การทดสอบการลู่เข้า

{{#invoke:sidebar|collapsible | class = plainlist | titlestyle = padding-bottom:0.25em; | pretitle = บทความนี้เป็นส่วนหนึ่งของ | title = แคลคูลัส | image = $\underset{a}{\overset{b}{\int }}{f}^{\prime }(t)dt=f(b)-f(a)$ | listtitlestyle = text-align:center; | liststyle = border-top:1px solid #aaa;padding-top:0.15em;border-bottom:1px solid #aaa; | expanded = Series

| abovestyle = padding:0.15em 0.25em 0.3em;font-weight:normal; | above = ทฤษฎีบทมูลฐาน แม่แบบ:Startflatlist

• ลิมิตของฟังก์ชัน
• ความต่อเนื่อง

• ทฤษฎีบทค่าเฉลี่ย
• ทฤษฎีบทของโรลล์

| list2name = อนุพันธ์ | list2titlestyle = display:block;margin-top:0.65em; | list2title = แคลคูลัสเชิงอนุพันธ์ | list2 =

แม่แบบ:Sidebar

| list3name = ปริพันธ์ | list3title = แคลคูลัสเชิงปริพันธ์ | list3 =

แม่แบบ:Sidebar

| list4name = อนุกรม | list4title = อนุกรม | list4 =

แม่แบบ:Sidebar

| list5name = เวกเตอร์ | list5title = แคลคูลัสเวกเตอร์ | list5 =

แม่แบบ:Sidebar

| list6name = หลายตัวแปร | list6title = แคลคูลัสหลายตัวแปร | list6 =

แม่แบบ:Sidebar

| list7name = พิเศษ | list7title = พิเศษ | list7 = แม่แบบ:Startflatlist

• แคลคูลัสเชิงเศษส่วน
• มาลียาแว็ง
• แคลคูลัสเฟ้นสุ่ม
• แคลคูลัสของการแปรผัน

}}

ในทาง คณิตศาสตร์ การทดสอบการลู่เข้าเป็นวิธีการทดสอบหาการลู่เข้า การลู่เข้าแบบมีเงื่อนไข การลู่เข้าแบบสัมบูรณ์ ช่วงลู่เข้า หรือลู่ออกของอนุกรมอนันต์ $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$

รายการการทดสอบ

ลิมิตของส่วนของผลบวก

ถ้าลิมิตของส่วนของผลบวกหาค่าไม่ได้หรือไม่ใช่ศูนย์ นั่นคือ $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}_n\ne 0$ แล้วอนุกรมจะลู่ออก ในแง่นี้ ผลบวกย่อยจะเป็นแบบโคชี เฉพาะในกรณีที่ลิมิตหาค่าได้และมีค่าเท่ากับศูนย์เท่านั้น การทดสอบจะสรุปไม่ได้ ถ้าลิมิตของส่วนของผลบวกเป็นศูนย์ สามารถเรียกอีกอย่างได้ว่า การทดสอบด้วยพจน์ที่ n การทดสอบการลู่ออก หรือ การทดสอบอนุกรมลู่ออก

การทดสอบด้วยอัตราส่วน

สามารถเรียกอีกอย่างได้ว่า เกณฑ์ของดาล็องแบร์

พิจารณาลิมิตสองลิมิต $\ell =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; inf}}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|$ และ $L=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; sup}}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|$ ถ้า $\ell >1$ อนุกรมจะลู่ออก ถ้า $L<1$ อนุกรมจะลู่เข้าโดยสัมบูรณ์ ถ้า $\ell \le 1\le L$ การทดสอบจะสรุปไม่ได้ และอนุกรมอาจลู่เข้าแบบสมบูรณ์ แบบมีเงื่อนไข หรือลู่ออกได้

การทดสอบโดยราก

สามารถเรียกอีกอย่างได้ว่า การทดสอบโดยรากที่ n หรือ เกณฑ์ของโคชี

ให้

$r=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; sup}}\sqrt[n]{|a_n|}$

เมื่อ $\mathrm{lim\; sup}$ หมายถึงลิมิตซูพีเรียร์ (อาจได้ $\mathrm{\infty }$ หากมีลิมิตก็จะมีค่าได้เดิม)

