มัชฌิมเลขคณิต

ในทางคณิตศาสตร์และสถิติศาสตร์ มัชฌิมเลขคณิต หรือ ค่าเฉลี่ยเลขคณิต (อาจเรียกแค่ มัชฌิม หรือ ค่าเฉลี่ย) ของรายการหนึ่ง คือผลบวกตัวเลขในรายการนั้นทุกจำนวน หารด้วยจำนวนตัวเลขในรายการ รายการมักจะเป็นผลการทดลองหรือการศึกษาจากการสังเกต หรือบ่อยครั้งจะเป็นชุดของผลลัพธ์จากการสำรวจ คำว่า "มัชฌิมเลขคณิต" เป็นที่ต้องการในบางบริบทในคณิตศาตร์และสถิติเพราะมันช่วยแยกความแตกต่างจากมัชฌิมอื่นๆ เช่น มัชฌิมเรขาคณิตและ มัชฌิมฮาร์มอนิก

นอกจากจะใช้ในทางคณิตศาสตร์และสถิติศาสตร์แล้ว มีการใช้มัชฌิมเลขคณิตในสาขาวิชาต่าง ๆ ได้แก่ เศรษฐศาสตร์ มานุษยวิทยา และ ประวัติศาสตร์ ทั้งยังใช่ในสาขาวิชาอื่นๆ เกือบทั้งหมด เช่น รายได้เฉลี่ยต่อบุคคล คือ มัชฌิมเลขคณิตของรายได้ทั้งหมดต่อประชาการประทศ

ถ้ารายการของจำนวนเกี่ยวข้องกับประชากรทางสถิติจะเรียกว่า ค่าเฉลี่ยประชากร และถ้าเกี่ยวข้องกับตัวอย่างทางสถิติจะเรียกว่า ค่าเฉลี่ยของตัวอย่าง

และเมื่อมัชฌิมเลขคณิตมีค่าประมาณไม่เท่ากับมัธยฐาน รายการของจำนวน หรือการแจกแจงความถี่ จะเรียกว่ามีความเบ้ (skewness) ของข้อมูล

นิยาม

ถ้าเรากำหนดชุดข้อมูล $X=(x_1,x_2,\dots ,x_n)$ ขึ้นมาชุดหนึ่ง มัชฌิมเลขคณิตของชุดข้อมูลนี้สามารถเขียนแทนได้ด้วยชื่อตัวแปร $X$ และมีขีดอยู่ข้างบน เช่น $\overline{x}$ อ่านว่า เอกซ์ บาร์

บางครั้งมีการใช้อักษรกรีก มิว ตัวเล็ก ($\mu$) แทนมัชฌิมเลขคณิตของประชากรทั้งหมด หรือสำหรับตัวแปรสุ่ม $X$ ที่ได้นิยามมิชฌิมไว้แล้ว ค่าของ $\mu$ จะหมายถึงค่าคาดหมาย (expected value) ของตัวแปรสุ่มนั้น เขียนแทนได้ด้วย $\mu =\mathrm{E}\{x_i\}$

แต่ในทางปฏิบัติ ความแตกต่างระหว่าง $\mu$ กับ $\overline{x}$ ไม่สามารถสังเกตเพื่อแยกแยะได้อย่างชัดเจน เพราะเราสังเกตเพียงกลุ่มตัวอย่างหนึ่งแทนที่จะเป็นประชากรทั้งหมด และเมื่อตัวอย่างนั้นเป็นการสุ่มขึ้นมา เราจึงต้องทำเหมือนว่า $\overline{x}$ เป็นตัวแปรสุ่มอีกตัวหนึ่งในการอธิบายการแจกแจงความน่าจะเป็น แทนที่จะเป็น $\mu$ ซึ่งสัญกรณ์ทั้งสองอย่างสามารถคำนวณได้ด้วยสูตรเดียวกันคือ

$\overline{x}=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{x}_i=\frac{1}{n}(x_1+\cdots +x_n)$

ตัวอย่างเช่น มัชฌิมเลขคณิตของข้อมูล 3 จำนวน สามารถคำนวณได้จาก $\frac{x_1+x_2+x_3}{3}$

หรือมัชฌิมเลขคณิตของข้อมูล 4 จำนวน สามารถคำนวณได้จาก $\frac{x_1+x_2+x_3+x_4}{4}$ เป็นต้น

มัชฌิมเลขคณิตถ่วงน้ำหนัก

มัชฌิมเลขคณิตถ่วงน้ำหนัก หรือ ค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนัก เป็นวิธีหาค่าเฉลี่ยรูปแบบหนึ่งคล้ายกับค่าเฉลี่ยเลขคณิตทั่วไป โดยจะมีปัจจัยน้ำหนัก ($w$) ของข้อมูลแต่ละจุดเข้ามาใช้คำนวณด้วย มักเขียนแทนด้วยตัวอักษร ${\overline{x}}_w$

หากกำหนดชุดข้อมูลขึ้นมาชุดหนึ่งคือ $((x_1,w_1),(x_2,w_2)\dots ,(x_n,w_n))$ โดย $(x_1,x_2,\dots ,x_n)$ คือเซ็ตข้อมูลที่เป็นตัวเลข เช่น ส่วนสูงของมนุษย์ และ $(w_1,w_2,\dots ,w_n)$ คือน้ำหนักของข้อมูลแต่ละจุดซึ่งเป็นตัวเลข เช่น ความถี่ส่วนสูงของมนุษย์ ดังเช่นตารางต่อไปนี้

ส่วนสูง	ความถี่
$x_1$	$w_1$
$x_2$	$w_2$
$x_3$	$w_3$
...	...
$x_n$	$w_n$

จะสามารถคำนวณค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักของข้อมูลชุดนี้ด้วยสูตร

${\overline{x}}_w=\frac{\sum _{i=1}^n{w}_i{x}_i}{\sum _{i=1}^n{w}_i}$

ทั้งนี้ หากกำหนดการถ่วงน้ำหนักทุกจุดให้ $w_i=1$ สูตรการคำนวณค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนัก (${\overline{x}}_w$) จะกลับไปเป็นสูตรค่าเฉลี่ยเลขคณิตทั่วไป ($\overline{x}$)

ดูเพิ่ม

• มัชฌิม
• มัธยฐาน
• ฐานนิยม
• ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน
• ความแปรปรวน