ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน

ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน หรือ ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน หรือ ความเบี่ยงเบนมาตรฐาน (แม่แบบ:Langx) ในทางสถิติศาสตร์และความน่าจะเป็น เป็นการวัดการกระจายแบบหนึ่งของกลุ่มข้อมูล สามารถนำไปใช้กับการแจกแจงความน่าจะเป็น ตัวแปรสุ่ม ประชากร หรือมัลติเซต ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานมักเขียนแทนด้วยอักษรกรีก ซิกมาตัวเล็ก ( $σ$ ) นิยามขึ้นจากส่วนเบี่ยงเบนแบบ root mean square (RMS) กับค่าเฉลี่ย หรือนิยามขึ้นจากรากที่สองของความแปรปรวน

ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานคิดค้นโดย ฟรานซิส กาลตัน (Francis Galton) ในช่วงปลายคริสต์ทศวรรษ 1860^[1] เป็นการวัดการกระจายทางสถิติที่เป็นปกติทั่วไป ใช้สำหรับเปรียบเทียบว่าค่าต่าง ๆ ในเซตข้อมูลกระจายตัวออกไปมากน้อยเท่าใด หากข้อมูลส่วนใหญ่อยู่ใกล้ค่าเฉลี่ยมาก ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานก็จะมีค่าน้อย ในทางกลับกัน ถ้าข้อมูลแต่ละจุดอยู่ห่างไกลจากค่าเฉลี่ยเป็นส่วนมาก ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานก็จะมีค่ามาก และเมื่อข้อมูลทุกตัวมีค่าเท่ากันหมด ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานจะมีค่าเท่ากับศูนย์ นั่นคือไม่มีการกระจายตัว คุณสมบัติที่เป็นประโยชน์อย่างหนึ่งก็คือ ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานใช้หน่วยอันเดียวกันกับข้อมูล แต่กับความแปรปรวนนั้นไม่ใช่

เมื่อตัวอย่างของข้อมูลกลุ่มหนึ่งถูกเลือกมาจากประชากรทั้งหมด ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของประชากรสามารถประมาณค่าได้จากค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของกลุ่มตัวอย่างนั้น

นิยาม

ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของตัวแปรสุ่ม $X$ มีการนิยามไว้ดังนี้

\begin{matrix} σ & = & \sqrt{E ((X - E (X))^{2})} = \sqrt{E (X^{2}) - (E (X))^{2}} \\ = & \sqrt{Var (X)} \end{matrix}

เมื่อ $E (X)$ หมายถึงค่าคาดหมายของ $X$ (เป็นอีกความหมายหนึ่งของมัชฌิม) และ $Var (X)$ หมายถึงความแปรปรวนของ $X$

แต่ก็ไม่ใช่ว่าตัวแปรสุ่มทุกตัวจะมีค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน ถ้าหากค่าคาดหมายไม่มีอยู่จริงหรือไม่นิยาม ตัวอย่างเช่น ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของตัวแปรสุ่มภายใต้การแจกแจงโคชี (Cauchy distribution) จะไม่นิยาม เพราะว่า $E (X)$ ก็ไม่นิยามเช่นกัน

ถ้าตัวแปรสุ่ม $X$ มีพื้นฐานอยู่บนเซตข้อมูล $x_{1}, . . ., x_{N}$ ซึ่งสมาชิกเป็นจำนวนจริงและมีความน่าจะเป็นเท่ากัน ดังนั้นค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานสามารถคำนวณได้จากสูตรข้างล่างนี้ อันดับแรกต้องคำนวณหาค่าเฉลี่ยของ $X$ เสียก่อน ค่าเฉลี่ยเขียนแทนด้วย $\overline{x}$ ซึ่งนิยามด้วยผลรวม (summation) ดังนี้

\overline{x} = \frac{1}{N} \sum_{i = 1}^{N} x_{i} = \frac{x_{1} + x_{2} + \dots + x_{N}}{N}

เมื่อ $N$ คือจำนวนสมาชิกของเซตข้อมูล จากนั้นจึงสามารถคำนวณค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานได้จาก

σ = \sqrt{\frac{1}{N} \sum_{i = 1}^{N} (x_{i} - \overline{x})^{2}}

ในทางปฏิบัติ การคำนวณค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของตัวแปรสุ่มชนิดไม่ต่อเนื่องข้างต้น สามารถสรุปได้ดังนี้

สำหรับแต่ละค่าของ $x_{i}$ ให้คำนวณผลต่างของ $x_{i} - \overline{x}$
นำผลต่างแต่ละตัวมายกกำลังสอง
บวกผลลัพธ์ทั้งหมดเข้าด้วยกันแล้วหารด้วย $N$ ค่าที่ได้นี้คือความแปรปรวน $σ^{2}$
คำนวณหารากที่สองที่เป็นบวกของความแปรปรวน จะได้ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน

