เลขคณิตมอดุลาร์

แม่แบบ:เพิ่มอ้างอิง แม่แบบ:ลิงก์ไปภาษาอื่น เลขคณิตมอดุลาร์ (Modular arithmetic) เป็นระบบเลขคณิตที่มีรากฐานมาจากระบบจำนวนเต็มทั่วไป แต่จำนวนในระบบนี้จะมีการหมุนกลับในลักษณะเดียวกันกับเข็มนาฬิกาเมื่อมีค่าถึงค่าบางค่าที่กำหนดไว้ ซึ่งค่านี้จะเรียกว่า มอดุลัส กล่าวคือ ตัวเลขที่มีค่าเกินค่าของมอดุลัส จะถูกปรับค่าให้เป็นเศษของจำนวนนั้นเมื่อหารด้วยมอดุลัส ยกตัวอย่างเช่น ภายใต้มอดุลัสที่เป็น $9$ เลข $13$ จะถูกปรับให้เหลือ $4$ หรือ ผลบวกของ $4$ กับ $7$ ก็คือ $2$

การสมภาคกันของจำนวน

เราจะกล่าวว่าจำนวนเต็ม $a$ และ $b$ สมภาคกัน ภายใต้มอดุโล $m$ ได้เมื่อผลต่างของสองจำนวนนั้นสามารถหารลงตัวได้ด้วย $m$ หรืออาจจะกล่าวได้อีกอย่างคือ จำนวนเต็ม $a$ กับ $b$ เมื่อหารด้วย $m$ จะเหลือเศษเท่ากัน การสมภาคกันของ $a$ และ $b$ สามารถเขียนได้ในรูป

$a\equiv b(\mathrm{mod}m)$

ตัวอย่างเช่น

$26\equiv 14(\mathrm{mod}12)$

ความสัมพันธ์ของการสมภาคกันเป็นความสัมพันธ์สมมูล (equivalence relation) และชั้นสมมูล (equivalence class) ของจำนวนเต็ม a สามารถเขียนได้ในรูป [a]_n ซึ่งความสัมพันธ์สมมูลตัวนี้มีคุณสมบัติเพิ่มเติมอีกหลายอย่าง ยกตัวอย่างเช่น: ถ้า

$a_1\equiv b_1(\mathrm{mod}m)$

และ

$a_2\equiv b_2(\mathrm{mod}m)$

แล้ว

$a_1+a_2\equiv b_1+b_2(\mathrm{mod}m)$

และ

$a_1{a}_2\equiv b_1{b}_2(\mathrm{mod}m)$

ประวัติ

คาร์ล ฟรีดริช เกาส์เป็นผู้นำเสนอเลขคณิตมอดุลาร์ในหนังสือ Disquisitiones Arithmeticae ในปีค.ศ. 1801 (พ.ศ. 2344)

คุณสมบัติ

ถ้า a ≡ b (mod n) แล้ว และ b ≡ c (mod n), ดังนั้น a ≡ c (mod n)

• สมบัติการสลับที่ :

ดูเพิ่ม

• กรุปการคูณของจำนวนเต็มมอดุโล n
• ทฤษฎีบทเศษเหลือของจีน

แหล่งข้อมูลอื่น

• ในบทความ modular artแม่แบบ:ลิงก์เสีย แสดงการประยุกต์ใช้เลขคณิตมอดุลาร์ในดนตรี