ถ้า r < 1 แล้วอนุกรมนั้นจะลู่เข้าแบบสัมบูรณ์ หาก r > 1 แล้วอนุกรมนี้จะลู่ออก ถ้า r = 1 การทดสอบโดยรากจะสรุปไม่ได้ และอนุกรมอาจลู่เข้าหรือลู่ออกจากกัน

การทดสอบรากจะเข้มกว่าการทดสอบอัตราส่วน เมื่อใดที่การทดสอบด้วยอัตราส่วนกำหนดการลู่เข้าหรือลู่ออกของอนุกรมอนันต์ การทดสอบรากก็จะกำหนดการลู่เช่นกัน แต่บทกลับอาจไม่เป็นจริงเสมอไป

การทดสอบด้วยปริพันธ์

อนุกรมสามารถเปรียบเทียบกับปริพันธ์เพื่อกำหนดการลู่เข้าหรือลู่ออก ให้ $f:[1,\mathrm{\infty })\to {ℝ}_{+}$ เป็น ฟังก์ชันไม่เป็นลบและลดลงทางเดียว โดยที่ $f(n)=a_n$ ถ้าให้ $$\underset{1}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(x)dx=\underset{t\to \mathrm{\infty }}{\lim }\underset{1}{\overset{t}{\int }}f(x)dx<\mathrm{\infty },$$ แล้วอนุกรมนี้ก็จะลู่เข้า แต่ถ้าปริพันธ์ลู่ออก อนุกรมก็จะลุ่ออกด้วย กล่าวอีกนัยหนึ่งก็คืออนุกรมของ $a_n$ ลุ่เข้าก็ต่อเมื่อปริพันธ์ลู่เข้า

การทดสอบโดยใช้อนุกรมพี

บทย่อยที่ใช้กันบ่อยของการทดสอบด้วยปริพันธ์คือการทดสอบโดยใช้อนุกรมพี ให้ $k>0$ แล้ว $\sum _{n=k}^{\mathrm{\infty }}\left(\frac{1}{n^p}\right)$ จะลู่เข้า ถ้า $p>1$

กรณีที่ $p=1,k=1$ จะได้อนุกรมฮาร์มอนิกที่ลู่ออก กรณีที่ $p=2,k=1$ คือปัญหาบาเซิล และอนุกรมจะลู่เข้าหา $\frac{{\pi }^2}{6}$ โดยทั่วไปแล้ว สำหรับ $p>1,k=1$ อนุกรมนี้จะเท่ากับฟังก์ชันซีตาของรีมันน์ที่นำไปใช้กับ $p$ นั่นก็คือ $\zeta (p)$

การทดสอบด้วยการเปรียบเทียบโดยตรง

ถ้าอนุกรม $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{b}_n$ เป็นอนุกรมลู่เข้าแบบสัมบูรณ์ และ $|a_n|\le |b_n|$ สำหรับ n ที่มากพอ แล้อนุกรม $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$ จะลู่เข้าแบบสัมบูรณ์

การทดสอบด้วยการเปรียบเทียบโดยใช้ลิมิต

ถ้า $\{a_n\},\{b_n\}>0$ (นั่นคือทุกสมาชิกของลำดับทั้งสองเป็นค่าบวก) และลิมิต $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{a_n}{b_n}$ หาค่าได้ เป็นจำนวนจำกัดและไม่เป็นศูนย์ ดังนั้นอนุกรมทั้งสองจะลู่เข้าหรือลู่ออกทั้งคู่

การทดสอบด้วยการควบแน่นโคชี

ให้ $\left\{a_n\right\}$ เป็นลำดับที่ไม่เป็นลบและไม่เพิ่ม แล้วผลรวม $A=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$ จะลู่เข้า ก็ต่อเมื่อผลรวม $A^{*}=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{2}^n{a}_{2^n}$ ลู่เข้า ยิ่งไปกว่านั้น ถ้าลู่เข้าแล้ว $A\le A^{*}\le 2A$ จะเป็นจริง

การทดสอบของอาเบล

สมมุติให้ข้อความต่อไปนี้เป็นจริง

1. $\sum a_n$ เป็นอนุกรมที่ลู่เข้า
2. $\left\{b_n\right\}$ เป็นลำดับทางเดียวและ
3. $\left\{b_n\right\}$ มีขอบเขตจำกัด