นอกจากนั้นสูตรดังกล่าวสามารถดัดแปลงให้เป็นอีกรูปแบบหนึ่งได้ดังนี้

σ = \sqrt{\frac{1}{N} (\sum_{i = 1}^{N} x_{i}^{2} - N \overset{2}{\overline{x}})}

ซึ่งความเท่ากันของทั้งสองสูตร สามารถพิสูจน์ได้ด้วยความรู้ทางพีชคณิต

\begin{matrix} \sum_{i = 1}^{N} (x_{i} - \overline{x})^{2} & = \sum_{i = 1}^{N} (x_{i}^{2} - 2 x_{i} \overline{x} + \overset{2}{\overline{x}}) \\ = (\sum_{i = 1}^{N} x_{i}^{2}) - (2 \overline{x} \sum_{i = 1}^{N} x_{i}) + N \overset{2}{\overline{x}} \\ = (\sum_{i = 1}^{N} x_{i}^{2}) - 2 \overline{x} (N \overline{x}) + N \overset{2}{\overline{x}} \\ = (\sum_{i = 1}^{N} x_{i}^{2}) - 2 N \overset{2}{\overline{x}} + N \overset{2}{\overline{x}} \\ = (\sum_{i = 1}^{N} x_{i}^{2}) - N \overset{2}{\overline{x}} \end{matrix}

การประมาณค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของประชากร

ในความเป็นจริง การคำนวณหาค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของประชากรทั่วทั้งหมดนั้น อาจไม่สามารถทำให้เกิดขึ้นจริงได้ เว้นแต่ในกรณีเฉพาะเช่นการทดสอบมาตรฐาน (standardized test) ซึ่งทุกสมาชิกของประชากรจะถือว่าเป็นกลุ่มตัวอย่างทั้งหมด แต่ในกรณีส่วนใหญ่ ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานจะถูกคาดคะเนจากจากส่วนเบี่ยงเบนของตัวอย่างกลุ่มหนึ่งที่มาจากประชากร การวัดที่มักถูกใช้เป็นปกติทั่วไปคือ ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของตัวอย่าง (sample standard deviation) ซึ่งนิยามโดย

s = \sqrt{\frac{1}{N - 1} \sum_{i = 1}^{N} (x_{i} - \overline{x})^{2}}

เมื่อ ${x_{1}, x_{2}, . . ., x_{N}}$ คือตัวอย่างและ $\overline{x}$ คือค่าเฉลี่ยของตัวอย่าง ตัวส่วน $N - 1$ คือองศาเสรี (degrees of freedom) ของเวกเตอร์ $(x_{1} - \overline{x}, . . ., x_{N} - \overline{x})$

เหตุผลของการนิยามเช่นนี้คือ $s^{2}$ เป็นตัวประมาณค่าไม่เอนเอียง (unbiased estimator) สำหรับความแปรปรวน $σ^{2}$ บนประชากรที่เป็นพื้นฐาน ถ้าหากความแปรปรวนนั้นมีค่า และค่าต่าง ๆ ของตัวอย่างได้รับการสุ่มออกมาโดยอิสระต่อกัน อย่างไรก็ตาม $s$ ไม่ใช่ตัวประมาณค่าไม่เอนเอียงของ $σ$ แต่เป็นการประเมินค่าที่ต่ำกว่าค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของประชากร และถึงแม้ว่าตัวประมาณค่าไม่เอนเอียงของ $σ$ จะสามารถทราบได้เมื่อตัวแปรสุ่มมีการแจกแจงปกติ แต่สูตรดังกล่าวจะซับซ้อนขึ้นและมีการปรับแต่งตัวเลข ยิ่งกว่านั้นความไม่เอนเอียงก็ไม่ได้เป็นที่ต้องการเสมอไป

ตัวประมาณค่าอีกแบบหนึ่งบางครั้งก็ถูกใช้เหมือนสูตรเดิม

\sqrt{\frac{1}{N} \sum_{i = 1}^{N} (x_{i} - \overline{x})^{2}}

รูปแบบนี้จะทำให้เกิดค่าคลาดเคลื่อนประเภท mean squared error น้อยกว่าตัวประมาณค่าไม่เอนเอียง และเป็นการประมาณความน่าจะเป็นสูงสุด (Maximum Likelihood Estimation) เมื่อการกระจายของประชากรนั้นเป็นการแจกแจงปกติ