เกรเดียนต์

ไฟล์:Gradient2.svg

ในสองภาพข้างบนได้แสดงแทนฟังก์ชันสเกลาร์ด้วยสีดำและสีขาว สีดำแทนตำแหน่งที่ฟังก์ชันมีค่าสูงกว่า และเกรเดียนต์ที่แต่ละจุดแสดงโดยลูกศรสีฟ้า สังเกตว่าเกรเดียนต์ชี้ไปทิศทางที่ฟังก์ชันมีค่ามากขึ้น

ในแคลคูลัสเวกเตอร์ เกรเดียนต์ (แม่แบบ:Langx) คือการดำเนินการกับฟังก์ชันหลายตัวแปร $f$ ซึ่งหาอนุพันธ์ได้ซึ่งมีค่าเป็นสเกลาร์ ผลลัพธ์ที่ได้คือสนามเวกเตอร์ $\mathrm{\nabla }f$ ที่ค่าที่แต่ละจุดจะชี้ไปในทิศทางที่ $f$ มีค่ามากขึ้นที่สุด และขนาดของเวกเตอร์เท่ากับอัตราการเพิ่มขึ้นในทิศทางนั้น ๆ เรียกสนามเวกเตอร์นี้ว่า เกรเดียนต์ของ $f$สัญลักษณ์ $\mathrm{\nabla }$ เรียกว่าสัญลักษณ์นาบลา (nabla) หรือ เดล (del)

เนื่องจากเกรเดียนต์ระบุทิศทางที่ฟังก์ชันมีค่าเพิ่มขึ้นมากที่สุด และทิศทางตรงกันข้ามของเกรเดียนต์ฟังก์ชันจะมีค่าน้อยที่สุด เกรเดียนต์จึงมีความสำคัญในวิชาการหาค่าเหมาะที่สุด เพื่อหาค่าที่น้อยที่สุดของฟังก์ชัน $f$ ด้วยขั้นตอนวิธีการเคลื่อนลงตามความชัน (gradient descent)

แนวคิดจูงใจของเกรเดียนต์

มีข้อผิดพลาดในการสร้างรูปย่อ:

เกรเดียนต์ของฟังก์ชันสองมิติ แม่แบบ:Math ถูกพล็อตโดยใช้ลูกศรเหนือค่าของฟังก์ชันซึ่งแสดงโดยใช้สี

พิจารณาห้องที่อุณหภูมิภายในกำหนดด้วยฟังก์ชันค่าสเกลาร์ $T$ นั่นคือที่จุด $(x,y,z)$ อุณหภูมิที่ตำแหน่งนั้นคือ $T(x,y,z)$ และเป็นอิสระจากเวลา

เกรเดียนต์ของ $T$ ที่จุด $(x,y,z)$ จะบอกทิศทางที่อุณหภูมิเพิ่มขึ้นเร็วที่สุดเมื่อเดินทางออกจากจุด $(x,y,z)$ และขนาดของเกรเดียนต์จะระบุอัตราเร็วที่อุณหภูมิเพิ่มขึ้นในทิศทางนั้น

พิจารณาพื้นผิวที่ความสูงจากระดับน้ำทะเลที่จุด $(x,y)$ กำหนดโดยฟังก์ชัน $H(x,y)$ เกรเดียนต์ของ $H$ ที่จุด $(x,y)$ จะเป็นเวกเตอร์ที่ชี้บอกทิศทางที่ชันมากที่สุดจากจุดนั้น และความชันจะเท่ากับขนาดของเวกเตอร์เกรเดียนต์

นอกจากนี้ เกรเดียนต์ยังสามารถใช้วัดอัตราการเปลี่ยนแปลงของฟังก์ชันค่าสเกลาร์ในทิศทางอื่นนอกเหนือไปจากทิศทางของเกรเดียนต์เอง โดยการหาผลคูณจุด สมมติว่าความชันสูงสุดที่จุด ๆ หนึ่งบนเนินเขาเท่ากับ 40% ถนนขึ้นเนินที่ทำมุมอื่น ๆ ย่อมจะมีความชันน้อยกว่า เราสามารถหาความชันได้โดยหาผลคูณจุดระหว่างเกรเดียนต์ที่จุดที่สนใจ และเวกเตอร์หน่วยที่ชี้ไปตามทิศทางของถนน

