อนุพันธ์สมมาตร

ในคณิตศาสตร์ อนุพันธ์สมมาตรเป็นการดำเนินการที่วางนัยทั่วไปกับอนุพันธ์สามัญ

นิยามว่า$$\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(x+h)-f(x-h)}{2h}$$

นิพจน์ภายในลิมิตบางทีเรียกว่าผลหารผลต่างสมมาตร ฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์สมมาตรได้ที่จุด x ถ้าอนุพันธ์สมมาตรหาค่าได้ที่จุดนั้น

ถ้าฟังก์ชันหาอนุพันธ์ได้ (ในความหมายทั้วไป) ที่จุดนั้น จุดนั้นก็จะหาอนุพันธ์สมมาตรได้ แต่ไม่จำเป็นจะเป็นจริงในทางกลับกัน ตัวอย่างค้านที่พบบ่อยคือฟังก์ชันค่าสัมบูรณ์ $f(x)=|x|$ จะไม่สามารถหาอนุพันธ์ได้ที่ $x=0$ แต่สามารถหาาอนุพันธ์สมมาตรได้ 0 สำหรับฟังก์ชันหาอนุพันธ์ได้ ผลหารผลต่างสมมาตรให้การประมาณทางตัวเลขของอนุพันธ์ได้ดีกว่าผลหารผลต่างปกติ

อนุพันธ์สมมาตร ณ จุด ๆ หนึ่งเท่ากับค่าเฉลี่ยเลขคณิตของอนุพันธ์ทางซ้ายและทางขวาที่จุดนั้น ถ้าหาค่าสองอย่างนั้นได้แม่แบบ:Rp

ทั้งทฤษฎีบทของโรลล์และทฤษฎีบทค่าเฉลี่ยไม่จำเป็นจะเป็นจริงสำหรับอนุพันธ์สมมาตร บางประพจน์ที่คล้ายกันแต่อ่อนกว่าได้รับการพิสูจน์

ตัวอย่าง

กราฟของฟังก์ชันค่าสัมบูรณ์ สังเกตการหักมุมที่ แม่แบบ:Math นำไปสู่การหาค่าอนุพันธ์ได้ที่ แม่แบบ:Math ฟังก์ชันนี้จึงไม่สามารถหาอนุพันธ์สามัญที่ แม่แบบ:Math ได้ แต่อนุพันธ์สมมาตรหาค่าได้ที่ แม่แบบ:Math

ฟังก์ชันค่าสัมบูรณ์

สำหรับฟังก์ชันค่าสัมบูรณ์ $f(x)=|x|$ ใช้สัญกรณ์ $f_s(x)$ สำหรับอนุพันธ์สมมาตร ที่ $x=0$ จะได้

$$\begin{array}{cc}{f}_s(0)& =\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(0+h)-f(0-h)}{2h}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(h)-f(-h)}{2h}\\ & =\underset{h\to 0}{\lim }\frac{|h|-|-h|}{2h}\\ & =\underset{h\to 0}{\lim }\frac{|h|-|h|}{2h}\\ & =\underset{h\to 0}{\lim }\frac{0}{2h}=0\\ \end{array}$$

ดังนั้นอนุพันธ์สมมาตรจึงหาค่าได้ที่ $x=0$ แล้ามีค่าเป็น 0 แม้ว่าอนุพันธ์สามัญจะหาค่าไม่ได้ที่จุดนั้นก็ตาม (เนื่องจากการหักมุมในกราฟที่ $x=0$)

สังเกตว่าในตัวอย่างนี้ทั้งอนุพันธ์ทางซ้ายและทางขวาที่ 0 หาค่าได้เป็น -1 และ +1 ตามลำดับ ต่าเฉลี่ยจึงได้ 0 ตามที่คาดไว้

กราฟของ แม่แบบ:Math สังเกตความไม่ต่อเนื่องที่ แม่แบบ:Math ฟังก์ชันนี้จึงไม่สามารถหาอนุพันธ์สามัญที่ แม่แบบ:Math ได้ แต่อนุพันธ์สมมาตรหาค่าได้ที่ แม่แบบ:Math

