เศษส่วนต่อเนื่อง

ในคณิตศาสตร์ เศษส่วนต่อเนื่อง (continued fraction) คือนิพจน์ที่อยู่ในรูป

x = a_{0} + \frac{1}{a_{1} + \frac{1}{a_{2} + \frac{1}{a_{3} + \dots}}}

เมื่อ $a_{0}$ เป็นจำนวนเต็มใด ๆ และเลข $a_{i}$ ตัวอื่น ๆ เป็นจำนวนเต็มบวก ถ้าเศษของเศษส่วนต่อเนื่องแต่ละชั้นสามารถมีค่าเป็นจำนวนเต็มอื่น ๆ ที่ไม่ใช่หนึ่งได้ เราจะเรียกนิพจน์เหล่านั้นว่าเศษส่วนต่อเนื่องรูปทั่วไป (generalized continued fraction) เพื่อป้องกันความสับสน เราอาจเรียกเศษส่วนต่อเนื่องธรรมดา (ที่ "ไม่ใช่" เศษส่วนต่อเนื่องรูปทั่วไป) ว่า เศษส่วนต่อเนื่องอย่างง่าย

สัญลักษณ์

เราสามารถเขียนย่อเศษส่วนต่อเนื่องในรูป

x = a_{0} + \frac{1}{a_{1} + \frac{1}{a_{2} + \frac{1}{a_{3}}}}

ด้วยสัญลักษณ์

x = [a_{0}; a_{1}, a_{2}, a_{3}]

หรือด้วยสัญลักษณ์ของพริงส์ไฮม์

x = a_{0} + \frac{1 ∣}{∣ a_{1}} + \frac{1 ∣}{∣ a_{2}} + \frac{1 ∣}{∣ a_{3}}

หรือ

x = a_{0} + \frac{1}{a_{1} +} \frac{1}{a_{2} +} \frac{1}{a_{3} +}

(สัญลักษณ์ข้างบนนี้ไม่ค่อยเป็นที่นิยมใช้เท่าใดนัก) หรือ

x = ⟨ a_{0}; a_{1}, a_{2}, a_{3} ⟩

โดยอาจใช้จุลภาคแทนเซมิโคลอนก็ได้

นอกจากนี้เรายังสามารถนิยม เศษส่วนต่อเนื่องอนันต์ (infinite continued fraction) เป็นลิมิต

[a_{0}; a_{1}, a_{2}, a_{3}, \dots] = \lim_{n \to \infty} [a_{0}; a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}] .

โดยลิมิตนี้สามารถหาค่าได้เสมอไม่ว่าจำนวนเต็ม $a_{1}$ , $a_{2}$ , $a_{3}$ , ... จะมีค่าเท่าไหร่ก็ตาม

การหาเศษส่วนต่อเนื่องของจำนวนจริง

การหาเศษส่วนต่อเนื่องของจำนวนจริง $r$ ทำได้ดังต่อไปนี้ เริ่มต้นจากเขียนภาคจำนวนเต็มของ $r$ แล้วลบภาคจำนวนเต็มออกจาก $r$ การหาเศษส่วนต่อเนื่องจะเสร็จสิ้นเมื่อผลลัพธ์ที่ได้เป็นศูนย์ หากไม่เป็นศูนย์ ให้หาส่วนกลับของผลลัพธ์แล้วทำซ้ำจนกระทั่งผลลัพธ์เป็นศูนย์ (อย่างไรก็ดี ขั้นตอนวิธีนี้จะเสร็จสิ้นก็ต่อเมื่อ $r$ เป็นจำนวนตรรกยะเท่านั้น) เสร็จแล้วให้นำภาคจำนวนเต็มทั้งหมดมาเขียนเรียงกันจากตัวแรกถึงตัวสุดท้าย ก็จะได้เศษส่วนต่อเนื่องของ $r$

