มัชฌิมเรขาคณิต

ในวิชาคณิตศาสตร์ มัชฌิมเรขาคณิต เป็นค่ามัชฌิมหรือค่าเฉลี่ยที่บ่งบอกถึงแนวโน้มสู่ส่วนกลางของจำนวนชุดหนึ่งด้วยผลคูณของค่าแต่ละค่า (ต่างจากมัชฌิมเลขคณิตซึ่งใช้ผลบวกของค่าแต่ละค่า) นิยามของมัชฌิมเรขาคณิตคือ[[รากที่ n|รากที่ แม่แบบ:Math]] ของผลคูณของจำนวน แม่แบบ:Mvar จำนวน กล่าวได้ว่า สำหรับชุดของจำนวน แม่แบบ:Math มัชฌิมเรขาคณิตมีนิยามเป็น

{(\prod_{i = 1}^{n} a_{i})}^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{a_{1} a_{2} \dots a_{n}}

หรือแสดงออกโดยสมมูลกันเป็นมัชฌิมเลขคณิตของแต่ละจำนวนในมาตราส่วนลอการิทึม

\exp (\frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} \ln a_{i})

ยกตัวอย่าง มัชฌิมเรขาคณิตของจำนวนสองจำนวน อาทิ 2 กับ 8 เป็นรากที่สอง (square root) ของผลคูณของทั้งสองจำนวน นั่นคือ $\sqrt{2 \cdot 8} = 4$ ยกอีกตัวอย่างหนึ่ง มัชฌิมเรขาคณิตของจำนวนสามจำนวน 4, 1, และ 1/32 เป็นรากที่สามของผลคูณของทั้งสามจำนวน (1/8) นั่นก็คือ 1/2 กล่าวคือ $\sqrt[3]{4 \cdot 1 \cdot 1 / 32} = 1 / 2$ มัชฌิมเรขาคณิตใช้ได้กับจำนวนบวกเท่านั้นแม่แบบ:Efn

มัชฌิมเรขาคณิตมักถูกใช้สำหรับชุดของจำนวนซึ่งจะนำมาคูณกันหรือมีลักษณะเป็นเลขยกกำลัง เช่นตัวเลขการเติบโตต่าง ๆ อาทิจำนวนประชากรโลกหรืออัตราดอกเบี้ยของการลงทุนทางการเงินเมื่อเวลาผ่านไป นอกจากนี้ยังถูกนำมาใช้ในการวัดเปรียบเทียบสมรรถนะของคอมพิวเตอร์ โดยมีประโยชน์สำหรับการคำนวณค่ามัชฌิมของอัตราความเร็วที่เพิ่มขึ้น (speedup) เพราะค่ามัชฌิมของจำนวน 0.5x (ช้าลงครึ่งหนึ่ง) กับ 2x (เร็วขึ้นสองเท่า) จะเป็นจำนวนเท่ากับ 1 (ไม่เร็วขึ้น)

สามารถทำความเข้าใจมัชฌิมเรขาคณิตในแง่ของเรขาคณิตได้ มัชฌิมเรขาคณิตของจำนวนสองจำนวน $a$ กับ $b$ เป็นความยาวของด้านหนึ่งของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสซึ่งมีพื้นที่เท่ากับพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมมุมฉากที่มีด้านยาว $a$ และ $b$ มัชฌิมเรขาคณิตของจำนวนสามจำนวนก็คล้ายกัน มัชฌิมเรขาคณิตของ $a$ , $b$ , กับ $c$ เป็นความยาวของสันหนึ่งของทรงลูกบาศก์ซึ่งมีปริมาตรเท่ากับปริมาตรของทรงสี่เหลี่ยมมุมฉาก (cuboid) ที่แต่ละสันยาวเท่ากับจำนวนสามจำนวนที่กำหนดมา

มัชฌิมเรขาคณิตเป็นหนึ่งในสามค่ามัชฌิมพีทาโกรัสเช่นเดียวกับมัชฌิมเลขคณิตและมัชฌิมฮาร์มอนิก (harmonic mean) สำหรับชุดข้อมูลจำนวนบวกทุกชุดซึ่งมีสองจำนวนที่มีไม่เท่ากันเป็นอย่างน้อย มัชฌิมฮาร์มอนิกจะมีค่าน้อยที่สุดเสมอ มัชฌิมเลขคณิตจะมีค่ามากที่สุดจากมัชฌิมทั้งสามชนิด และมัชฌิมเรขาคณิตจะอยู่ระหว่างทั้งสองค่า (ดูที่อสมการของมัชฌิมเลขคณิตและเรขาคณิต (Inequality of arithmetic and geometric means))

การคำนวณ

มัชฌิมเรขาคณิตของชุดข้อมูล ${a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}}$ มีนิยามเป็น:

{(\prod_{i = 1}^{n} a_{i})}^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{a_{1} a_{2} \dots a_{n}} .

^[3]

สมการนี้ใช้สัญกรณ์ π ตัวใหญ่เพื่อแสดงถึงการคูณเป็นลำดับ ทั้งสองฝั่งของสมการแสดงการคูณค่าชุดหนึ่งตามลำดับ ("n" คือจำนวนของค่าทั้งหมด) เพื่อให้ได้ผลคูณรวมของเซต จากนั้นจึงหารากที่ n ของผลคูณรวมเพื่อหาค่ามัชฌิมเรขาคณิตของชุดข้อมูล ตัวอย่างเช่น หากมีเซตของจำนวนสี่จำนวน ${1, 2, 3, 4}$ ผลคูณของ $1 \times 2 \times 3 \times 4$ เท่ากับ $24$ แล้วค่ามัชฌิมเรขาคณิตจะเท่ากับรากที่สี่ของ 24 หรือประมาณ 2.213 เลขชี้กำลัง $\frac{1}{n}$ ที่ฝั่งซ้ายแสดงถึงการหารากที่ n กล่าวคือ $2 4^{\frac{1}{4}} = \sqrt[4]{24}$ .

