กฎยกกำลัง

{{#invoke:sidebar|collapsible | class = plainlist | titlestyle = padding-bottom:0.25em; | pretitle = บทความนี้เป็นส่วนหนึ่งของ | title = แคลคูลัส | image = $\underset{a}{\overset{b}{\int }}{f}^{\prime }(t)dt=f(b)-f(a)$ | listtitlestyle = text-align:center; | liststyle = border-top:1px solid #aaa;padding-top:0.15em;border-bottom:1px solid #aaa; | expanded =

| abovestyle = padding:0.15em 0.25em 0.3em;font-weight:normal; | above = ทฤษฎีบทมูลฐาน แม่แบบ:Startflatlist

• ลิมิตของฟังก์ชัน
• ความต่อเนื่อง

• ทฤษฎีบทค่าเฉลี่ย
• ทฤษฎีบทของโรลล์

| list2name = อนุพันธ์ | list2titlestyle = display:block;margin-top:0.65em; | list2title = แคลคูลัสเชิงอนุพันธ์ | list2 =

แม่แบบ:Sidebar

| list3name = ปริพันธ์ | list3title = แคลคูลัสเชิงปริพันธ์ | list3 =

แม่แบบ:Sidebar

| list4name = อนุกรม | list4title = อนุกรม | list4 =

แม่แบบ:Sidebar

| list5name = เวกเตอร์ | list5title = แคลคูลัสเวกเตอร์ | list5 =

แม่แบบ:Sidebar

| list6name = หลายตัวแปร | list6title = แคลคูลัสหลายตัวแปร | list6 =

แม่แบบ:Sidebar

| list7name = พิเศษ | list7title = พิเศษ | list7 = แม่แบบ:Startflatlist

• แคลคูลัสเชิงเศษส่วน
• มาลียาแว็ง
• แคลคูลัสเฟ้นสุ่ม
• แคลคูลัสของการแปรผัน

}}ในแคลคูลัส สูตร หรือ กฎยกกำลัง (อังกฤษ: power rule) ใช้เพื่อหาอนุพันธ์ฟังก์ชันในรูป $f(x)=x^r$ เมื่อใดก็ตามที่ $r$ เป็นจำนวนจริง เนื่องจากการหาอนุพันธ์เป็นการดำเนินการเชิงเส้นบนปริภูมิของฟังก์ชันหาอนุพันธ์ได้ พหุนามจึงสามารถหาอนุพันธ์ได้โดยใช้กฎนี้ กฎยกกำลังรองรับอนุกรมเทย์เลอร์เนื่องจากเชื่อมโยงอนุกรมกำลังกับอนุพันธ์ของฟังก์ชัน

ประพจน์ของกฎยกกำลัง

ให้ $f$ เป็นฟังก์ชันที่สอดคล้องกับ $f(x)=x^r$ สำหรับทุก $x$ ที่ $r\in ℝ$แม่แบบ:Efn แล้ว

$$f^{\prime }(x)=r{x}^{r-1}$$ กฎยกกำลังของการปริพันธ์กล่าวว่า $$\int x^{r}dx=\frac{x^{r+1}}{r+1}+C$$ สำหรับจำนวนจริงใด ๆ $r\ne -1$ กฎดังกล่าวสามารถหาได้โดยการย้อนกลับกฎยกกำลัฃสำหรับอนุพันธ์ ในสมการนี้ C เป็นค่าคงตัวใด ๆ

บทพิสูจน์

พิสูจน์โดยใช้การหาอนุพันธ์โดยปริยาย

เป็นวิธีวางนัยทั่วไปตรง ๆ ของกฎยกกำลังไปยังเลขยกกำลังตรรกยะ ใช้การหาอนุพันธ์โดยปริยาย

ให้ $y=x^r=x^{p/q}$ เมื่อ $p,q\in \mathbb{Z}$ ทำให้ $r\in \mathbb{Q}$

แล้ว

$y^q=x^p$

อนุพันธ์ทั้งสองข้างของสมการในส่วน $x$

$q{y}^{q-1}\cdot \frac{dy}{dx}=p{x}^{p-1}$

แก้หา $\frac{dy}{dx}$

$\frac{dy}{dx}=\frac{p{x}^{p-1}}{q{y}^{q-1}}$

เนื่องาก $y=x^{p/q}$

$\frac{d}{dx}{x}^{p/q}=\frac{p{x}^{p-1}}{q{x}^{p-p/q}}$

ใช้สมบัติของเลขยกกำลัง

$\frac{d}{dx}{x}^{p/q}=\frac{p}{q}{x}^{p-1}{x}^{-p+p/q}=\frac{p}{q}{x}^{p/q-1}$

ให่้ $r=\frac{p}{q}$ สามารถสรุปได้ว่า $\frac{d}{dx}{x}^r=r{x}^{r-1}$ เมื่อ $r$ เป็นจำนวนตรรกยะ

การนำไปใช้กับพหุนาม

พหุนามอาจเป็นฟังก์ชันที่ง่ายที่สุดในการทำแคลคูลัส อนุพันธ์ และปริพันธ์เป็นไปตามกฎต่อไปนี้

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\sum _{k=0}^n{a}_k{x}^k=\sum _{k=0}^{n}k{a}_k{x}^{k-1}$

$\int \sum _{k=0}^n{a}_k{x}^k\mathrm{d}x=\sum _{k=0}^n\frac{a_k{x}^{k+1}}{k+1}+c.$

ดังนั้นอนุพันธ์ของ $x^{100}$ ก็คือ $100x^{99}$ และปริพันธ์ของ $x^{100}$ คือ $\frac{x^{101}}{101}+c$

บทพิสูจน์

เนื่องจากการหาอนุพันธ์เป็น การแปลงเชิงเส้น จะได้

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\sum _{r=0}^n{a}_r{x}^r\right)=\sum _{r=0}^n\frac{\mathrm{d}\left(a_r{x}^r\right)}{\mathrm{d}x}=\sum _{r=0}^n{a}_r\frac{\mathrm{d}\left(x^r\right)}{\mathrm{d}x}.$

ดังนั้นจะต้องหา $\frac{\mathrm{d}\left(x^r\right)}{\mathrm{d}x}$ สำหรับ จำนวนธรรมชาติ $r$ ใดๆ ซึ่งมีการพิสูจน์โดยอุปนัย โดยใช้ กฎผลคูณ ซึ่งขึ้นอยู่กับกรณีที่ $r=1$ เท่านั้น

นัยทั่วไป

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(a{x}^k\right)=ak{x}^{k-1}$

เป็นจริงทุกค่า k ที่ x^k มีความหมาย หรือ ทุกค่า k ที่เป็นจำนวนตรรกยะที่ x^k มีการนิยามไว้

นัยทั่วไปนี้ก็เป็นจริงสำหรับการหาปริพันธ์ของพหุนามเช่นเดียวกัน

ถ้ามีพหุนามที่ตัวคูณไม่ใช่จำนวนจริงหรือจำนวนเชิงซ้อน (เช่นอาจเป็น จำนวนเต็ม หรือตัวเลขมอดุโลของจำนวนเฉพาะ) ก็สามารถนิยามอนุพันธ์จากความสัมพันธ์ข้างบน

อ้างอิง

• Larson, Ron; Hostetler, Robert P.; and Edwards, Bruce H. (2003). Calculus of a Single Variable: Early Transcendental Functions (3rd edition). Houghton Mifflin Company. ISBN 0-618-22307-X.