การหาเศษส่วนต่อเนื่องของ 3.245
$3$	$3.245 - 3$	$= 0.245$	$1 / 0.245$	$= 4.082$
$4$	$4.082 - 4$	$= 0.082$	$1 / 0.082$	$= 12.250$
$12$	$12.250 - 12$	$= 0.250$	$1 / 0.250$	$= 4.000$
$4$	$4.000 - 4$	$= 0.000$	หยุด
เศษส่วนต่อเนื่องของ 3.245 คือ [3; 4, 12, 4]
$3.245 = 3 + \frac{1}{4 + \frac{1}{12 + \frac{1}{4}}}$

นอกจากนี้ 3.245 ยังสามารถแทนได้ด้วยเศษส่วนต่อเนื่อง [3; 4, 12, 3, 1] อีกด้วย

ขั้นตอนวิธีข้างต้นนี้สามารถใช้ได้กับจำนวนจริงทุกจำนวน อย่างไรก็ดี เวลานำไปเขียนโปรแกรมคอมพิวเตอร์ พึงระวังว่าการใช้จำนวนทศนิยมเลื่อน (floating point number) แทนจำนวนเต็มจะทำให้ได้ผลลัพธ์ที่ไม่ถูกต้องได้ แต่เนื่องจำนวนทศนิยมเลื่อนทุกตัวเป็นจำนวนตรรกยะ เราจึงสามารถดัดแปลงขั้นตอนวิธีแบบยุคลิดมาใช้หาเศษส่วนต่อเนื่องได้

เศษส่วนต่อเนื่องจำกัด

สำหรับเศษส่วนต่อเนื่องจำกัดใด ๆ

[a_{0}; a_{1}, a_{2}, a_{3}, \dots, a_{n}, 1] = [a_{0}; a_{1}, a_{2}, a_{3}, \dots, a_{n} + 1]

ดังนั้น เศษส่วนต่อเนื่องจำกัดใด ๆ จะมีเศษส่วนต่อเนื่องจำกัดอีกตัวหนึ่งที่มีค่าเป็นตัวเลขเท่ากัน ตัวอย่างเช่น

[2; 3, 1] = [2; 4] = 9 / 4 = 2.25

เศษส่วนต่อเนื่องจำกัดทุกตัวเป็นจำนวนตรรกยะ และจำนวนตรรกยะทุกจำนวนสามารถเขียนแทนด้วยเศษส่วนต่อเนื่องได้สองแบบเท่านั้น ในแบบหนึ่ง เลขตัวสุดท้ายคือ 1 ในอีกแบบหนึ่งเลขตัวสุดท้ายจะมีค่ามากกว่า 1 เว้นแต่ว่าจำนวนตรรกยะที่กล่าวถึงคือ 1

เศษส่วนต่อเนื่องอนันต์

เศษส่วนต่อเนื่องอนันต์ทุกตัวเป็นจำนวนอตรรกยะ และจำนวนอตรรกยะทุกจำนวนสามารถเขียนแทนได้ด้วยเศษส่วนต่อเนื่องเพียงหนึ่งแบบเท่านั้น

การเขียนแทนจำนวนตรรกยะด้วยเศษส่วนต่อเนื่องมีประโยชน์มาก เนื่องจากส่วนต้นของเศษส่วนต่อเนื่องจะให้จำนวนตรรกยะที่เป็นค่าประมาณที่ดีของจำนวนอตรรกยะนั้น จำนวนตรรกยะเหล่านี้ เรียกว่า คอนเวอร์เจนท์ ของเศษส่วนต่อเนื่อง คอนเวอร์เจนท์ตัวที่ 0, 2, 4, ... จะมีค่าน้อยกว่าจำนวนอตรรกยะเดิม และคอนเวอร์เจนท์ตัวที่ 1, 3, 5, ... จะมีค่าน้อยกว่าจำนวนอตรรกยะเดิมเสมอ

คอนเวอร์เจนท์สี่ตัวแรกของเศษส่วนต่อเนื่อง $[a_{0}; a_{1}, a_{2}, \dots]$ (ตัวที่ 0 ถึงตัวที่ 3) ได้แก่

\frac{a_{0}}{1}, \frac{a_{0} a_{1} + 1}{a_{1}}, \frac{a_{2} (a_{0} a_{1} + 1) + a_{0}}{a_{2} a_{1} + 1}, \frac{a_{3} (a_{2} (a_{0} a_{1} + 1) + a_{0}) + (a_{0} a_{1} + 1)}{a_{3} (a_{2} a_{1} + 1) + a_{1}} .