การคำนวณด้วยการทำซ้ำ

มัชฌิมเรขาคณิตของชุดข้อมูลชุดหนึ่งจะน้อยกว่า มัชฌิมเลขคณิตของชุดข้อมูลนั้น ยกเว้นหากสมาชิกทุกตัวในชุดข้อมูลมีค่าเท่ากัน ในกรณีนี้ค่ามัชฌิมเรขาคณิตและเลขคณิตจะมีค่าเท่ากัน เหตุนี้ทำให้สามารถให้นิยามค่ามัชฌิมเลขคณิต-เรขาคณิต (arithmetic-geometric mean) ได้ ซึ่งเป็นส่วนร่วมกันระหว่างทั้งสองที่จะให้ค่าออกมาระหว่างทั้งสองค่านั้นเสมอ

มัชฌิมเรขาคณิตคือ มัชฌิมเลขคณิต-ฮาร์มอนิก ด้วย ในแง่ที่หากมีลำดับอยู่สองลำดับ ( $a_{n}$ และ $h_{n}$ ) ที่มีนิยามว่า:

a_{n + 1} = \frac{a_{n} + h_{n}}{2}, a_{0} = x

และ

h_{n + 1} = \frac{2}{\frac{1}{a_{n}} + \frac{1}{h_{n}}}, h_{0} = y

โดยที่ $a_{n + 1}$ คือมัชฌิมเลขคณิตและ $h_{n + 1}$ คือมัชฌิมฮาร์มอนิกของค่าในลำดับก่อน ๆ ของทั้งสองลำดับ แล้ว $a_{n}$ และ $h_{n}$ จะลู่เข้าหาค่าของมัชฌิมเรขาคณิตของ $x$ และ $y$ ทั้งสองลำดับจะลู่เข้าหาลิมิตเดียวกัน และคงสภาพของมัชฌิมเรขาคณิตไว้:

\sqrt{a_{i} h_{i}} = \sqrt{\frac{a_{i} + h_{i}}{\frac{a_{i} + h_{i}}{h_{i} a_{i}}}} = \sqrt{\frac{a_{i} + h_{i}}{\frac{1}{a_{i}} + \frac{1}{h_{i}}}} = \sqrt{a_{i + 1} h_{i + 1}}

และได้ผลลัพธ์เดียวกันเมื่อแทนที่มัชฌิมเลขคณิตกับฮาร์มอนิกด้วยมัชฌิมทั่วไป (generalized mean) สองค่าที่มีเลขชี้กำลัง $p$ เป็นจำนวนจำกัดที่มีค่าตรงข้ามกัน เช่น 1 กับ -1

ความสัมพันธ์กับลอการิทึม

มัชฌิมเรขาคณิตสามารถถูกแสดงออกในรูปเลขชี้กำลังของมัชฌิมเลขคณิตของลอการิทึมได้^[4] การคูณสามารถแสดงออกเป็นผลรวมและการยกกำลังสามารถแสดงออกเป็นการคูณได้โดยใช้เอกลักษณ์ลอการิทึมเพื่อแปลงสภาพของสูตร:

โดยที่ $a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n} > 0$

{(\prod_{i = 1}^{n} a_{i})}^{\frac{1}{n}} = \exp [\frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} \ln a_{i}];

เพราะ

\begin{matrix} {(\prod_{i = 1}^{n} a_{i})}^{\frac{1}{n}} & = \sqrt[n]{a_{1} a_{2} \dots a_{n}} \\ = e^{\ln (a_{1} a_{2} \dots a_{n})^{1 / n}} \\ = e^{\frac{1}{n} (\ln a_{1} + \ln a_{2} + \dots + \ln a_{n})} \\ = e^{\frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} \ln a_{i}} \\ geometric mean(a) & = e^{arithmetic mean(ln(a))} \end{matrix}

หรือสามารถใช้ฐานเป็นจำนวนจริงบวกใด ๆ ก็ตามทั้งในลอการิทึมและเลขยกกำลัง

นอกจากนั้น หากให้ $a_{i}$ เป็นจำนวนลบได้

{(\prod_{i = 1}^{n} a_{i})}^{\frac{1}{n}} = {({(- 1)}^{m})}^{\frac{1}{n}} \exp [\frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} \ln | a_{i} |],

