การหาค่าเหมาะที่สุด

ในทางคณิตศาสตร์ การหาค่าเหมาะที่สุด (optimization) หมายถึงการหาตัวเลือกที่ดีที่สุดตามเงื่อนไขทางคณิตศาสตร์ที่กำหนดแม่แบบ:R โดยเลือกตัวแปรจากเซตที่กำหนดให้ฟังก์ชันที่เป็นวัตถุประสงค์มีค่าเหมาะที่สุด เช่น ค่าต่ำสุดหรือค่าสูงสุด วิธีการหาค่าเหมาะที่สุดได้รับการประยุกต์ใช้ในสาขาต่าง ๆ เช่น ฟิสิกส์ วิศวกรรมศาสตร์ เศรษฐศาสตร์ เป็นต้น

นิยามปัญหา

ปัญหาการหาค่าเหมาะที่สุดในบริบทของจำนวนจริง หมายถึงการเลือกตัวแปร $x$ จากเซตตัวเลือกที่เป็นไปได้ เพื่อให้ได้ค่าของฟังก์ชัน $f(x)$ เป็นค่าสูงที่สุดหรือค่าต่ำที่สุด

ให้ $x=(x_1,\dots ,x_n)$ เป็นเวกเตอร์จำนวนจริงในปริภูมิจำนวนจริง n มิติ (${ℝ}^n$) และให้ฟังก์ชัน $f$ และ $g_1,g_2,\dots ,g_m$ เป็นฟังก์ชันจาก ${ℝ}^n$ ไปยังจำนวนจริง $ℝ$ ปัญหาการหาค่าเหมาะที่สุด (ในบริบทของฟังก์ชันจำนวนจริง) สามารถเขียนออกมาในรูปแบบทั่วไปได้ว่าแม่แบบ:R เลือกเวกเตอร์ $x$ ที่ทำให้ $f(x)$ มีค่าน้อยที่สุด $$\underset{x}{\min }f(x)$$ ภายใต้เงื่อนไขว่า สำหรับ $i=1,2,\dots ,m$: $$g_i(x)\le 0$$ ฟังก์ชัน $f$ เรียกว่าเป็นฟังก์ชันวัตถุประสงค์ ในขณะที่ฟังก์ชัน $g_1,g_2,\dots ,g_m$ เรียกว่าฟังก์ชันเงื่อนไขบังคับ ค่า $f(x^{*})$ เป็นค่าเหมาะที่สุด (หรือค่าต่ำสุด) ถ้า $x^{*}$ เป็นไปตามเงื่อนไขบังคับทุกข้อ และ $f(x^{*})$ มีค่าน้อยที่สุดในบรรดาเวกเตอร์ที่เป็นไปตามเงื่อนไขบังคับ กล่าวคือ $$f(x^{*})\le f(z)$$ สำหรับเวกเตอร์ $z\in {ℝ}^n$ ใดๆ ที่เป็นไปตามเงื่อนไขบังคับ $g_1(z)\le 0,g_2(z)\le 0,\dots ,g_m(z)\le 0$ เวกเตอร์ $x^{*}$ เรียกว่าคำตอบหรืออาร์กิวเมนต์ของค่าเหมาะที่สุด

ดูเพิ่ม

• กำหนดการเชิงเส้น
• กำหนดการพลวัต
• การหาค่าเหมาะที่สุดแบบเฟ้นสุ่ม