e (ค่าคงตัว)

e เป็นค่าคงตัวทางคณิตศาสตร์ ที่เป็นฐานของลอการิทึมธรรมชาติ มีค่าประมาณ 2.71828 สามารถนิยามได้หลายวิธี เช่น e เป็นจำนวนจริงที่สอดคล้องกับเงื่อนไขที่ว่า ฟังก์ชัน $e^x$ มีค่าเท่ากับความชัน (derivative) ของตัวเองสำหรับทุกจำนวนจริง x หรือกล่าวได้ว่า อนุพันธ์ของฟังก์ชันดังกล่าวมีค่าเท่ากับตัวมันเองเสมอ ซึ่งฟังก์ชันที่สอดคล้องกับเงื่อนไขนี้จะอยู่ในรูป $k{e}^x$ เมื่อ $k$ เป็นค่าคงตัวใด ๆ นอกจากนี้ e ยังมีค่าเท่ากับ $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{(1+\frac{1}{n})}^n$ ซึ่งเป็นสมการที่พบในการคำนวณเกี่ยวกับดอกเบี้ยทบต้น (Compound interest) นอกจากนี้ $e$ สามารถคำนวณได้โดยสูตรอนุกรมอนันต์นี้ :

$e=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n!}=\frac{1}{1}+\frac{1}{1}+\frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{1\cdot 2\cdot 3}+...$

ค่าคงที่ $e$ สามารถทำให้อยู่ในรูปสมการได้หลายรูปแบบ ยกตัวอย่างเช่น ฟังก์ชัน $f(x)=e^x$ เรียกว่า ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล (Exponential Function) เป็นฟังก์ชันที่มีค่าเท่ากับอนุพันธ์ (Derivative) ของตัวเอง มีเอกลักษณ์แตกต่างจากฟังก์ชันอื่น

ส่วนลอการิทึมธรรมชาติ (Natural logarithm) หรือ ลอการิทึมฐาน e (Logarithm to base e) คือ ฟังก์ชันที่ผกผันกับฟังก์ชันเอ็กโพเนเนเชียล ลอการิทึมธรรมชาติของเลขที่มากกว่า 1 (k>1) สามารถหาได้โดยตรงจากพื้นที่ใต้กราฟของฟังก์ชัน $f(x)=\frac{1}{x}$ ระหว่าง x=1 และ x=k ยกตัวอย่างเช่น เมื่อ k = e พื้นที่ใต้กราฟระหว่าง 1 และ e จะเท่ากับ $\ln (e)$ (ลอการิทึมธรรมชาติของ e) หรือ 1

กราฟสมการ y = 1/x ในที่นี้ e คือตัวเลขเดียวจากเลขหนึ่ง ที่ทำให้พื้นที่ใต้กราฟมีค่าเท่ากับ 1

e มักเรียกกันว่า จำนวนของออยเลอร์ (Euler's number) (ระวังสับสนกับ γ, ค่าคงตัวออยเลอร์-แมสเชโรนี) ตามนักคณิตศาสตร์ชาวสวิส เลออนฮาร์ด ออยเลอร์ (Leonhard Euler) ผู้ริเริ่มการใช้สัญลักษณ์ e เพื่อแทนจำนวนนี้ และเป็นคนแรกที่ศึกษาสมบัติของจำนวนนี้อย่างละเอียด e ยังมีอีกชื่อหนึ่งว่า ค่าคงตัวเนเปียร์ ตามจอห์น เนเปียร์ (John Napier) นักคณิตศาสตร์ชาวสก็อตผู้ค้นพบลอการิทึม อนึ่ง ค่า e ถูกค้นพบครั้งแรกโดย ยาค็อบ แบร์นูลลี (Jacob Bernoulli) นักคณิตศาสตร์ชาวสวิส ในการศึกษาเรื่องดอกเบี้ยทบต้น

e เป็นจำนวนที่มีความสำคัญมากในคณิตศาสตร์ โดย e เป็นจำนวนอตรรกยะ และ จำนวนอดิศัย เหมือนกับค่า $\pi$ โดยค่าคงตัวทั้งสองนี้ ประกอบกับ 0 1 และ $i$ มีบทบาทที่สำคัญมากในวิชาคณิตศาสตร์ และมักปรากฏตัวในสมการทางคณิตศาสตร์ โดยมีสมการหนึ่งที่รวมค่าคงตัวทั้งห้านี้เอาไว้ในสมการเดียว เรียกว่า เอกลักษณ์ของออยเลอร์ อันได้ชื่อว่าเป็นสมการที่สวยงามที่สุดในคณิตศาสตร์

ค่า e ที่ปัดเป็นเลขทศนิยม 50 หลัก เท่ากับ 2.71828 18284 59045 23536 02874 71352 66249 77572 47093 69995... (ลำดับ A001113 ใน OEIS)

