ผลคูณจุด

แม่แบบ:ต้องการอ้างอิง ผลคูณจุด หรือ ผลคูณเชิงสเกลาร์ ในทางคณิตศาสตร์ คือ การดำเนินการทวิภาคบนเวกเตอร์สองอันในปริภูมิแบบยุคลิด ซึ่งให้ผลลัพธ์เป็นปริมาณสเกลาร์ที่เป็นจำนวนจริง ต่างกับผลคูณไขว้ซึ่งให้ผลลัพธ์เป็นเวกเตอร์อีกอันหนึ่ง

นิยาม

ผลคูณจุดของเวกเตอร์ a และเวกเตอร์ b เขียนแทนด้วย a · b (อ่านว่า เอ ดอต บี) นิยามโดยผลบวกของผลคูณระหว่างสมาชิกแต่ละตัวของ a และ b

$𝐚\cdot 𝐛=\sum _{i=1}^n{a}_i{b}_i=a_1{b}_1+a_2{b}_2+\cdots +a_n{b}_n$

ตัวอย่างเช่น ผลคูณจุดของเวกเตอร์ [1, 3, −5] กับ [4, −2, −1] สามารถคำนวณได้ดังนี้

$\left[\begin{array}{ccc}1& 3& -5\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{ccc}4& -2& -1\end{array}\right]=(1)(4)+(3)(-2)+(-5)(-1)=3$

ความหมายทางเรขาคณิต

ไฟล์:Scalarproduct.gif

|a|cos(θ) คือเงาในแนวตั้งฉากบน b

ในปริภูมิแบบยุคลิด ผลคูณไขว้มีความสัมพันธ์กับความยาวและมุม สำหรับเวกเตอร์ a ผลลัพธ์ของ a · a คือกำลังสองของความยาวของ a ส่วนในกรณีทั่วไปเมื่อ b เป็นเวกเตอร์อีกอันหนึ่ง จะได้ว่า

$𝐚\cdot 𝐛=|𝐚||𝐛|\cos \theta$

เมื่อ |a| และ |b| แทนความยาว (ขนาด) ของเวกเตอร์ a และ b ตามลำดับ และ θ คือมุมระหว่างเวกเตอร์ทั้งสอง

|a| cos(θ) คือความยาวของเงาของ a ในแนวตั้งฉากไปยัง b ตามรูป เมื่อมุมระหว่างเวกเตอร์ตั้งฉากต่อกัน โคไซน์ของมุม 90° จะเท่ากับศูนย์ จึงทำให้ผลคูณจุดของสองเวกเตอร์ที่ตั้งฉากกันจะเป็นศูนย์เสมอ

ดูเพิ่ม

• ผลคูณไขว้

แหล่งข้อมูลอื่น

• แม่แบบ:Mathworld
• Java demonstration of dot product
• Another Java demonstration of dot product
• Explanation of dot product including with complex vectors