กฎผลหาร

แม่แบบ:ต้องการอ้างอิง {{#invoke:sidebar|collapsible | class = plainlist | titlestyle = padding-bottom:0.25em; | pretitle = บทความนี้เป็นส่วนหนึ่งของ | title = แคลคูลัส | image = $\underset{a}{\overset{b}{\int }}{f}^{\prime }(t)dt=f(b)-f(a)$ | listtitlestyle = text-align:center; | liststyle = border-top:1px solid #aaa;padding-top:0.15em;border-bottom:1px solid #aaa; | expanded =

| abovestyle = padding:0.15em 0.25em 0.3em;font-weight:normal; | above = ทฤษฎีบทมูลฐาน แม่แบบ:Startflatlist

• ลิมิตของฟังก์ชัน
• ความต่อเนื่อง

• ทฤษฎีบทค่าเฉลี่ย
• ทฤษฎีบทของโรลล์

| list2name = อนุพันธ์ | list2titlestyle = display:block;margin-top:0.65em; | list2title = แคลคูลัสเชิงอนุพันธ์ | list2 =

แม่แบบ:Sidebar

| list3name = ปริพันธ์ | list3title = แคลคูลัสเชิงปริพันธ์ | list3 =

แม่แบบ:Sidebar

| list4name = อนุกรม | list4title = อนุกรม | list4 =

แม่แบบ:Sidebar

| list5name = เวกเตอร์ | list5title = แคลคูลัสเวกเตอร์ | list5 =

แม่แบบ:Sidebar

| list6name = หลายตัวแปร | list6title = แคลคูลัสหลายตัวแปร | list6 =

แม่แบบ:Sidebar

| list7name = พิเศษ | list7title = พิเศษ | list7 = แม่แบบ:Startflatlist

• แคลคูลัสเชิงเศษส่วน
• มาลียาแว็ง
• แคลคูลัสเฟ้นสุ่ม
• แคลคูลัสของการแปรผัน

}} กฎผลหาร (แม่แบบ:Langx) เป็นกฎในแคลคูลัส คือวิธีการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน ซึ่งเป็นผลหาร ของอีกสองฟังก์ชัน ซึ่งหาอนุพันธ์ได้ ถ้าฟังก์ชันที่เราต้องการหาอนุพันธ์ f(x) สามารถเขียนในรูป

$f(x)=\frac{g(x)}{h(x)}$

และ h(x) ≠ 0; ดังนั้น กฎนี้กล่าวว่า อนุพันธ์ของ g(x) / h(x) เท่ากับ ตัวส่วน คูณกับ อนุพันธ์ของ ตัวเศษ ลบกับ ตัวเศษ คูณกับอนุพันธ์ของ ตัวส่วน ทั้งหมดหารด้วยกำลังสองของตัวส่วน ดังนี้

$f^{\prime }(x)=\frac{g^{\prime }(x)h(x)-g(x)h^{\prime }(x)}{{h(x)}^2}$

หรือโดยละเอียดกว่านี้แล้ว สำหรับ x ใด ๆ ในเซตเปิด ที่มีจำนวน a และ h(a) ≠ 0 และทั้ง g '(a) และ h '(a) หาค่าได้ ดังนั้น f '(a) จะหาค่าได้ดังนี้

$f^{\prime }(a)=\frac{g^{\prime }(a)h(a)-g(a)h^{\prime }(a)}{h(a{)}^2}$

ตัวอย่าง

อนุพันธ์ของ $(4x-2)/(x^2+1)$ คือ:

$\frac{d}{dx}\frac{(4x-2)}{x^2+1}$	$=\frac{(x^2+1)(4)-(4x-2)(2x)}{(x^2+1{)}^2}$
	$=\frac{(4x^2+4)-(8x^2-4x)}{(x^2+1{)}^2}$
	$=\frac{-4x^2+4x+4}{(x^2+1{)}^2}$

อนุพันธ์ของ $\sin (x)/x^2$ (เมื่อ $x$ ≠ 0) คือ:

$\frac{\cos (x)x^2-\sin (x)2x}{x^4}$

บทพิสูจน์

จากผลหารผลต่างของนิวตัน

สมมุติให้ $f(x)=g(x)/h(x)$

โดยที่ $h(x)$≠ 0 และ $g$ และ $h$ เป็นฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้

$f^{\prime }(x)=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim }\frac{f(x+\mathrm{\Delta }x)-f(x)}{\mathrm{\Delta }x}=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim }\frac{\frac{g(x+\mathrm{\Delta }x)}{h(x+\mathrm{\Delta }x)}-\frac{g(x)}{h(x)}}{\mathrm{\Delta }x}$

$=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim }\frac{1}{\mathrm{\Delta }x}\left(\frac{g(x+\mathrm{\Delta }x)h(x)-g(x)h(x+\mathrm{\Delta }x)}{h(x)h(x+\mathrm{\Delta }x)}\right)$

$=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim }\frac{1}{\mathrm{\Delta }x}\left(\frac{(g(x+\mathrm{\Delta }x)h(x)-g(x)h(x))-(g(x)h(x+\mathrm{\Delta }x)-g(x)h(x))}{h(x)h(x+\mathrm{\Delta }x)}\right)$

$=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim }\frac{1}{\mathrm{\Delta }x}\left(\frac{h(x)(g(x+\mathrm{\Delta }x)-g(x))-g(x)(h(x+\mathrm{\Delta }x)-h(x))}{h(x)h(x+\mathrm{\Delta }x)}\right)$

$=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim }\frac{\frac{g(x+\mathrm{\Delta }x)-g(x)}{\mathrm{\Delta }x}h(x)-g(x)\frac{h(x+\mathrm{\Delta }x)-h(x)}{\mathrm{\Delta }x}}{h(x)h(x+\mathrm{\Delta }x)}$

$=\frac{\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim }\left(\frac{g(x+\mathrm{\Delta }x)-g(x)}{\mathrm{\Delta }x}\right)h(x)-g(x)\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim }\left(\frac{h(x+\mathrm{\Delta }x)-h(x)}{\mathrm{\Delta }x}\right)}{h(x)h(\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim }(x+\mathrm{\Delta }x))}$

$=\frac{g^{\prime }(x)h(x)-g(x)h^{\prime }(x)}{[h(x){]}^2}$

จากกฎผลคูณ

สมมุติให้ $f(x)=g(x)/h(x)$

$g(x)=f(x)h(x)$

$g^{\prime }(x)=f^{\prime }(x)h(x)+f(x)h^{\prime }(x)$

ที่เหลือก็มีเพียงจัดรูปของสมการให้เทอม $f^{\prime }(x)$ เป็นเทอมเดียวด้านซ้าย และกำจัดเทอม $f(x)$ ออกจากด้านขวาของสมการ

$f^{\prime }(x)=\frac{g^{\prime }(x)-f(x)h^{\prime }(x)}{h(x)}=\frac{g^{\prime }(x)-\frac{g(x)}{h(x)}\cdot h^{\prime }(x)}{h(x)}$

$f^{\prime }(x)=\frac{g^{\prime }(x)h(x)-g(x)h^{\prime }(x)}{{(h(x))}^2}$

ดูเพิ่ม

• กฎผลคูณ