การประยุกต์ใช้ e

การคิดดอกเบี้ยทบต้น

ยาค็อพ แบร์นุลลี (Jacob Bernoulli) ค้นพบค่า $e$ ในปี 1683 ในการศึกษาปัญหาเกี่ยวกับดอกเบี้ยทบต้น ลักษณะดังนี้:

หากทบทุก 6 เดือน จะได้สองครั้ง ครั้งละ 50% นั่นคือ 1 บาท ตอนแรกจะคูณ 1.5 สองครั้ง ได้ 1.5² = 2.25 บาท หากทบทุก 3 เดือนก็จะคูณ 1.25 สี่ครั้ง ได้ 1.25⁴ = 2.44140625 บาท หากทบรายเดือนก็จะได้ (1+1/12)¹² = 2.613035... บาท และยิ่งถี่ขึ้นก็จะได้เงินมากขึ้นไปอีก โดยถ้าทบต้น $n$ ครั้งต่อปี จะได้ดอกเบี้ยครั้งละ $\frac{100\mathrm{\%}}{n}$ และเมื่อจบปีก็จะมีเงิน $(1+\frac{1}{n}{)}^n$ บาท

แบร์นูลลีสังเกตว่าการเพิ่มขึ้นเมื่อทบต้นถี่ขึ้นนี้มีขีดจำกัด โดยเมื่อทบต้นอย่างต่อเนื่องจะมีเงินเมื่อจบปีมากที่สุดที่เป็นไปได้ด้วยดอกเบี้ยอัตรานี้ ก็คือ ค่า $e$ นั่นเอง ในทำนองเดียวกัน บัญชีใด ๆ ที่เริ่มต้นด้วยเงิน $N$บาท และได้ดอกเบี้ยอย่างต่อเนื่องด้วยอัตรา $R$ ต่อปี จะมีเงินจำนวน $N{e}^{Rt}$ เมื่อเวลาผ่านไป $t$ ปี (ในที่นี้ R เป็นจำนวนทศนิยมของอัตราดอกเบี้ย เสมือนการใช้ % ยกตัวอย่างเช่น ดอกเบี้ยเงินกู้ 5%, R = 0.05)

การแจกแจงปรกติมาตรฐาน (สถิติศาสตร์)

การแจกแจงปรกติ (Normal distribution) ที่มีค่า μ = 0 และ σ² = 1 จะถูกเรียกว่า การแจกแจงปรกติมาตรฐาน (standard normal distribution) โดยใช้ฟังก์ชันความหนาแน่นของความน่าจะเป็น (Probability density function):

$f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }{e}^{-\frac{(x-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}}$

เมื่อ $\sigma$ เป็นส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานและ $\mu$ เป็นค่าเฉลี่ย

ความน่าจะเป็น

ในวิชาความน่าจะเป็น พบ e ในปัญหาเกี่ยวกับการสลับคู่ ดังนี้: สมมุติว่ามีแขกร่วมงานเลี้ยง n คน เดินเข้าประตูมาแล้วฝากหมวกของตนเองไว้กับคนใช้ ซึ่งนำหมวกเหล่านี้ไปใส่ในกล่อง n ใบ โดยหมวกและกล่องแต่ละใบมีชื่อของแขกแต่ละคน แต่คนใช้ไม่ทราบชื่อของแขกแต่ละคน จึงนำหมวกเหล่านี้ใส่ในกล่องอย่างสุ่ม ความน่าจะเป็นที่ไม่มีหมวกใบไหนเลย ที่อยู่ในกล่องที่ถูกต้อง คิดเป็น

$p_n=1-\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}-\frac{1}{3!}+...=\sum _{k=0}^n\frac{(-1{)}^k}{k!}$

ซึ่งเมื่อจำนวนแขก $n$ เพิ่มสู่อนันต์แล้ว ความน่าจะเป็นนี้จะลู่เข้าหา $\frac{1}{e}$

การประมาณของสเตอร์ลิง

e ใช้ในการประมาณค่าของแฟกตอเรียลของจำนวนค่ามากได้ตามสูตร

$n!\sim \sqrt{2\pi n}{\left(\frac{n}{e}\right)}^n$

ซึ่งแปลว่า

$e=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{n}{\sqrt[n]{n!}}$

แคลคูลัส

กราฟแสดงอนุพันธ์ของฟังก์ชัน f(x) = e^x ที่จุด x = 0

หนึ่งในความสำคัญของการนิยามค่า $e$ คือการนำไปใช้ในการหาอนุพันธ์หรือปริพันธ์ของฟังก์ชันเอ็กซ์โพเนนเชียลและฟังก์ชันลอการิทึม โดยเมื่อพยายามคำนวณอนุพันธ์ของฟังก์ชัน $y=a^x$ จากนิยามของอนุพันธ์