ฟังก์ชัน x⁻²

สำหรับฟังก์ชัน $f(x)=1/x^2$ ที่ $x=0$ จะได้

$$\begin{array}{cc}{f}_s(0)& =\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(0+h)-f(0-h)}{2h}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(h)-f(-h)}{2h}\\ & =\underset{h\to 0}{\lim }\frac{1/h^2-1/(-h{)}^2}{2h}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{1/h^2-1/h^2}{2h}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{0}{2h}=0\end{array}$$

สำหรับฟังก์ชันนี้อนุพันธ์สมมาตรหาค่าได้ที่ $x=0$ ส่วนอนุพันธ์สามัญจะหาค่าไม่ได้ที่ $x=0$ เนื่องจากความไม่ต่อเนื่องในส่วนโค้งที่จุดนั้น นอกจากนี้ทั้งอนุพันธ์ทางซ้ายและทางขวาเป็นอนันต์ที่ 0 เป็นตัวอย่างของภาวะไม่ต่อเนื่องสำคัญ

ฟังก์ชันดิริชเลต์

ฟังก์ชันดิริชเลต์ นิยามว่า$$f(x)=\{\begin{array}{cc}1,& x\in \mathbb{Q}\\ 0,& x\in ℝ-\mathbb{Q}\end{array}$$

สามารถหาอนุพันธ์สมมาตรได้ที่ทุก $x\in \mathbb{Q}$ แต่ไม่สามารถหาอนุพันธ์สมมาตรได้ที่ $x\in ℝ-\mathbb{Q}$ ใด ๆ หรือสามารถหาอนุพันธ์สมมาตรได้ที่จำนวนตรรกยะแต่ไม่ได้ทีจำนวนอตรรกยะ

การวางนัยทั่วไป

แนวคิดนี้สามารถการวางนัยทั่วไปยังอนุพันธ์สมมาตรอันดับสูงอื่น ๆ และทั้งปริภูมิยุคลิด n-มิติ

อนุพันธ์สมมาตรอันดับสอง

อนุพันธ์สมมาตรอันดับสองสามารถนิยามได้ดังนี้แม่แบบ:Rp$$\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(x+h)-2f(x)+f(x-h)}{h^2}$$

ถ้าอนุพันธ์สามัญอันดับสองหาค่าได้ แล้วอนุพันธ์สมมาตรอันดับสองหาค่าได้ และจะมีค่าเท่ากัน อนุพันธ์สมมาตรอันดับสองอาจหาค่าได้ แม้ว่าอนุพันธ์สามัญอันดับสองจะหาค่าไม่ได้ก็ตามดังตัวอย่าง พิจารณาฟังก์ชันเครื่องหมาย $\mathrm{sgn}(x)$ ซึ่งได้นิยามไว้ว่า$$\mathrm{sgn}(x)=\{\begin{array}{cc}-1& ,x<0\\ 0& ,x=0\\ 1& ,x>0\end{array}$$ฟังก์ชันเครื่องหมายไม่ต่อเนื่องที่ศูนย์ ดังนั้นอนุพันธ์สามัญอันดับสองสไหรับ $x=0$ จะหาค่าไม่ได้ แต่อนุพันธ์สมมาตรอันดับสองหาค่าได้สำหรับ $x=0$$$\underset{h\to 0}{\lim }\frac{\mathrm{sgn}(0+h)-2\mathrm{sgn}(0)+\mathrm{sgn}(0-h)}{h^2}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{\mathrm{sgn}(h)-2\cdot 0+(-\mathrm{sgn}(h))}{h^2}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{0}{h^2}=0.$$

ดูเพิ่ม

• แบบแผนผลต่างกลาง
• จุดความหนาแน่น
• การวางนัยทั่วไปต่าง ๆ กับอนุพันธ์
• ฟังก์ชันต่อเนื่องแบบสมมาตร

แหล่งข้อมูลอื่น

• แม่แบบ:Springer
• Approximating the Derivative by the Symmetric Difference Quotient (Wolfram Demonstrations Project)