แล้ว $\sum a_n{b}_n$ ก็จะลู่เข้าด้วย

การทดสอบการลู่เข้าแบบสัมบูรณ์

อนุกรมลู่เข้าแบบสัมบูรณ์ทุกอนุกรมจะลู่เข้า

การทดสอบอนุกรมสลับ

สมมุติให้ข้อความต่อไปนี้เป็นจริง

• $(a_n{)}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ เป็นลำดับทางเดียว
• $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}_n=0$

แล้ว $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n{a}_n$ และ $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^{n+1}{a}_n$ เป็นอนุกรมลู่เข้า การทดสอบนี้เรียกอีกอย่างหนึ่งว่า เกณฑ์ของไลบ์นิทซ์

การทดสอบของดิริชเลต์

ถ้า $\{a_n\}$ เป็นลำดับของจำนวนจริง และ $\{b_n\}$ ลำดับของจำนวนเชิงซ้อนที่สอดคล้องกับ

• $a_n\ge a_{n+1}$

• $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}_n=0$

• $\left|\sum _{n=1}^N{b}_n\right|\le M$ สำหรับทุกจำนวนเต็มบวก N

โดยที่ M เป็นค่าคงที่ ดังนั้นอนุกรม

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{b}_n$

ลู่เข้า

การทดสอบการลู่เข้าของโคชี

อนุกรม $\sum _{i=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_i$ จะลู่เข้าก็ต่อเมื่อสำหรับทุก $\epsilon >0$ มีจำนวนนับ N ที่

$|a_{n+1}+a_{n+2}+\cdots +a_{n+p}|<\epsilon$

เป็นจริงสำหรับทุก แม่แบบ:ไม่ตัด และทุก แม่แบบ:ไม่ตัด

ทฤษฎีบทสโตลซ์–เชซาโร

ให้ $(a_n{)}_{n\ge 1}$ และ $(b_n{)}_{n\ge 1}$ เป็นลำดับของจำนวนจริงสองลำดับ สมมติว่า $(b_n{)}_{n\ge 1}$ เป็นลำดับลู่ออกทางเดียวโดยแท้ และลิมิตต่อไปนี้หาค่าได้

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{a_{n+1}-a_n}{b_{n+1}-b_n}=l.$

แล้วลิมิต

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{a_n}{b_n}=l.$

การทดสอบแบบเอ็มของไวเออร์ชตราสส์

สมมติให้ (f_n) เป็นลำดับของฟังก์ชันค่าจริงหรือค่าเชิงซ้อนที่ถูกกำหนดบนเซต A และมีลำดับของจำนวนไม่เป็นลบ (M_n) ที่สอดคล้องเงื่อนไข

• $|f_n(x)|\le M_n$ สำหรับทุก $n\ge 1$ และทุก $x\in A$, และ
• $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{M}_n$ ลู่เข้า

แล้วอนุกรม

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{f}_n(x)$

ลู่เข้าแบบสัมบูรณ์และเอกรูปบน A

ส่วนขยายของการทดสอบด้วยอัตราส่วน

การทดสอบด้วยอัตราส่วนอาจไม่ชัดเจนเมื่อลิมิตของอัตราส่วนเท่ากับ 1 อย่างไรก็ตาม ส่วนขยายของการทดสอบด้วยอัตราส่วนบางครั้งช่วยให้สามารถจัดการกับกรณีนี้ได้

การทดสอบของราเบ-ดูอาแมล

ให้ {a_n} เป็นลำดับของจำนวนบวก

กำหนดให้

$b_n=n(\frac{a_n}{a_{n+1}}-1).$

ถ้า

$L=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{b}_n$

มีความเป็นไปได้สามทาง

• ถ้า L > 1 อนุกรมลู่เข้า (รวมถึงกรณี L = ∞)
• ถ้า L < 1 อนุกรมจะลู่ออก
• และถ้า L = 1 การทดสอบไม่สามารถสรุปผลได้

สูตรทางเลือกสำหรับการทดสอบนี้สามรถเขียนได้ดังนี้ ให้ a_n เป็นลำดับของจำนวนจริง แล้วถ้า b > 1 และ K (จำนวนธรรมชาติ) มีอยู่ได้ว่า

