ทฤษฎีบททวินาม

แม่แบบ:ขาดอ้างอิง ทฤษฎีบททวินาม (แม่แบบ:Langx) กล่าวถึงการกระจายพจน์ของ $(x+y{)}^n$สูตรนี้พัฒนาด้วยเเคลคูลัสของเซอร์ไอเเซกนิวตันซึ่งมีสูตรดังนี้

$(x+y{)}^n=\sum _{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})x^{n-k}{y}^k$

เมื่อ n เป็นจำนวนเต็มบวกหรือศูนย์ และ

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})=\frac{n!}{k!(n-k)!}$

ตัวอย่างผลที่ได้จากทฤษฎีบททวินามในกรณีที่ n ≤ 5 เช่น

$(x+y{)}^2=x^2+2xy+y^2$

$(x+y{)}^3=x^3+3x^{2}y+3x{y}^2+y^3$

$(x+y{)}^4=x^4+4x^{3}y+6x^2{y}^2+4x{y}^3+y^4$

$(x+y{)}^5=x^5+5x^{4}y+10x^3{y}^2+10x^2{y}^3+5x{y}^4+y^5$

การพิสูจน์โดยการอุปนัย

การอุปนัยทำให้เกิดการพิสูจน์ทฤษฎีบททวินาม เมื่อ n = 0 จะเท่ากับ 1 เนื่องจาก

$(x+y{)}^0=1$

สมมติว่าสมการมีไว้สำหรับจำนวน n ที่กำหนด ; เราจะพิสูจน์มันสำหรับจำนวน n + 1

ถ้า $[f(x,y){]}_{j,k}$ แทนค่าสัมประสิทธิ์ของ $x^j{y}^k$ ในพหุนาม $f(x,y)$

ประวัติศาสตร์

กรณีพิเศษของทฤษฎีบทเป็นที่รู้จักตั้งแต่อย่างน้อยศตวรรษที่ 4 ก่อน ค.ศ. นักคณิตศาสตร์ชาวกรีก กล่าวถึงกรณีพิเศษของทฤษฎีบทสำหรับเลขชี้กำลัง 2 ค่าสัมประสิทธิ์ จำนวนวิธีในการเลือกวัตถุจำนวน k รายการ จากวัตถุจำนวน n วัตถุ คือ $\frac{n!}{(n-k)!k!}$ ซึ่งถือเป็นที่สนใจของนักคณิตศาสตร์ชาวอินเดียโบราณ