โดยที่ แม่แบบ:Math คือจำนวนของจำนวนลบ

นี่บางครั้งถูกเรียกว่า log-average (อย่าสับสนกับมัชฌิมลอการิทึม (logarithmic average)) เพราะเป็นการคำนวณหาค่ามัชฌิมเลขคณิตของค่า $a_{i}$ ที่ถูกแปลงเป็นรูปลอการิทึม (กล่าวคือเป็นมัชฌิมเลขคณิตในมาตราส่วนลอการิทึม) แล้วจากนั้นใช้การยกกำลังเพื่อแปลงการคำนวณกลับไปยังมาตราส่วนเดิม นั่นคือ เป็นมัชฌิมกึ่งเลขคณิต (Quasi-arithmetic mean) ที่ $f (x) = \log x$ ตัวอย่างเช่น มัชฌิมเรขาคณิตของ 2 กับ 8 สามารถคำนวณหาได้ดังนี้ โดย $b$ เป็นฐานค่าใดก็ตามของลอการิทึม (โดยทั่วไปจะเท่ากับ 2 ค่า $e$ หรือ 10):

b^{\frac{1}{2} [\log_{b} (2) + \log_{b} (8)]} = 4

สำหรับชุดข้อมูล $a_{1}, \dots, a_{n}$ เราสามารถมองค่ามัชฌิมเรขาคณิตได้ว่าเป็นค่าที่จะให้ค่าต่ำสุดของฟังก์ชัน

f (a) = \sum_{i = 1}^{n} (\log (a_{i}) - \log (a))^{2} = \sum_{i = 1}^{n} (\log (a_{i} / a))^{2}

,

โดยทั่วไป รูปลอการิทึมเป็นทางเลือกที่ได้รับความนิยมในการปฏิบัติใช้มัชฌิมเรขาคณิตในภาษาคอมพิวเตอร์ เพราะการคำนวณผลคูณของจำนวนหลายจำนวนอาจนำให้เกิดสภาวะน้อยเกินเก็บ (arithmetic underflow) หรือสภาวะมากเกินเก็บเลขคณิต (arithmetic overflow) ซึ่งมีโอกาสเกิดน้อยกว่าในกรณีของการหาผลรวมของลอการิทึมของจำนวนแต่ละจำนวน

เปรียบเทียบกับมัชฌิมเลขคณิต

แม่แบบ:Stack แม่แบบ:หลัก มัชฌิมเรขาคณิตของชุดข้อมูลของจำนวน (บวก) จะมีค่ามากที่สุดไม่เกินไปกว่ามัชฌิมเลขคณิตของมันเสมอ และจะเท่ากันก็ต่อเมื่อทุก ๆ จำนวนในชุดข้อมูลมีค่าเท่ากัน มิเช่นนั้นมัชฌิมเรขาคณิตจะมีค่าน้อยกว่า ตัวอย่างเช่น มัชฌิมเรขาคณิตของ 2 กับ 3 คือ 2.45 ในขณะที่มัชฌิมเลขคณิตเท่ากับ 2.5

โดยเฉพาะอย่างยิ่ง หมายความว่าเมื่อเซตของจำนวนที่ไม่เหมือนกันถูกทำให้กระจายโดยคงสภาพมัชฌิม (mean-preserving spread) กล่าวคือสมาชิกของเซต "กระจายออกจากกัน" มากขึ้นแต่ไม่ทำให้มัชฌิมเลขคณิตเปลี่ยนไป มัชฌิมเรขาคณิตจะมีค่าน้อยลง^[6]

อัตราการเติบโตโดยเฉลี่ย

ในบางกรณี มัชฌิมเรขาคณิตเป็นค่าที่ใช้วัดอัตราการเติบโตโดยเฉลี่ยของปริมาณจำเพาะหนึ่งได้ดี อาทิหากคำสั่งซื้อต่อปีเพิ่มขึ้นร้อยละ 80 และร้อยละ 25 ในปีถัดไป ผลจะเท่ากับการมีอัตราการเติบโตคงที่ร้อยละ 50 เพราะมัชฌิมเรขาคณิตของ 1.80 กับ 1.25 คือ 1.50 ในการหาอัตราการเติบโตโดยเฉลี่ย ไม่จำเป็นต้องหาผลคูณของอัตราการเติบโตที่วัดได้มาในทุก ๆ ขั้น หากให้ปริมาณมาเป็นลำดับของ $a_{0}, a_{1}, . . ., a_{n}$ โดยที่ $n$ คือจำนวนขั้นจากเริ่มต้นจนจบ อัตราการเติบโตระหว่างการวัดแต่ละครั้ง $a_{k}$ และ $a_{k + 1}$ คือ $a_{k + 1} / a_{k}$ มัชฌิมเรขาคณิตของอัตราการเติบโตเหล่านี้จึงเท่ากับ:

{(\frac{a_{1}}{a_{0}} \frac{a_{2}}{a_{1}} \dots \frac{a_{n}}{a_{n - 1}})}^{\frac{1}{n}} = {(\frac{a_{n}}{a_{0}})}^{\frac{1}{n}} .

การประยุกต์ใช้กับค่าที่ถูกทำให้เป็นบรรทัดฐาน

สมบัติพื้นฐานของมัชฌิมเรขาคณิตซึ่งมัชฌิมชนิดอื่น ๆ ไม่มีคือ หากมีลำดับสองลำดับ $X$ และ $Y$ ที่ความยาวเท่ากัน

GM (\frac{X_{i}}{Y_{i}}) = \frac{GM (X_{i})}{GM (Y_{i})}

จะทำให้มัชฌิมเรขาคณิตเป็นมัชฌิมชนิดเดียวที่ถูกต้องเมื่อคำนวณหาค่าเฉลี่ยของผลลัพธ์ซึ่งถูกทำให้เป็นบรรทัดฐาน (normalized) กล่าวคือผลลัพธ์ซึ่งแสดงออกเป็นอัตราส่วนกับค่าอ้างอิง^[7] กรณีเช่นนี้เกิดขึ้นเมื่อต้องการแสดงประสิทธิภาพของคอมพิวเตอร์เมื่อเทียบกับคอมพิวเตอร์ที่นำมาอ้างอิง หรือเมื่อต้องการคำนวณดัชนีค่าเฉลี่ยค่าเดียวจากแหล่งที่ไม่เป็นแบบเดียวกัน (เช่นการคาดหมายคงชีพ ระยะเวลาการศึกษา และอัตราการเสียชีวิตทารก) ในสถานการณ์เหล่านี้ การใช้มัชฌิมเลขคณิตหรือฮาร์มอนิกจะเปลี่ยนการจัดลำดับของผลลัพธ์โดยขึ้นอยู่กับค่าที่ใช้อ้างอิง ยกตัวอย่างเช่นการเปรียบเทียบเวลากระทำการของโปรแกรมคอมพิวเตอร์ต่าง ๆ ดังต่อไปนี้:

ตาราง 1

	คอมพิวเตอร์ A	คอมพิวเตอร์ B	คอมพิวเตอร์ C
โปรแกรม 1	1	10	20
โปรแกรม 2	1000	100	20
มัชฌิมเลขคณิต	500.5	55	20
มัชฌิมเรขาคณิต	31.622 . . .	31.622 . . .	20
มัชฌิมฮาร์มอนิก	1.998 . . .	18.182 . . .	20

ทั้งมัชฌิมเลขคณิตและเรขาคณิตเห็นพ้องกันว่าคอมพิวเตอร์ C มีความเร็วประมวลผลสูงที่สุด ทว่าเมื่อเราแสดงด้วยค่าที่ถูกทำให้เป็นบรรทัดฐานอย่างถูกต้องแล้ว แล้วใช้ค่ามัชฌิมเลขคณิต เราแสดงให้เห็นได้ว่าคอมพิวเตอร์ทั้งสองเครื่องเป็นคอมพิวเตอร์ที่เร็วที่สุด หากใช้ A เป็นบรรทัดฐานและอ้างอิงตามมัชฌิมเลขคณิต A จะเป็นคอมพิวเตอร์ที่เร็วที่สุด:

ตาราง 2

	คอมพิวเตอร์ A	คอมพิวเตอร์ B	คอมพิวเตอร์ C
โปรแกรม 1	1	10	20
โปรแกรม 2	1	0.1	0.02
มัชฌิมเลขคณิต	1	5.05	10.01
มัชฌิมเรขาคณิต	1	1	0.632 . . .
มัชฌิมฮาร์มอนิก	1	0.198 . . .	0.039 . . .

ในขณะที่หากใช้ B เป็นบรรทัดฐานและอ้างอิงตามมัชฌิมเลขคณิต คอมพิวเตอร์ B จะเป็นคอมพิวเตอร์ที่เร็วที่สุด แต่หากอ้างอิงตามมัชฌิมฮาร์มอนิก คอมพิวเตอร์ A จะเป็นคอมพิวเตอร์ที่เร็วที่สุด:

ตาราง 3

	คอมพิวเตอร์ A	คอมพิวเตอร์ B	คอมพิวเตอร์ C
โปรแกรม 1	0.1	1	2
โปรแกรม 2	10	1	0.2
มัชฌิมเลขคณิต	5.05	1	1.1
มัชฌิมเรขาคณิต	1	1	0.632
มัชฌิมฮาร์มอนิก	0.198 . . .	1	0.363 . . .

และเมื่อใช้ C เป็นบรรทัดฐานและอ้างอิงตามมัชฌิมเลขคณิต คอมพิวเตอร์ C จะเร็วที่สุด แต่เมื่ออ้างอิงตามมัชฌิมฮาร์มอนิก คอมพิวเตอร์ A จะเร็วที่สุด:

ตาราง 4

	คอมพิวเตอร์ A	คอมพิวเตอร์ B	คอมพิวเตอร์ C
โปรแกรม 1	0.05	0.5	1
โปรแกรม 2	50	5	1
มัชฌิมเลขคณิต	25.025	2.75	1
มัชฌิมเรขาคณิต	1.581 . . .	1.581 . . .	1
มัชฌิมฮาร์มอนิก	0.099 . . .	0.909 . . .	1

ในทุก ๆ กรณี ลำดับความเร็วที่อ้างอิงตามมัชฌิมเรขาคณิตคงลำดับเดิมเหมือนกับที่ได้จากค่าที่ยังไม่ได้ถูกทำให้เป็นบรรทัดฐาน

อย่างไรก็ตาม การให้เหตุผลแนวนี้ถูกตั้งคำถาม^[8] การได้ผลลัพธ์อย่างคงเส้นคงวาไม่ได้หมายความว่าเป็นผลลัพธ์ที่ถูกต้องเสมอไป โดยทั่วไปแล้ว จะเข้มงวดกว่าหากกำหนดให้แต่ละโปรแกรมมีน้ำหนักของตัวเอง คำนวณเวลากระทำการเฉลี่ยแบบถ่วงน้ำหนัก (ด้วยมัชฌิมเลขคณิต) แล้วนำผลลัพธ์นั้นมาใช้เป็นบรรทัดฐานกับคอมพิวเตอร์เครื่องใดเครื่องหนึ่ง ทั้งสามตารางด้านบนเพียงแต่กำหนดน้ำหนักให้กับแต่ละโปรแกรมต่างกัน เป็นเหตุที่ผลลัพธ์ของมัชฌิมเลขคณิตกับฮาร์มอนิกไม่สอดคล้องกัน (ตาราง 4 ให้น้ำหนักกับทั้งสองโปรแกรมเท่ากัน ตาราง 2 ให้น้ำหนัก 1/1000 กับโปรแกรมที่สอง และตาราง 3 ให้น้ำหนัก 1/100 กับโปรแกรมที่สองและน้ำหนัก 1/10 กับโปรแกรมที่หนึ่ง) ควรหลีกเลี่ยงการใช้งานมัชฌิมเรขาคณิตในการรวบรวมตัวเลขสมรรถภาพ เพราะการคูณเวลากระทำการด้วยกันไม่มีนัยทางกายภาพใด ๆ ซึ่งต่างจากการบวกเข้าด้วยกันสำหรับมัชฌิมเลขคณิต ตัวชี้วัดซึ่งเป็นสัดส่วนผกผันกับเวลา (เช่นอัตราความเร็วที่เพิ่มขึ้นหรือคำสั่งต่อรอบ (Instructions per cycle)) ควรเฉลี่ยด้วยมัชฌิมฮาร์มอนิก

