กฎผลคูณ

{{#invoke:sidebar|collapsible | class = plainlist | titlestyle = padding-bottom:0.25em; | pretitle = บทความนี้เป็นส่วนหนึ่งของ | title = แคลคูลัส | image = $\underset{a}{\overset{b}{\int }}{f}^{\prime }(t)dt=f(b)-f(a)$ | listtitlestyle = text-align:center; | liststyle = border-top:1px solid #aaa;padding-top:0.15em;border-bottom:1px solid #aaa; | expanded =

| abovestyle = padding:0.15em 0.25em 0.3em;font-weight:normal; | above = ทฤษฎีบทมูลฐาน แม่แบบ:Startflatlist

• ลิมิตของฟังก์ชัน
• ความต่อเนื่อง

• ทฤษฎีบทค่าเฉลี่ย
• ทฤษฎีบทของโรลล์

| list2name = อนุพันธ์ | list2titlestyle = display:block;margin-top:0.65em; | list2title = แคลคูลัสเชิงอนุพันธ์ | list2 =

แม่แบบ:Sidebar

| list3name = ปริพันธ์ | list3title = แคลคูลัสเชิงปริพันธ์ | list3 =

แม่แบบ:Sidebar

| list4name = อนุกรม | list4title = อนุกรม | list4 =

แม่แบบ:Sidebar

| list5name = เวกเตอร์ | list5title = แคลคูลัสเวกเตอร์ | list5 =

แม่แบบ:Sidebar

| list6name = หลายตัวแปร | list6title = แคลคูลัสหลายตัวแปร | list6 =

แม่แบบ:Sidebar

| list7name = พิเศษ | list7title = พิเศษ | list7 = แม่แบบ:Startflatlist

• แคลคูลัสเชิงเศษส่วน
• มาลียาแว็ง
• แคลคูลัสเฟ้นสุ่ม
• แคลคูลัสของการแปรผัน

}}

ในคณิตศาสตร์ กฎผลคูณของแคลคูลัส หรือเรียกว่า กฎของไลบ์นิซ เป็นสูตรสำหรับหาอนุพันธ์ของผลคูณของฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้สองฟังก์ชันหรือมากกว่า ซึ่งอาจเขียนในสัญกรณ์ของลากร็องฌ์ได้ดังนี้

$(fg{)}^{\prime }=f^{\prime }g+f{g}^{\prime }$

หรือด้วยสัญกรณ์ไลบ์นิซดังนี้

$\frac{d}{dx}(uv)=u\frac{dv}{dx}+v\frac{du}{dx}$

กฎผลคูณสามารถขยายไปยังผลคูณของฟังก์ชันสามจัวหรือมากกว่าก็ได้ หรือในกรณีอื่น ๆ ที่ไม่ใช่การหาอนุพันธ์โดยตรง

การค้นพบโดยไลบ์นิซ

ไลบ์นิซได้ชื่อว่าเป็นผู้ค้นพบกฎนี้ ซึ่งพิสูจน์โดยใช้คณิตศาสตร์ดิฟเฟอเรนเชียล แต่ J. M. Child ผู้แปลผลงานของไลบ์นิซ์เสนอว่า ไอแซค บาร์โรว์ เป็นผู้ค้นพบกฎผลคูณก่อน การพิสูจน์ของไลบ์นิซ์เริ่มต้นโดยสมมติให้ u(x) และ v(x) เป็นฟังก์ชันซึ่งหาอนุพันธ์ได้ของ x ดิฟเฟอเรนเชียลของ uv คือ

$d(uv)$	$=(u+du)(v+dv)-uv$
	$=u(dv)+v(du)+(du)(dv)$

แต่เนื่องจากเทอม (du) (dv) มีค่าน้อย ไลบ์นิซสรุปว่า

$d(uv)=(du)v+u(dv)$

และนี่คือกฎผลคูณในรูปของดิฟเฟอเรนเชียล ถ้าเราหารตลอดด้วยดิฟเฟอเรนเชียล dx เราจะได้