สังเกตว่า เศษของคอนเวอร์เจนท์ตัวที่สามเกิดจากการคูณเศษของคอนเวอร์เจนท์ตัวที่สองด้วยภาคจำนวนเต็ม (จากอัลกอริทึมข้างบน ในที่นี้คือ $a_{3}$ ) ตัวที่สาม แล้วบวกด้วยเศษของคอนเวอร์เจนท์ตัวที่สอง ส่วนของคอนเวอร์เจนท์ตัวที่สามก็สร้างขึ้นในทำนองเดียวกัน

หากเศษของคอนเวอร์เจนท์ตัวที่ 0, 1, 2, ... คือ $h_{0}, h_{1}, h 2, \dots$ และส่วนคือ $k_{0}, k_{1}, k_{2}, \dots$ เราจะได้ว่า $h_{0} = a_{0}$ , $k_{0} = 1$ , $h_{1} = a_{0} a_{1} + 1$ , และ $k_{1} = a_{1}$ เศษและส่วนของคอนเวอร์เจนท์ตัวอื่น ๆ สามารถหาได้โดยความสัมพันธ์เวียนบังเกิดต่อไปนี้

h_{n} = a_{n} h_{n - 1} + h_{n - 2}, k_{n} = a_{n} k_{n - 1} + k_{n - 2} .

ดังนั้น

\frac{h_{n}}{k_{n}} = \frac{a_{n} h_{n - 1} + h_{n - 2}}{a_{n} k_{n - 1} + k_{n - 2}} .

ทฤษฎีบทที่สำคัญ

ทฤษฎีบท 1

สำหรับจำนวนจริงบวก $x$ ใด ๆ

[a_{0}, a_{1}, \dots, a_{n - 1}, x] = \frac{x h_{n - 1} + h_{n - 2}}{x k_{n - 1} + k_{n - 2}}

ทฤษฎีบท 2

คอนเวอร์เจนท์ของ [a₀, a₁, a₂, ...] อยู่ในรูป

[a_{0}, a_{1}, \dots, a_{n}] = \frac{h_{n}}{k_{n}}

ทฤษฎีบท 3

ถ้าคอนเวอร์เจนท์ตัวที่ $n$ ของเศษส่วนต่อเนื่องตัวหนึ่งคือ $h_{n} / k_{n}$ แล้ว

k_{n} h_{n - 1} - k_{n - 1} h_{n} = (- 1)^{n}

บทเสริมที่ 1: คอนเวอร์เจนท์ทุกตัวเป็นเศษส่วนอย่างต่ำ (เนื่องจากตัวประกอบร่วมของ $h_{n}$ และ $k_{n}$ จะต้องหาร $k_{n} h_{n - 1} - k_{n - 1} h_{n}$ ลงตัว)

บทเสริม 2: ผลต่างของคอนเวอร์เจนท์สองตัวที่ติดกันเป็นเศษส่วนที่ค่าสัมบูรณ์ของเศษคือ 1

| \frac{h_{n}}{k_{n}} - \frac{h_{n - 1}}{k_{n - 1}} | = | \frac{h_{n} k_{n - 1} - k_{n} h_{n - 1}}{k_{n} k_{n - 1}} | = \frac{1}{k_{n} k_{n - 1}}

บทเสริม 3: ลำดับของคอนเวอร์เจนท์สมมูลกับอนุกรมต่อไปนี้

a_{0} + \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(- 1)^{n}}{k_{n + 1} k_{n}}