มัชฌิมเรขาคณิตและมัชฌิมเรขาคณิตถ่วงน้ำหนักสามารถหาได้จากลิมิตของมัชฌิมทั่วไปเมื่อกำหนดให้เลขชี้กำลัง $p$ มีค่าเข้าใกล้ศูนย์

มัชฌิมเรขาคณิตของฟังก์ชันต่อเนื่อง

หาก $f : [a, b] \to (0, \infty)$ เป็นฟังก์ชันค่าจริงบวกต่อเนื่อง มัชฌิมเรขาคณิตของมันในช่วงนี้คือ

GM [f] = \exp (\frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} \ln f (x) d x)

ตัวอย่างเช่น ฟังก์ชันเอกลักษณ์ $f (x) = x$ ในช่วงหนึ่งหน่วยแสดงให้เห็นว่ามัชฌิมเรขาคณิตของจำนวนบวกระหว่าง 0 กับ 1 เท่ากับ $\frac{1}{e}$

การประยุกต์ใช้

การเติบโตตามสัดส่วน

แม่แบบ:ข้อมูลเพิ่มเติม มัชฌิมเรขาคณิตเหมาะสมต่อการอธิบายการเติบโตตามสัดส่วนมากกว่ามัชฌิมเลขคณิต ไม่ว่าจะเป็นการเติบโตแบบเลขชี้กำลัง (exponential growth) (การเติบโตตามสัดส่วนที่คงที่) หรือการเติบโตแบบแปรผัน มัชฌิมเรชาคณิตของอัตราการเติบโตเป็นที่รู้จักในสาขาบริหารธุรกิจว่าอัตราการเติบโตต่อปีแบบทบต้น (compound annual growth rate; CAGR) มัชฌิมเรขาคณิตของการเติบโตในช่วงเวลาระยะหนึ่งให้ผลลัพธ์เป็นอัตราการเติบโตแบบคงที่ซึ่งจะให้ผลลัพธ์ในตอนสุดท้ายเท่ากัน

สมมุติว่าต้นส้มออกผลส้ม 100 ลูกในปีหนึ่ง จากนั้น 180, 210 และ 300 ลูกในปีถัด ๆ ไป อัตราการเติบโตของแต่ละปีจึงเท่ากับร้อยละ 80, 16.6666 และ 42.8571 ตามลำดับ เมื่อเราคำนวณหาอัตราการเติบโตโดยเฉลี่ย (เชิงเส้น) ด้วยมัชฌิมเลขคณิตได้เท่ากับร้อยละ 46.5079 (80% + 16.6666% + 42.8571% แล้วหารด้วย 3) แต่หากเราเริ่มจากส้ม 100 ลูกและให้ออกผลเติบโตร้อยละ 46.5079 ต่อปี ผลลัพธ์จะได้ผลส้ม 314 ลูก ซึ่งไม่ใช่ 300 ค่าเฉลี่ยเชิงเส้นจึงให้ผลลัพธ์ที่เกินจริงไปจากการเติบโตต่อปี

แต่หากเราใช้มัชฌิมเรขาคณิตแทน การเติบโตร้อยละ 80 คือการคูณด้วย 1.80 เราจึงหามัชฌิมเรขาคณิตของ 1.80, 1.166666 และ 1.428571 กล่าวคือ $\sqrt[3]{1.80 \times 1.166666 \times 1.428571} \approx 1.442249$ ดังนั้น อัตราการเติบโต "โดยเฉลี่ย" ต่อปีจึงเท่ากับร้อยละ 44.2249 หากเราเริ่มจากส้ม 100 ลูกและให้ออกผลเติบโตร้อยละ 44.2249 ต่อปี ผลลัพธ์จะได้ผลส้ม 300 ลูก

การเงิน

มีการนำมัชฌิมเรขาคณิตมาใช้คำนวณดัชนีทางการเงินต่าง ๆ (การเฉลี่ยแต่ละองค์ประกอบของดัชนี) เช่นในอดีตดัชนีเอฟที 30 (FT 30) ใช้มัชฌิมเรขาคณิต^[9] ดัชนีวัดอัตราเงินเฟ้อ RPIJ ของสหราชอาณาจักรและสหภาพยุโรปก็ใช้เช่นกัน^[10]

นี่ส่งผลให้ความเคลื่อนไหวภายในดัชนีถูกแสดงออกมาในระดับที่อ่อนลงเมื่อเทียบกับการใช้มัชฌิมเลขคณิต^[9]

