รากที่ n

แม่แบบ:ความหมายอื่น2 ในทางคณิตศาสตร์ รากที่ n ของจำนวน x คือจำนวน r ที่ซึ่งเมื่อยกกำลัง n แล้วจะเท่ากับ x นั่นคือ

$r^n=x$

ตัวแปร n คือจำนวนที่ใส่เข้าไปเป็นดีกรีของราก โดยทั่วไปรากของดีกรี n จะเรียกว่ารากที่ n เช่นรากของดีกรีสองเรียกว่ารากที่สอง รากของดีกรีสามเรียกว่ารากที่สาม เป็นอาทิ

ตัวอย่างเช่น

• 2 คือรากที่สองของ 4 เนื่องจาก 2² = 4
• −2 ก็คือรากที่สองของ 4 เช่นกันเนื่องจาก (−2)² = 4

รากที่ n ของจำนวนหนึ่งอาจมีหลายคำตอบก็ได้และไม่จำเป็นต้องเป็นจำนวนจริง

รากเหล่านี้โดยปกติเขียนแทนด้วยเครื่องหมายกรณฑ์ ซึ่งมีลักษณะดังนี้ $\sqrt{}$ โดยส่วนบนจะยาวคลุมตัวถูกดำเนินการโดยตลอด (เสมือนเป็นวงเล็บในตัว) รากที่สองของ x เขียนแทนด้วย $\sqrt{x}$ รากที่สามเขียนแทนด้วย $\sqrt[3]{x}$ รากที่สี่เขียนแทนด้วย $\sqrt[4]{x}$ เช่นนี้เรื่อยไป เมื่อจำนวนหนึ่งเขียนอยู่ภายใต้กรณฑ์ มันต้องให้ค่าออกมาเพียงค่าเดียวเหมือนฟังก์ชัน ดังนั้นรากที่เป็นจำนวนจริงไม่เป็นลบ ซึ่งเรียกว่า รากที่ n มุขสำคัญ (principal n-th root) จะเป็นจำนวนที่ถูกเลือกมากกว่ารากอื่น จำนวนติดกรณฑ์ที่ไม่ได้แจงค่าหรือหาค่ามิได้ บ่อยครั้งที่ถูกเรียกว่าเสิร์ด (surd) หรือราก (radical) ไปอย่างนั้น ในภาษาไทยนิยมเรียกสั้น ๆ ว่ารูต (root)

ในแคลคูลัส รากต่าง ๆ ถือว่าเป็นกรณีพิเศษของยกกำลังซึ่งมีเลขชี้กำลังเป็นเศษส่วนดังนี้

$\sqrt[n]{x}=x^{(1/n)}$

รากต่าง ๆ มีความสำคัญโดยเฉพาะกับทฤษฎีของอนุกรมอนันต์ ซึ่งการทดสอบโดยรากเป็นตัวพิจารณารัศมีของการลู่เข้าของอนุกรมกำลัง รากที่ n อาจสามารถนิยามสำหรับจำนวนเชิงซ้อนและรากเชิงซ้อนของ 1 (รากปฐมฐาน) ซึ่งมีบทบาทสำคัญในคณิตศาสตร์ชั้นสูง ทฤษฎีกาลัวจำนวนมากที่เกี่ยวข้องกับการพิจารณาว่าจำนวนเชิงพีชคณิตสามารถเขียนแทนในรูปของกรณฑ์ได้ นำไปสู่ทฤษฎีบทอาเบล-รัฟฟินีที่ว่าพหุนามดีกรีห้าขึ้นไปโดยทั่วไปไม่สามารถหาคำตอบได้โดยใช้รากเพียงอย่างเดียว

ประวัติ

ต้นกำเนิดเกี่ยวกับเครื่องหมายกรณฑ์ (radical symbol, root symbol) $\sqrt{}$ นั้นยังเป็นที่สงสัยอยู่ โดยเลออนฮาร์ด ออยเลอร์ เชื่อว่ามันมีที่มาจากอักษรตัว r ซึ่งเป็นตัวอักษรขึ้นต้นของคำว่า radix ในภาษาลาตินอันมีความหมายเช่นเดียวกับการกระทำทางคณิตศาสตร์ที่เหมือนเดิม ซึ่งเครื่องหมายนี้ถูกตีพิมพ์ครั้งแรกโดยไม่ปรากฏเส้นลากข้างบนในปี ค.ศ. 1525 ในหนังสือ Die Coss โดย คริสตอฟ รูดอล์ฟ นักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมัน

คุณสมบัติทั่วไป

1. ค่าในกรณฑ์ต้องไม่เป็นจำนวนจริงลบจึงจะยังคงเป็นจำนวนจริง แต่หากค่าในกรณฑ์ติดลบ ถือว่าเป็นจำนวนจินตภาพ
2. ค่าในกรณฑ์หากเป็นทศนิยมไปเรื่อย ๆ อย่างเช่น $\sqrt{2}=1.414213562373095048...$ จะไม่พบตำแหน่งที่เริ่มมีการซ้ำได้
3. $\sqrt[n]{a}\cdot \sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{ab}$
4. $\sqrt[n]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$
5. $\sqrt[n]{a\sqrt[n]{a\sqrt[n]{a\sqrt[n]{...}}}}=\sqrt[n-1]{a}$
6. $\sqrt{a+\sqrt{a+\sqrt{a+\sqrt{+...}}}}=\frac{1+\sqrt{4a+1}}{2}$
7. $\sqrt{a+\sqrt{a-\sqrt{a+\sqrt{-...}}}}=\frac{1+\sqrt{4a-3}}{2}$
8. ${\sqrt{a}}^2\ne$ $\pm \left|a\right|$ เมื่อ $a<0$

ปฏิบัติการมูลฐาน

• การใช้งานเครื่องหมายกรณฑ์นั้นมีดังนี้:

$\sqrt[n]{ab}=\sqrt[n]{a}\sqrt[n]{b};a\ge 0,b\ge 0$

$\sqrt[n]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}};a\ge 0,b>0$

$\sqrt[n]{a^m}={\left(\sqrt[n]{a}\right)}^m={\left(a^{\frac{1}{n}}\right)}^m=a^{\frac{m}{n}},$ ; a > 0, b > 0

• ขณะที่ a และ b ต่างเป็นจำนวนบวก

และทุก ๆ a เป็นจำนวนเชิงซ้อนที่ไม่ใช่ศูนย์ จะทำให้มี b เป็นจำนวนเชิงซ้อนที่แตกต่างกัน n จำนวนซึ่ง bⁿ = a, ดังนั้นการใช้ $\sqrt[n]{a}$ จึงไม่อาจใช้อย่างกำกวมได้ รากที่ n ของ รากของเอกภพ จึงมีความสำคัญยิ่ง

จำนวนสามารถเปลี่ยนไปอยู่ในรูปเอกซ์โปเนนเชียลได้ โดยให้รากที่ต้องการอยู่ในรูปของส่วนในเศษส่วนเลขยกกำลังได้ ดังนี้

$a^m{a}^n=a^{m+n}$

${\left(\frac{a}{b}\right)}^m=\frac{a^m}{b^m}$

$(a^m{)}^n=a^{mn}$

ตัวอย่าง:

$\sqrt[3]{a^5}\sqrt[5]{a^4}=a^{\frac{5}{3}}{a}^{\frac{4}{5}}=a^{\frac{25+12}{15}}=a^{\frac{37}{15}}$

$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt[4]{a}}=a^{\frac{1}{2}}{a}^{\frac{-1}{4}}=a^{\frac{4-2}{8}}=a^{\frac{2}{8}}=a^{\frac{1}{4}}$

• การที่จะรื้อออกเครื่องหมายกรณฑ์นั้นมีความสำคัญ โดยจะต้องยึดหลักดังต่อไปนี้.

$\sqrt[3]{a^5}=\sqrt[3]{aaaaa}=\sqrt[3]{a^3{a}^2}=a\sqrt[3]{a^2}$

เมื่อเข้าใจหลักการพื้นฐานในการนำตัวเลขเข้าและออกเครื่องหมายกรณฑ์แล้ว ก็จะสามารถจัดกลุ่มพหุนามได้ เช่น

$\sqrt[3]{a^5}+\sqrt[3]{a^8}$

$=\sqrt[3]{a^3{a}^2}+\sqrt[3]{a^6{a}^2}$

$=a\sqrt[3]{a^2}+a^2\sqrt[3]{a^2}$

$=(a+a^2)\sqrt[3]{a^2}$