ฟังก์ชันเครื่องหมาย

กราฟของฟังก์ชันเครื่องหมาย

ในทางคณิตศาสตร์ ฟังก์ชันเครื่องหมาย (แม่แบบ:Langx) คือฟังก์ชันทางคณิตศาสตร์อย่างหนึ่งที่ดึงเครื่องหมายออกมาจากจำนวนจริง เขียนแทนด้วย sgn และเพื่อไม่ให้สับสนกับฟังก์ชันไซน์ (sine) ซึ่งออกเสียงเหมือนกันในภาษาอังกฤษ ฟังก์ชันนี้จึงเรียกอีกชื่อหนึ่งว่า ซินยุม หรือ ซิกนัม (signum) มาจากภาษาละติน

นิยาม

นิยามของฟังก์ชันเครื่องหมายมีดังนี้ เมื่อ x เป็นจำนวนจริง

$\mathrm{sgn}(x)=\{\begin{array}{cc}-1& \text{if }x<0,\\ 0& \text{if }x=0,\\ 1& \text{if }x>0.\end{array}$

สมบัติต่าง ๆ

สำหรับจำนวนจริง x ใด ๆ สามารถแสดงให้อยู่ในรูปผลคูณระหว่างค่าสัมบูรณ์กับฟังก์ชันเครื่องหมาย

$x=\mathrm{sgn}(x)\cdot |x|$

จากสมการดังกล่าว เราจะได้ความหมายของฟังก์ชันเครื่องหมายอีกอย่างหนึ่ง เมื่อ x ไม่เท่ากับ 0

$\mathrm{sgn}(x)=\frac{x}{|x|}$

ฟังก์ชันเครื่องหมาย คือ อนุพันธ์ของฟังก์ชันค่าสัมบูรณ์ (ซึ่งประเมินค่าไม่ได้ที่ 0)

$\frac{d|x|}{dx}=\frac{x}{|x|}$

ฟังก์ชันเครื่องหมายสามารถหาอนุพันธ์ได้ทุกจุดยกเว้นจุด 0 แต่สำหรับการหาอนุพันธ์ในทฤษฎีการกระจาย อนุพันธ์ของฟังก์ชันเครื่องหมายมีค่าเป็นสองเท่าของฟังก์ชันเดลตาของดิแร็ก (Dirac delta function)

$\frac{d\mathrm{sgn}(x)}{dx}=2\delta (x)$

ฟังก์ชันเครื่องหมายมีความสัมพันธ์กับฟังก์ชันขั้นบันไดของเฮฟวีไซด์ (Heaviside step function) H_1/2(x) นั่นคือ

$\mathrm{sgn}(x)=2H_{1/2}(x)-1$

เมื่อเลข 1/2 ของฟังก์ชันขั้นบันไดหมายถึง H_1/2(0) = 1/2 ฟังก์ชันเครื่องหมายยังสามารถเขียนโดยใช้สัญกรณ์วงเล็บเหลี่ยมของอีเวอร์สัน (Iverson bracket) ดังนี้

$\mathrm{sgn}(x)=-[x<0]+[x>0]$

สำหรับ k ≫ 0 การประมาณค่าโดยละเอียดของฟังก์ชันขั้นบันไดดังกล่าวหาได้จาก

$\mathrm{sgn}(x)\approx \tanh (kx)$

ฟังก์ชันบนจำนวนเชิงซ้อน

ฟังก์ชันเครื่องหมายสามารถอธิบายบนจำนวนเชิงซ้อน z ใด ๆ ยกเว้น 0 ได้ดังนี้

$\mathrm{sgn}(z)=\frac{z}{|z|}$

ซึ่งจะให้ผลลัพธ์เป็นจุดจุดหนึ่งบนวงกลมหนึ่งหน่วยที่อยู่ใกล้กับ z มากที่สุดบนระนาบเชิงซ้อน นั่นคือ

$\mathrm{sgn}(z)=\exp (i\arg z)$

โดยที่ arg z คือ อาร์กิวเมนต์จำนวนเชิงซ้อนของ z เนื่องจากเหตุผลของความสมมาตร และเพื่อรักษานัยทั่วไปที่สมบูรณ์ของฟังก์ชันเครื่องหมายบนจำนวนจริง ดังนั้นบนจำนวนเชิงซ้อนก็มีการกำหนดให้ sgn 0 = 0 ด้วย

การวางนัยทั่วไปอีกแบบหนึ่งของฟังก์ชันเครื่องหมายสำหรับทั้งจำนวนจริงและจำนวนเชิงซ้อน คือ csgn ซึ่งนิยามโดย

$\mathrm{csgn}(z)=\{\begin{array}{cc}1& \text{if }\mathrm{\Re }(z)>0\vee (\mathrm{\Re }(z)=0\wedge \mathrm{\Im }(z)>0),\\ -1& \text{if }\mathrm{\Re }(z)<0\vee (\mathrm{\Re }(z)=0\wedge \mathrm{\Im }(z)<0),\\ 0& \text{if }\mathrm{\Re }(z)=\mathrm{\Im }(z)=0.\end{array}$

ซึ่งเราจะได้สมบัติดังนี้ (ยกเว้นค่า z = 0)

$\mathrm{csgn}(z)=\frac{z}{\sqrt{z^2}}=\frac{\sqrt{z^2}}{z}$

ฟังก์ชันเครื่องหมายแบบนัยทั่วไป

ที่จำนวนจริง x เราสามารถสร้างฟังก์ชันเครื่องหมายในรูปแบบของฟังก์ชันนัยทั่วไป (generalized function) คือ $\epsilon (x)$ โดยนิยามให้ $\epsilon (x{)}^2=1$ บนทุกๆ ค่าของ x รวมทั้งจุดที่ x = 0 (ซึ่งต่างกับ sgn คือ $sgn(0{)}^2=0$) และถึงแม้ว่าฟังก์ชันนัยทั่วไปนี้สามารถทำให้เกิดพีชคณิตของฟังก์ชันได้ แต่จะเสียสมบัติการสลับที่ไป โดยเฉพาะฟังก์ชันเดลตาของดิแร็กที่เป็นคู่ต่างสลับที่ของฟังก์ชันนี้

$\epsilon (x)\delta (x)+\delta (x)\epsilon (x)=0$

นอกจากนั้น $\epsilon (x)$ ไม่สามารถประเมินค่าได้ที่ x = 0 ดังนั้นความหมายของ $\epsilon$ จึงสำคัญที่จะแยกแยะออกจากฟังก์ชัน sgn (นั่นคือ $\epsilon (0)$ ไม่นิยาม แต่ในขณะที่ sgn(0) = 0)

ดูเพิ่ม

• จำนวนลบและจำนวนไม่เป็นลบ
• ค่าสัมบูรณ์
• ฟังก์ชันสี่เหลี่ยมมุมฉาก (rectangular function)