlist แม่แบบ:Startflatlist

แม่แบบ:Endflatlist

| list2name = อนุพันธ์ | list2titlestyle = display:block;margin-top:0.65em; | list2title = แคลคูลัสเชิงอนุพันธ์ | list2 =

แม่แบบ:Sidebar

| list3name = ปริพันธ์ | list3title = แคลคูลัสเชิงปริพันธ์ | list3 =

แม่แบบ:Sidebar

| list4name = อนุกรม | list4title = อนุกรม | list4 =

แม่แบบ:Sidebar

| list5name = เวกเตอร์ | list5title = แคลคูลัสเวกเตอร์ | list5 =

แม่แบบ:Sidebar

| list6name = หลายตัวแปร | list6title = แคลคูลัสหลายตัวแปร | list6 =

แม่แบบ:Sidebar

| list7name = พิเศษ | list7title = พิเศษ | list7 = แม่แบบ:Startflatlist

แม่แบบ:Endflatlist

}} ในคณิตศาสตร์ ปริพันธ์ หรือ อินทิกรัล (แม่แบบ:Langx) เป็นการกำหนดค่าให้กับฟังก์ชัน ซึ่งอาจมองได้เป็นการรวมปริมาณย่อยขนาดเล็กมาก ๆ ของฟังก์ชันนั้นเข้าด้วยกันในรูปแบบที่คล้ายคลึงกับ การกระจัด พื้นที่ ปริมาตร และแนวคิดอื่นที่เกี่ยวข้อง เรียกกระบวนการหาปริพันธ์ว่า การหาปริพันธ์ หรือ อินทิเกรชัน (แม่แบบ:Langx) การหาปริพันธ์และการหาอนุพันธ์ซึ่งเป็นคู่ตรงข้ามของกันและกันต่างเป็นการดำเนินการพื้นฐานของแคลคูลัส^[1]

ปริพันธ์ที่หาค่าออกมาแล้วเรียกว่า ปริพันธ์จำกัดเขต (definite integral) ซึ่งสามารถตีความได้ว่าเป็นพื้นที่ใต้กราฟของฟังก์ชันบนระนาบ พร้อมกับกำหนดเครื่องหมายบวก/ลบ ให้กับพื้นที่ หากพื้นที่นั้นอยู่เหนือแกน X หรืออยู่ใต้แกน X ตามลำดับ บางครั้งคำว่าปริพันธ์อาจสื่อุถึงปฏิยานุพันธ์ ซึ่งเป็นฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้เป็นฟังก์ชันที่กำหนด บางครั้งเรียกว่าปริพันธ์ไม่จำกัดเขต (indefinite integral) ทฤษฎีบทมูลฐานของแคลคูลัสอธิบายความเกี่ยวข้องระหว่างแนวคิดทั้งสอง และความเกี่ยวข้องระหว่างปริพันธ์กับอนุพันธ์

แม้ว่าการหาพื้นที่และปริมาตรด้วยการรวมส่วนเล็ก ๆ เข้าด้วยกันจะปรากฏในคณิตศาสตร์สมัยกรีกโบราณ แต่แนวคิดปริพันธ์อย่างในปัจจุบันนั้นกำเนิดขึ้นในศตวรรษที่ 17 โดย ไอแซค นิวตัน และ ก็อทฟรีท วิลเฮ็ล์ม ไลบ์นิทซ์ ต่างค้นพบด้วยตัวของตัวเองทั้งคู่ โดยมองว่าปริพันธ์คือการหาพื้นที่ใต้เส้นโค้งด้วยการรวมพื้นที่สี่เหลี่ยมผืนผ้าใต้เส้นโค้งที่มีความยาวน้อยมาก ๆ เข้าด้วยกัน แบร์นฮาร์ด รีมันน์เป็นคนแรกที่นิยามแนวคิดดังกล่าวอย่างรัดกุม จึงได้ชื่อว่าเป็นปริพันธ์แบบรีมันน์ ในภายหลังมีการขยายแนวคิดปริพันธ์แบบรีมันน์ออกไปให้สามารถอินทิเกรตฟังก์ชันได้เพิ่มมากขึ้น ตัวอย่างที่สำคัญที่สุดในคณิตศาสตร์สมัยใหม่คือ ปริพันธ์แบบเลอเบก^[2]

ประวัติ

แม่แบบ:โครงส่วน

สัญลักษณ์และศัพท์ที่เกี่ยวข้อง

โดยทั่วไปแล้ว ปริพันธ์ของฟังก์ชันค่าจริง แม่แบบ:Math เทียบกับตัวแปรค่าจริง แม่แบบ:Math บนช่วงปิด แม่แบบ:Math จะเขียนแทนด้วย

\int_{a}^{b} f (x) d x

การหาปริพันธ์ข้างต้นแทนการหาปริพันธ์จำกัดเขต โดยสัญลักษณ์ ∫ หมายถึงการหาปริพันธ์ จุด แม่แบบ:Math และ แม่แบบ:Math หมายถึงขอบเขตของช่วงที่เราจะหา, สัญลักษณ์ แม่แบบ:Math คือฟังก์ชันที่เราต้องการหาปริพันธ์หรือ ปริพัทธ์ (integrand) และสัญลักษณ์ แม่แบบ:Math ซึ่งเรียกว่า [[ผลต่างเชิงอนุพันธ์|ผลต่างเชิงอนุพันธ์ของ แม่แบบ:Math]] หรือ ดิฟเฟอเรนเชียลของ แม่แบบ:Math บ่งว่าตัวแปรของการหาปริพันธ์คือ แม่แบบ:Math

หากไม่ระบุช่วงที่หาอินทิกรัล หรือเขียนเป็น

\int f (x) d x

ปริพันธ์ข้างต้นเป็นปริพันธ์ไม่จำกัดเขต ซึ่งแทนคลาสของฟังก์ชันทั้งหมดที่หาอนุพันธ์ได้ตัวปริพัทธ์ แม่แบบ:Math เรียกฟังก์ชันที่มีสมบัติดังกล่าวว่า ปฏิยานุพันธ์ของ แม่แบบ:Math^[3] ทฤษฎีบทมูลฐานของแคลคุลัสจะเชื่อมโยงปริพันธ์ไม่จำเขตและปริพันธ์จำกัดเขตเข้าด้วยกัน นอกจากนี้ยังมีการดัดแปลงสัญลักษณ์การหาปริพันธ์ข้างต้นไปสำหรับโดเมนอื่น ๆ หรือปริพันธ์ในมิติที่สูงกว่า

ไลบ์นิซเป็นคนแรกที่ใช้เครื่องหมายปริพันธ์เป็น ∫ ซึ่งดัดแปลงมาจากตัว s ยาว (ſ) แทนสัญลักษณ์ของปริพันธ์ ที่มาของ s ยาว นั้นมาจากคำว่า "summa" หรือเขียนว่า ſumma ซึ่งแปลว่าผลบวก สัญลักษณ์ที่ใช้ในปัจจุบันโดยมีการเขียน แม่แบบ:Math และ แม่แบบ:Math ใต้และบนเครื่องหมายของปริพันธ์มาจากฟูเรียร์^[4]

นิยามของปริพันธ์