สังคมศาสตร์

แม้จะหาการใช้มัชฌิมเรขาคณิตในการคำนวณสถิติทางสังคมได้ยากพอสมควร แต่เมื่อ ค.ศ. 2010 ดัชนีการพัฒนามนุษย์ของสหประชาชาติได้เปลี่ยนมาคำนวณด้วยวิธีนี้ โดยให้เหตุผลว่าสะท้อนภาพธรรมชาติของสถิติที่รวบรวมมาและนำมาเปรียบเทียบอันไม่สามารถหาสิ่งใดมาทดแทนได้ได้ดีกว่าเดิม:

แม่แบบ:Quote

รายได้ที่กระจายอย่างเท่าเทียมสวัสดิการเทียบเท่าของดัชนีแอตคินสัน (Atkinson Index) ที่มีตัวแปรความรังเกียจความไม่เท่าเทียม (inequality aversion) $ϵ = 1.0$ คือมัชฌิมเรขาคณิตของรายได้ทั้งหมด ส่วนเมื่อตัวแปรนั้นมีค่าที่ไม่เท่ากับ 1 รายได้ดังกล่าวจะมีค่าเท่ากับค่านอร์ม $L^{p}$ ( $L^{p}$ space) หารด้วยจำนวนของข้อมูล โดย $p = 1 - ϵ$

เรขาคณิต

ในกรณีของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ความสูงคือความยาวของเส้นตรงที่ลากจากมุมฉากไปตั้งฉากกับด้านตรงข้ามมุมฉาก เส้นนี้แบ่งด้านตรงข้ามมุมฉากเป็นสองส่วน และมัชฌิมเรขาคณิตของทั้งสองส่วนนี้คือความสูงของรูปสามเหลี่ยมนั้น สมบัตินี้มีชื่อว่าทฤษฎีบทมัชฌิมเรขาคณิต

ในกรณีของวงรี กึ่งแกนโทคือมัชฌิมเรขาคณิตของระยะทางที่ยาวที่สุดกับระยะทางที่สั้นที่สุดจากโฟกัสไปยังวงรี และเป็นมัชฌิมเรขาคณิตของกึ่งแกนเอกกับกึ่งเลตัสเรกตัม และกึ่งแกนเอกคือมัชฌิมเรขาคณิตของระยะทางจากจุดศูนย์กลางไปยังโฟกัสจุดใดก็ตามกับระยะทางจากจุดศูนย์กลางไปยังเส้นบังคับ (Directrix (conic section)) เส้นใดก็ตาม

หรือกล่าวได้อีกแบบว่า หากมีรูปวงกลมรัศมีเท่ากับ $r$ เลือกจุดสองจุดซึ่งอยู่ตรงข้ามกันบนรูปวงกลม แล้วกดให้เปลี่ยนรูปกลายเป็นวงรีโดยมีกึ่งแกนเอกและกึ่งแกนโทเท่ากับ $a$ และ $b$ ตามลำดับ เนื่องจากพื้นที่ของวงกลมรูปเดิมกับวงรีรูปที่ได้มามีค่าเท่ากัน เรากล่าวได้ว่า

$\begin{matrix} π r^{2} & = π a b \\ r^{2} & = a b \\ r & = \sqrt{a b} \end{matrix}$

รัศมีของวงกลมเดิมคือมัชฌิมเรขาคณิตของกึ่งแกนเอกกับกึ่งแกนโทของวงรีที่ได้มาจากการเปลี่ยนรูปวงกลมรูปนั้น

ระยะทางไปยังขอบฟ้าของทรงกลมมีค่าประมาณเท่ากับมัชฌิมเรขาคณิตของระยะทางไปยังจุดบนทรงกลมที่อยู่ใกล้ที่สุดกับระยะทางไปยังจุดบนทรงกลมที่ไกลที่สุด หากกำหนดให้ระยะทางไปยังจุดบนทรงกลมที่ใกล้ที่สุดมีค่าน้อย

มัชฌิมเรขาคณิตถูกนำมาใช้ในการประมาณจัตุรัสพื้นที่เท่ารูปวงกลม (squaring the circle) ของศรีนิวาสะ รามานุชัน^[11] และการสร้างรูปสิบเจ็ดเหลี่ยมด้วย "mean proportional"^[12]

อัตราส่วนลักษณะ

มัชฌิมเรขาคณิตถูกใช้ในการเลือกอัตราส่วนลักษณะประนีประนอมในภาพยนตร์และภาพเคลื่อนไหว กล่าวคือหากมีอัตราส่วนลักษณะอยู่สองแบบ มัชฌิมเรขาคณิตของทั้งสองจะเป็นอัตราส่วนลักษณะที่ประนีประนอมระหว่างทั้งสองที่ทำให้บิดเบี้ยวหรือสูญเสียภาพไปเท่า ๆ กันในแง่หนึ่ง ในเชิงรูปธรรม รูปสี่เหลี่ยมสองรูปที่มีพื้นที่เท่ากัน (ที่จุดศูนย์กลางเดียวกันและมีด้านที่ขนานกัน) แต่มีอัตราส่วนลักษณะต่างกัน มีส่วนร่วมกันเป็นรูปสี่เหลี่ยมที่มีอัตราส่วนลักษณะเป็นมัชฌิมเรขาคณิตของทั้งสอง และเปลือกนอกของมัน (รูปสี่เหลี่ยมขนาดเล็กที่สุดที่ครอบรูปสี่เหลี่ยมทั้งสองรูป) ก็มีอัตราส่วนลักษณะเป็นมัชฌิมเรขาคณิตของทั้งสองเช่นกัน