บทเสริม 4: แมทริกซ์

[\begin{matrix} h_{n} & h_{n - 1} \\ k_{n} & k_{n - 1} \end{matrix}]

มีดีเทอร์มิแนนต์เท่ากับ 1 หรือ -1 ดังนั้นจึงเป็นสมาชิกของกรุปของแมทริกซ์ยูนิมอดูลาร์ $S^{*} L (2, ℤ)$

ทฤษฎีบท 4

คอนเวอร์เจนท์ตัวหนึ่ง ๆ จะมีค่าใกล้กลับค่าของเศษส่วนต่อเนื่องมากกว่าคอนเวอร์เจนท์ที่มาก่อนมันเสมอ โดยเราสามารถเขียนข้อความนี้เป็นประโยคสัญลักษณ์ได้ดังต่อไปนี้ ให้ $x$ เป็นค่าของเศษส่วนต่อเนื่อง $[a_{0}; a_{1}, a_{2}, \dots]$ และให้ $r$ และ $s$ เป็นจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบใด ๆ โดยที่ $r > s$

| [a_{0}; a_{1}, a_{2}, \dots a_{r}] - x | > | [a_{0}; a_{1}, a_{2}, \dots a_{s}] - x |

บทเสริม 1: คอนเวอร์เจนท์ตัวที่มีหมายเลขเป็นเลขคู่จะมีค่าเพิ่มขึ้นเสมอ แต่ไม่มีทางเกิน $x$

บทเสริม 2: คอนเวอร์เจนท์ตัวที่มีหมายเลขเป็นเลขคี่จะมีค่าลดลงเสมอ แต่ไม่มีทางต่ำกว่า $x$

ทฤษฎีบท 5

\frac{1}{k_{n} (k_{n + 1} + k_{n})} < | x - \frac{h_{n}}{k_{n}} | < \frac{1}{k_{n} k_{n + 1}}

บทเสริม 1: คอนเวอร์เจนท์ใด ๆ จะมีค่าใกล้กับค่าของเศษส่วนต่อเนื่องกว่าจำนวนตรรกยะใด ๆ ที่มีส่วนไม่เกินส่วนของคอนเวอร์เจนท์ตัวนั้น

บทเสริม 2: คอนเวอร์เจนท์ที่นำหน้าภาคจำนวนเต็มที่มีขนาดใหญ่จะเป็นค่าประมาณที่ดีของค่าของเศษส่วนเชิงซ้อน

แหล่งข้อมูลอื่น

อ้างอิง

A. Ya. Khinchin, Continued Fractions, 1935, English translation University of Chicago Press, 1961 ISBN 0-486-69630-8
Oskar Perron, Die Lehre von den Kettenbrüchen, Chelsea Publishing Company, New York, NY 1950.
Andrew M. Rockett and Peter Szusz, Continued Fractions, World Scientific Press, 1992.

เศษส่วนต่อเนื่อง

เนื้อหา

สัญลักษณ์

การหาเศษส่วนต่อเนื่องของจำนวนจริง

เศษส่วนต่อเนื่องจำกัด

เศษส่วนต่อเนื่องอนันต์

ทฤษฎีบทที่สำคัญ

ทฤษฎีบท 1

ทฤษฎีบท 2

ทฤษฎีบท 3

ทฤษฎีบท 4

ทฤษฎีบท 5

แหล่งข้อมูลอื่น

อ้างอิง

รายการนำทางไซต์

เศษส่วนต่อเนื่อง

สัญลักษณ์

การหาเศษส่วนต่อเนื่องของจำนวนจริง

เศษส่วนต่อเนื่องจำกัด

เศษส่วนต่อเนื่องอนันต์

ทฤษฎีบทที่สำคัญ

ทฤษฎีบท 1

ทฤษฎีบท 2

ทฤษฎีบท 3

ทฤษฎีบท 4

ทฤษฎีบท 5

แหล่งข้อมูลอื่น

อ้างอิง

รายการนำทางไซต์

ค้นหา