$\begin{array}{cc}\frac{d}{dx}{a}^x& =\underset{h\to 0}{\lim }\frac{a^{x+h}-a^x}{h}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{a^x{a}^h-a^x}{h}\\ & =a^x\cdot \left(\underset{h\to 0}{\lim }\frac{a^h-1}{h}\right)\end{array}$

จะสังเกตได้ว่าลิมิตในวงเล็บไม่ขึ้นกับ $x$ แต่ขึ้นกับฐาน $a$ เพียงอย่างเดียว โดยที่ $e$ คือจำนวนที่ทำให้ลิมิตนี้เป็น 1 สอดคล้องกับสมบัติที่ว่า

$\frac{d}{dx}{e}^x=e^x$

e จึงเป็นฐานที่เหมาะสมต่อการทำแคลคูลัส เพราะเมื่อเลือกใช้เป็นฐานแล้วทำให้ง่ายต่อการคำนวณอนุพันธ์

ในทำนองเดียวกัน หากพยายามคำนวณอนุพันธ์ของฟังก์ชัน $y={\log }_{a}x$ จะได้

$\begin{array}{cc}\frac{d}{dx}{\log }_{a}x& =\underset{h\to 0}{\lim }\frac{{\log }_a(x+h)-{\log }_a(x)}{h}\\ & =\underset{h\to 0}{\lim }\frac{{\log }_a(1+h/x)}{x\cdot h/x}\\ & =\frac{1}{x}{\log }_a(\underset{n\to 0}{\lim }(1+\frac{1}{n}{)}^n)\\ & =\frac{1}{x}{\log }_{a}e,\end{array}$

โดย $n=\frac{x}{h}$

ดังนั้นถ้าแทน $a$ เป็น $e$ จะได้ว่าลอการิทึมในผลเป็น 1 ดังนั้น

$\frac{d}{dx}{\log }_{e}x=\frac{1}{x}$

ลอการิทึมฐาน $e$ นี้เรียกว่าลอการิทึมธรรมชาติและตามปกติเขียนแทนด้วย $\ln$ ดังนั้นจึงเห็นได้เช่นเดียวกันว่า $e$ เป็นฐานที่สะดวกต่อแคลคูลัส

จากคุณสมบัติที่ $\ln x$ มี $\frac{1}{x}$ เป็นอนุพันธ์ นำไปสู่วิธีนิยาม $e$ อีกวิธีคือ

$\underset{0}{\overset{e}{\int }}\frac{dt}{t}=1$

ทฤษฎีจำนวน

$e$ เป็นจำนวนอตรรกยะและอดิศัย นั่นแปลว่า $e$ ไม่สามารถเขียนเป็นเศษส่วนที่เศษและส่วนเป็นจำนวนเต็มได้ และไม่เป็นคำตอบของพหุนามที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็ม ออยเลอร์เป็นคนแรกที่พิสูจน์ว่า $e$ เป็นจำนวนอตรรกยะ โดยการแสดงว่า $e$ เขียนเป็นเศษส่วนต่อเนื่องอนันต์ได้ สำหรับการที่ $e$ เป็นจำนวนอดิศัยนั้นเป็นผลโดยตรงจากทฤษฎีบทลินเดอมาน-ไวเออร์ชตราส โดยผู้พิสูจน์ครั้งแรกว่า $e$ เป็นจำนวนอดิศัยคือชาลส์ แอร์มิต

จำนวนเชิงซ้อน

ในระบบจำนวนจริง ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล $e^x$ สามารถเขียนเป็นอนุกรมเทย์เลอร์ได้เป็น

$e^x=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^n}{n!}=1+\frac{x}{1!}+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+...$

ซึ่งอนุกรมนี้คงคุณสมบัติหลายประการของ $e^x$ ไว้ในระนาบเชิงซ้อน จึงถือเป็นนิยามของฟังก์ชัน $e^x$ สำหรับจำนวนเชิงซ่อนใด ๆ

จากการเทียบเคียงสมการนี้กับอนุกรมของ $\sin x$ และ $\cos x$ นำไปสู่สูตรของออยเลอร์ $e^{ix}=\cos x+i\sin x$ (ซึ่งมีเอกลักษณ์ออยเลอร์ $e^{i\pi }+1=0$ เป็นกรณีพิเศษที่ $x=\pi$) เมื่อนำสูตรของออยเลอร์ไปยกกำลังจะได้ทฤษฎีบทเดอมัวร์ $(\cos x+i\sin x{)}^n=(e^{ix}{)}^n=e^{inx}=\cos nx+i\sin nx$

ดูเพิ่ม

• การพิสูจน์ว่า e เป็นจำนวนอตรรกยะ