ในการหาสมดุลระหว่างอัตราส่วนลักษณะ CinemaScope แม่แบบ:Nbsp2.35 กับ 4:3 มัชฌิมเรขาคณิตเท่ากับ $\sqrt{2.35 \times \frac{4}{3}} \approx 1.7701$ เอสเอ็มพีทีอี (SMPTE) จึงเลือกอัตราส่วนลักษณะ $16 : 9 = 1.77 \overline{7}$ เคินส์ พาวเวอส์ (Kerns Powers) ค้นพบอัตราส่วนลักษณะนี้ผ่านวิธีการเชิงประจักษ์ เขาตัดรูปสี่เหลี่ยมออกเป็นพื้นที่เท่ากันและตัดออกให้มีอัตราส่วนลักษณะเท่ากับอัตราส่วนที่มีใช้อยู่แพร่หลายในขณะนั้น เมื่อนำมาซ้อนกันโดยวางจุดศูนย์กลางให้ตรงกัน เขาพบว่ารูปสี่เหลี่ยมอัตราส่วนลักษณะทั้งหมดใส่พอดีกับรูปสี่เหลี่ยมภายนอกที่มีอัตราส่วนลักษณะเท่ากับ 1.77:1 และทั้งหมดก็คลุมพื้นที่รูปสี่เหลี่ยมภายในร่วมกันที่มีอัตราส่วนลักษณะเท่ากับ 1.77:1 เช่นกัน^[13]

เมื่อใช้เทคนิคหามัชฌิมเรขาคณิตแบบเดียวกันกับอัตราส่วนลักษณะ 16:9 และ 4:3 จะได้ผลลัพธ์โดยประมาณเท่ากับอัตราส่วนลักษณะ 14:9 ( $1.55 \overline{5}$ ...) ซึ่งในแบบเดียวกัน เป็นการประนีประนอมระหว่างอัตราส่วนทั้งสอง^[14]

ขนาดกระดาษ

มัชฌิมเรขาคณิตถูกใช้คำนวณขนาดกระดาษซีรีส์ B และ C กระดาษขนาด $B_{n}$ มีพื้นที่เท่ากับมัชฌิมเรขาคณิตของพื้นที่ของกระดาษขนาด $A_{n}$ กับ $A_{n - 1}$ ตัวอย่างเช่น พื้นที่ของกระดาษ B1 เท่ากับ $\frac{\sqrt{2}}{2} m^{2}$ เพราะเป็นมัชฌิมเรขาคณิตของพื้นที่ของกระดาษ A0 ( $1 m^{2}$ ) กับของกระดาษ A1 ( $\frac{1}{2} m^{2}$ )

$\sqrt{1 m^{2} \cdot \frac{1}{2} m^{2}} = \sqrt{\frac{1}{2} m^{4}} = \frac{1}{\sqrt{2}} m^{2} = \frac{\sqrt{2}}{2} m^{2}$

ขนาดกระดาษซีรีส์ C ใช้หลักการเดียวกัน โดยมีพื้นที่เท่ากับมัชฌิมเรขาคณิตของขนาดกระดาษซีรีส์ A และ B ตัวอย่างเช่น กระดาษ C4 มีพื้นที่เท่ากับมัชฌิมเรขาคณิตของพื้นที่ของกระดาษ A4 และ B4

ข้อได้เปรียบของความสัมพันธ์แบบนี้คือกระดาษ A4 สามารถใส่ลงในซองกระดาษขนาด C4 ได้พอดี และกระดาษทั้งสองใส่ลงในซองกระดาษขนาด B4 ได้พอดี

อื่น ๆ

ความราบเชิงสเปกตรัม (Spectral flatness) ในการประมวลผลสัญญาณคือหน่วยวัดความแบนราบหรือความแหลมของสเปกตรัม มีนิยามเป็นอัตราส่วนระหว่างมัชฌิมเรขาคณิตกับมัชฌิมเลขคณิตของสเปกตรัมกำลัง
สารเคลือบกันแสงสะท้อน (Anti-reflective coatings) เป็นสารเคลือบที่ลดการสะท้อนระหว่างสื่อกลางสองประเภทที่มีดัชนีหักเหเท่ากับ $n_{0}$ และ $n_{2}$ โดยดัชนีหักเหที่ดีที่สุดของสารเคลือบกันแสงสะท้อน $n_{1}$ จะเท่ากับมัชฌิมเรขาคณิต $n_{1} = \sqrt{n_{0} n_{2}}$
ในการผสมสีเชิงลบ (Subtractive color mixing) เส้นโค้งความสะท้อนเชิงสเปกตรัม (spectral reflectance curve) ของส่วนผสมของสี (Color mixing) ที่มีระดับอ่อน (Tint, shade and tone) ความทึบแสง (Opacity (optics)) และความเจือจางเท่ากัน จะมีค่าโดยประมาณเท่ากับมัชฌิมเรขาคณิตของเส้นโค้งความสะท้อนของสีแต่ละสี โดยคำนวณที่แต่ละความยาวคลื่นในสเปกครัมของสีเหล่านั้น^[15]
ตัวกรองมัชฌิมเรขาคณิต (geometric mean filter) ถูกใช้ในการประมวลผลภาพเพื่อกรองสิ่งรบกวนออกไป