โดยทั่วไปกว่านั้น ถ้าฟังก์ชัน $H$ ที่ระบุความสูงของเนิน เป็นฟังก์ชันหาอนุพันธ์ได้ แล้วเกรเดียนต์ของ $H$ คูณสเกลาร์กับเวกเตอร์หน่วยจะเท่ากับความชันของเนินในทิศทางนั้น หรือก็คืออนุพันธ์ระบุทิศทางของ $H$ ในทิศทางของเวกเตอร์หน่วยนั้น

สัญลักษณ์ที่ใช้

เกรเดียนต์ของฟังก์ชัน $f$ ที่จุด $a$ นิยมเขียนแทนด้วย $\mathrm{\nabla }f(a)$ แต่อาจจะมีสัญลักษณ์อื่น ๆ เช่น

• $\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}f(a)$ : เพื่อเจาะจงความเป็นเวกเตอร์ของเกรเดียนต์
• $\mathrm{grad}f$
• ${\partial }_{i}f$ and $f_i$ : โดยใช้สัญกรณ์ของไอน์ชไตน์ (Einstein notation) โดยดรรชนีที่ซ้ำให้ถือว่าถูกบวกอยู่ (แม่แบบ:Math)

นิยาม

ไฟล์:3d-gradient-cos.svg

เกรเดียนต์ของฟังก์ชัน แม่แบบ:Math แสดงผ่านสนามเวกเตอร์ที่ถูกฉายลงบนระนาบด้านล่าง

เกรเดียนต์ ของฟังก์ชันสเกลาร์ $f(x_1,\dots ,x_n)$ เขียนแทนด้วย $\mathrm{\nabla }f$ หรือ $\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}f$ นิยามให้เป็นสนามเวกเตอร์ซึ่งมีเพียงแบบเดียวที่ผลคูณจุดกับเวกเตอร์ $𝐯$ ที่จุด $x$ จะเท่ากับอนุพันธ์ระบุทิศทางของ $f$ ไปตาม $𝐯$ นั่นคือ $$(\mathrm{\nabla }f(x))\cdot 𝐯=D_{𝐯}f(x)$$

เมื่อพจน์ทางขวามือคืออนุพันธ์ระบุทิศทางของฟังก์ชัน $f$ ในทางรูปนัยเราจะกล่าวว่าการหาอนุพันธ์เป็น ดูอัล ของเกรเดียนต์ มีวิธีการหาค่าของเกรเดียนต์หลายวิธีซึ่งเสนอไว้ด้านล่าง

สัญลักษณ์ $\mathrm{\nabla }$ เรียกว่าตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์สำหรับเวกเตอร์

ขนาดและทิศทางของเกรเดียนต์ไม่ขึ้นกับระบบพิกัดที่ใช้

ระบบพิกัดคาร์ทีเซียน

ในระบบพิกัดคาร์ทีเซียนสามมิติพร้อมกับเมตริกแบบยูคลิด เกรเดียนต์ถ้ามีค่าจะเป็นไปตามสมการ

$$\mathrm{\nabla }f=\frac{\partial f}{\partial x}𝐢+\frac{\partial f}{\partial y}𝐣+\frac{\partial f}{\partial z}𝐤$$

เมื่อ แม่แบบ:Math, แม่แบบ:Math, แม่แบบ:Math เป็นเวกเตอร์หนึ่งหน่วยมาตรฐานในทิศทางของระบบพิกัด แม่แบบ:Math, แม่แบบ:Math และ แม่แบบ:Math ตามลำดับ ตัวอย่างเช่น เกรเดียนต์ของฟังก์ชัน $$f(x,y,z)=2x+3y^2-\sin (z)$$ คือ $$\mathrm{\nabla }f(x,y,z)=2𝐢+6y𝐣-\cos (z)𝐤$$ หรือเขียนแทนด้วย$$\mathrm{\nabla }f(x,y,z)=\left[\begin{array}{c}2\\ 6y\\ -\cos z\end{array}\right]$$

ในบางการใช้งานนิยมเขียนเกรเดียนต์เป็นเวกเตอร์แถวหรือเวกเตอร์หลัก

อ้างอิง

บรรณานุกรม

• แม่แบบ:Citation
• แม่แบบ:Citation
• แม่แบบ:Citation
• แม่แบบ:Cite book
• แม่แบบ:Citation
• แม่แบบ:Citation
• แม่แบบ:Cite encyclopedia
• แม่แบบ:Citation
• แม่แบบ:Citation
• แม่แบบ:Cite book
• แม่แบบ:Citation
• แม่แบบ:Citation
• แม่แบบ:Citation