$\frac{d}{dx}(uv)=\left(\frac{du}{dx}\right)v+u\left(\frac{dv}{dx}\right)$

ซึ่งสามารถเขียนอีกรูปหนึ่งได้เป็น

$(uv{)}^{\prime }=u^{\prime }v+u{v}^{\prime }$

ตัวอย่าง

• สมมุติว่าคุณต้องการหาอนุพันธ์ของ f(x) = x²sin(x) โดยการใช้กฎผลคูณจะได้คำตอบ f'(x) = 2x sin(x) + x²cos(x) (เนื่องจากอนุพันธ์ของ x² คือ 2x และอนุพันธ์ของ sin(x) คือ cos(x))
• กฎการคูณด้วยค่าคงที่ (Constant Multiple Rule) ซึ่งเป็นกรณีพิเศษของกฎผลคูณ กล่าวไว้ว่า: ถ้า c เป็น จำนวนจริง และ f (x) เป็นฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้ จะได้ว่า cf (x) ก็หาอนุพันธ์ได้เช่นกัน และมีอนุพันธ์เป็น (c × f)' (x) = c × f'(x) (นี่เป็นผลจากกฎการคูณ เนื่องจากอนุพันธ์ของค่าคงที่ มีค่าเป็นศูนย์) เมื่อนำผลที่ได้นี้รวมเข้ากับกฎผลบวกจะได้ว่า การหาอนุพันธ์เป็นกระบวนการเชิงเส้น
• กฎผลคูณสามารถใช้พิสูจน์การหาปริพันธ์ทีละส่วน และกฎผลหารแบบ "อ่อน" (เพราะกฎผลคูณไม่ได้พิสูจน์ว่าผลหารของฟังก์ชันสองฟังก์ชันจะหาอนุพันธ์ได้ แต่พิสูจน์ว่า หากอนุพันธ์หาได้ จะมีค่าเท่าใดเท่านั้น)

การพิสูจน์กฎผลคูณ

กฎผลคูณสามารถพิสูจน์ได้โดยอาศัยคุณสมบัติของลิมิต นิยามของอนุพันธ์ และทฤษฎีบทที่ว่าฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้เป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง:

นัยทั่วไป

ผลคูณมากกว่าสองฟังก์ชัน

กฏผลคูณสามารถวางนัยทั่วไปให้กับกรณีที่มีตัวประกอบคูณกันมากกว่าสองตัวได้ อย่างเช่น หากมีตัวประกอบสามตัวจะได้

$\frac{d(uvw)}{dx}=\frac{du}{dx}vw+u\frac{dv}{dx}w+uv\frac{dw}{dx}$

และสำหรับเซตของฟังก์ชัน $f_1,\dots ,f_k$ จะได้ว่า

$\frac{d}{dx}[\prod _{i=1}^k{f}_i(x)]=\sum _{i=1}^k((\frac{d}{dx}{f}_i(x))\prod _{j=1,j\ne i}^k{f}_j(x))=(\prod _{i=1}^k{f}_i(x))\left(\sum _{i=1}^k\frac{f{\text{'}}_i(x)}{f_i(x)}\right)$

พีชคณิตนามธรรม

ในพีชคณิตนามธรรม กฎผลคูณใช้เป็นนิยามของการดำเนินการอนุพันธ์

แคลคูลัสเวกเตอร์

กฎผลคูณขยายไปยังการคูณด้วยสเกลาร์ ผลคูณจุด และผลคูณไขว้ของฟังก์ชันเวกเตอร์ดังต่อไปนี้

สำหรับการคูณด้วยสเกลาร์: $(f\cdot 𝐠{)}^{\prime }=f^{\prime }\cdot 𝐠+f\cdot {𝐠}^{\prime }$

สำหรับผลคูณจุด: $(𝐟\cdot 𝐠{)}^{\prime }={𝐟}^{\prime }\cdot 𝐠+𝐟\cdot {𝐠}^{\prime }$

สำหรับผลคูณไขว้: $(𝐟\times 𝐠{)}^{\prime }={𝐟}^{\prime }\times 𝐠+𝐟\times {𝐠}^{\prime }$

นอกจากนี้ยังมีกฎผลคูณสำหรับกระบวนการอื่นที่คล้ายคลึงกับการหาอนุพันธ์: ถ้า f และ g เป็นฟีลด์สเกลาร์แล้วเกรเดียนต์จะสอดคล้องกับกฎผลคูณ

$$\mathrm{\nabla }(f\cdot g)=\mathrm{\nabla }f\cdot g+f\cdot \mathrm{\nabla }g$$

ดูเพิ่ม

• กฎผลหาร
• การหาปริพันธ์เป็นส่วน
• ดิฟเฟอเรนเชียล