ดูเพิ่ม

แม่แบบ:สถานีย่อย แม่แบบ:Div col

การสร้างจัตุรัสพื้นที่เท่า (Quadrature (mathematics))
การแจกแจงล็อกปรกติ (Log-normal distribution)
ค่าเฉลี่ยกำลังสอง
ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานเรขาคณิต (Geometric standard deviation)
ทฤษฎีบทมัชฌิมเรขาคณิต
ผลคูณ
พิกัดเชิงไฮเพอร์โบลา (Hyperbolic coordinates)
ภาวะความแปรปรวนต่าง (Heteroscedasticity)
มัชฌิมเลขคณิต-เรขาคณิต
มัชฌิมทั่วไป
มัชฌิมฮาร์มอนิก
มัชฌิมแบบเฮรอน (Heronian mean)
มัชฌิมพีทาโกรัส
มัชฌิมกึ่งเลขคณิต
มัชฌิมเรขาคณิตถ่วงน้ำหนัก (Weighted geometric mean)
อสมการของมิวร์เฮด (Muirhead's inequality)
อัตราผลตอบแทน (Rate of return)

แม่แบบ:Div col end

หมายเหตุ

แม่แบบ:รายการหมายเหตุ

อ้างอิง

แม่แบบ:รายการอ้างอิง

แหล่งข้อมูลอื่น

เว็บไซต์คำนวณมัชฌิมเรขาคณิตและเลขคณิต. แม่แบบ:Webarchive
มัชฌิมเลขคณิตและเรขาคณิต (ภาษาอังกฤษ). แม่แบบ:Webarchive
ควรใช้มัชฌิมเรขาคณิตเมื่อใด (ภาษาอังกฤษ). แม่แบบ:Webarchive
การคำนวณมัชฌิมเรขาคณิตด้วยข้อมูลชนิดต่าง ๆ (ภาษาอังกฤษ). แม่แบบ:Webarchive
มัชฌิมเรขาคณิตที่เว็บไซต์ MathWorld (ภาษาอังกฤษ). แม่แบบ:Webarchive
ความหมายเชิงเรขาคณิตของมัชฌิมเรขาคณิต (ภาษาอังกฤษ). แม่แบบ:Webarchive
เครื่องคำนวณมัชฌิมเรขาคณิตสำหรับชุดข้อมูลขนาดใหญ่ (ภาษาพีเอชพี)
การคำนวณการแบ่งสรรปันส่วนที่นั่งสมาชิกสภาผู้แทนราษฎรสหรัฐโดยใช้มัชฌิมเรขาคณิต (ภาษาอังกฤษ). แม่แบบ:Webarchive
เว็บไซต์แคลคูลัสแบบนอนนิวโตเนียน (ภาษาอังกฤษ). แม่แบบ:Webarchive
นิยามและสูตรของมัชฌิมเรขาคณิต (ภาษาอังกฤษ). แม่แบบ:Webarchive
แม่แบบ:Cite journal
แม่แบบ:Cite journal

↑ แม่แบบ:Cite web
↑ แม่แบบ:Cite book
↑ แม่แบบ:Cite book
↑ แม่แบบ:Cite book
↑ ถ้า $N M = a$ และ $P M = b$ แล้ว $A M = A M$ ของ แม่แบบ:Mvar กับ แม่แบบ:Mvar และรัศมี $r = A Q = A G$
ใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัสได้ $Q M^{2} = A Q^{2} + A M^{2} ∴ Q M = \sqrt{A Q^{2} + A M^{2}}$
ใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัสได้ $A M^{2} = A G^{2} + G M^{2} ∴ G M = \sqrt{A M^{2} - A G^{2}}$
ใช้รูปสามเหลี่ยมคล้ายได้ $\frac{H M}{G M} = \frac{G M}{A M} ∴ H M = \frac{G M^{2}}{A M}$
↑ แม่แบบ:Cite journal
↑ แม่แบบ:Cite journal
↑ แม่แบบ:Cite journal
↑ ^9.0 ^9.1 แม่แบบ:Cite book
↑ แม่แบบ:Cite report
↑ แม่แบบ:Cite journal
↑ แม่แบบ:Cite book
↑ ^13.0 ^13.1 แม่แบบ:Cite book
↑ แม่แบบ:Cite patent
↑ แม่แบบ:Cite web

[1] แม่แบบ:Cite web

[2] แม่แบบ:Cite book

[3] แม่แบบ:Cite book

[4] แม่แบบ:Cite book

[5] ถ้า $N M = a$ และ $P M = b$ แล้ว $A M = A M$ ของ แม่แบบ:Mvar กับ แม่แบบ:Mvar และรัศมี $r = A Q = A G$
ใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัสได้ $Q M^{2} = A Q^{2} + A M^{2} ∴ Q M = \sqrt{A Q^{2} + A M^{2}}$
ใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัสได้ $A M^{2} = A G^{2} + G M^{2} ∴ G M = \sqrt{A M^{2} - A G^{2}}$
ใช้รูปสามเหลี่ยมคล้ายได้ $\frac{H M}{G M} = \frac{G M}{A M} ∴ H M = \frac{G M^{2}}{A M}$

[6] แม่แบบ:Cite journal

[7] แม่แบบ:Cite journal

[8] แม่แบบ:Cite journal

[Rowley_1987-9] 9.0 ^9.1 แม่แบบ:Cite book

[10] แม่แบบ:Cite report

[11] แม่แบบ:Cite journal

[12] แม่แบบ:Cite book

[Cinemasource-13] 13.0 ^13.1 แม่แบบ:Cite book

[14] แม่แบบ:Cite patent

[15] แม่แบบ:Cite web

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

มัชฌิมเรขาคณิต

เนื้อหา