ค่าสัมบูรณ์

กราฟของฟังก์ชันค่าสมบูรณ์

ในคณิตศาสตร์ ค่าสัมบูรณ์ หรือ มอดุลัส (แม่แบบ:Langx)ของจำนวนจริง x ใด ๆ คือ ผลต่างระหว่างจำนวนนั้นกับ 0 หรืออีกนัยหนึ่ง ค่าสัมบูรณ์ของจำนวนใด ๆ ได้จากการตัดเครื่องหมายลบทิ้ง ตัวอย่างเช่น ค่าสัมบูรณ์ของ 3 คือ 3 และค่าสัมบูรณ์ของ −3 ก็คือ 3 เช่นกัน

นอกจากนี้ยังมีการขยายนัยทั่วไปของค่าสัมบูรณ์ไปสู่ค่าสมบูรณ์ของจำนวนเชิงซ้อน จำนวนควอเตอร์เนียน ริงเรียงอันดับ ฟีลด์ ปริภูมิเวกเตอร์ และนำไปสู่นอร์มเหนือปริภูมิเวกเตอร์

นิยามบนจำนวนจริง

สำหรับจำนวนจริง a ใด ๆ , ค่าสัมบูรณ์ของ a เขียนแทนด้วย |a| เท่ากับ a ถ้า a ≥ 0 และเท่ากับ −a ถ้า a < 0 ค่าสัมบูรณ์จะเป็นจำนวนบวกหรือศูนย์เสมอ ไม่เป็นจำนวนลบ นั่นคือจะไม่มีค่า a ที่ |a| < 0

ค่าสัมบูรณ์สามารถถือว่าเป็นระยะทางระหว่างจำนวนนั้นกับศูนย์

สมบัติของค่าสัมบูรณ์บนจำนวนจริง

ค่าสัมบูรณ์มีสมบัติดังนี้ สำหรับจำนวนจริง $a,b,c$ ใด ๆ

$|a|\ge 0$	ความไม่เป็นลบ (Non-negativity)
$|a|=0⟺a=0$	สมบัติความเป็นบวกแน่นอน (Positive-definiteness)
$|ab|=\left|a\right|\left|b\right|$	สมบัติแยกคูณ (Multiplicativity)
$|a+b|\le |a|+|b|$	สมบัติ Subadditivity หรือเรียกว่าอสมการอิงรูปสามเหลี่ยม

สมบัติข้างต้นเป็นสมบัติพื้นฐานที่ใช้ในการนิยามค่าสัมบูรณ์ในกรณีทั่วไป สมบัติด้านล่างเป็นผลจากสมบัติข้างต้นทั้งสี่ข้อ

$\left|\left|a\right|\right|=|a|$	สมบัตินิจพล (Idempotence)
$|-a|=|a|$	ความสมมาตรผ่านการสะท้อน หรือ ความเป็นฟังก์ชันคู่
$|a-b|\le |a-c|+|c-b|$	อสมการอิงรูปสามเหลี่ยม
$\left|\frac{a}{b}\right|=\frac{|a|}{|b|}$ (เมื่อ $b\ne 0$)	สมบัติการแยกหาร
$|a-b|\ge |\left|a\right|-\left|b\right||$	อสมการอิงรูปสามเหลี่ยมย้อนกลับ

สมบัติที่สำคัญอีกสองข้อของค่าสัมบูรณ์มีดังนี้

$|a|\le b⟺-b\le a\le b$

$|a|\ge b⟺a\le -b$ or $a\ge b$

ซึ่งใช้ในการแก้อสมการที่เกี่ยวข้องกับค่าสัมบูรณ์ เช่น

$|x-3|\le 9$	$⟺-9\le x-3\le 9$
	$⟺-6\le x\le 12$

ค่าสัมบูรณ์บนจำนวนเชิงซ้อน

สำหรับจำนวนเชิงซ้อน $z=x+yi$ ใด ๆ เมื่อ $x,y\in ℝ$ เป็นจำนวนจริง จะนิยามค่าสัมบูรณ์หรือมอดุลัสของ $z$ ได้ดังนี้

$|z|=\sqrt{[\mathrm{Re}(z){]}^2+[\mathrm{Im}(z){]}^2}=\sqrt{x^2+y^2}$

เมื่อ Re(z) แทนส่วนจริง และ Im(z) แทนส่วนจินตภาพของจำนวนเชิงซ้อน z แม่แบบ:โครงคณิตศาสตร์