$\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|\le 1-\frac{b}{n}$

สำหรับทุก n > K ดังนั้นอนุกรม {a_n} จะลู่เข้า

การทดสอบของเบอร์ทรานด์

ให้ {a_n} เป็นลำดับของจำนวนบวก นิยามให้

$b_n=\ln n(n(\frac{a_n}{a_{n+1}}-1)-1).$

ถ้า

$L=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{b}_n$

มีอยู่สามความเป็นไปได้

• ถ้า L > 1 อนุกรมจะลู่เข้า (รวมถึงกรณี L = ∞)
• ถ้า L < 1 อนุกรมจะลู่ออก
• และถ้า L = 1 การทดสอบนั้นไม่สามารถสรุปผลได้

การทดสอบของเกาส์

ให้ {a_n} เป็นลำดับของจำนวนบวก ถ้า $\frac{a_n}{a_{n+1}}=1+\frac{\alpha }{n}+O(1/n^{\beta })$ สำหรับบาง β > 1 แล้ว $\sum a_n$ ลู่เข้าถ้า แม่แบบ:Math และลู่ออกถ้า แม่แบบ:Math

การทดสอบของคุมเมอร์

ให้ {a_n} เป็นลำดับของจำนวนบวกแล้ว

(1) $\sum a_n$ ลู่เข้าก็ต่อเมื่อมีลำดับ $b_n$ ของจำนวนบวกและจำนวนจริง c > 0 โดยที่ $b_k(a_k/a_{k+1})-b_{k+1}\ge c$ -

(2) $\sum a_n$ จะลู่ออกก็ต่อเมื่อมีลำดับ $b_n$ ของจำนวนบวกที่ทำให้ $b_k(a_k/a_{k+1})-b_{k+1}\le 0$

และ $\sum 1/b_n$ ลู่ออก

การทดสอบของอาบู-มุสตาฟา

ให้ $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$ เป็นอนุกรมอนันต์ที่มีพจน์จริงและให้ $f:ℝ\to ℝ$ เป็นฟังก์ชันจริงใด ๆ ที่ $f(1/n)=a_n$ สำหรับทุกจำนวนเต็มบวก n และอนุพันธ์อันดับสอง $f^{″}$ หาค่าได้ที่ $x=0$ แล้ว $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$ ลู่เข้าแบบสัมบูรณ์ถ้า $f(0)=f^{\prime }(0)=0$ และลู่ออกในกรณีอื่น

หมายเหตุ

• สำหรับอนุกรมเฉพาะแบบบางประเภทจะทดสอบการลู่เข้าที่เจาะจง เช่น สำหรับอนุกรมฟูเรียร์ จะมีการทดสอบดินี

ตัวอย่าง

พิจารณาอนุกรม  แม่แบบ:NumBlk <a href="./การทดสอบด้วยการควบแน่นโคชี" rel="mw:WikiLink" data-cx="{&quot;userAdded&quot;:true,&quot;adapted&quot;:true}" data-linkid="undefined">การทดสอบด้วยการควบแน่นโคชี</a>บอกว่า (i) ลู่เข้าแบบจำกัดถ้า  แม่แบบ:NumBlk เป็นลู่เข้าแบบจำกัด เนื่องจาก

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{2}^n{\left(\frac{1}{2^n}\right)}^{\alpha }=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{2}^{n-n\alpha }=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{2}^{(1-\alpha )n}$

(ii) เป็นอนุกรมเรขาคณิตที่มีอัตราส่วน $2^{(1-\alpha )}$ (ii) จะลู่เข้าแบบจำกัดถ้าอัตราส่วนน้อยกว่าหนึ่ง (กล่าวคือ แม่แบบ:ไม่ตัด ดังนั้น (i) จะลู่เข้าแบบจำกัดก็ต่อเมื่อ แม่แบบ:ไม่ตัด

การลู่เข้าของผลคูณ

แม้ว่าการทดสอบส่วนใหญ่จะเกี่ยวข้องกับการลู่เข้าของอนุกรมอนันต์ แต่ก็สามารถใช้แสดงการลู่เข้าหรือการลู่ออกจากกันของผลคูณอนันต์ ได้เช่นกันสามารถทำได้โดยใช้ทฤษฎีบทต่อไปนี้ ให้ ${\left\{a_n\right\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ เป็นลำดับของจำนวนบวก แล้วผลคูณอนันต์ $\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(1+a_n)$ จะลู่เข้าก็ต่อเมื่ออนุกรมนี้ $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$ ลู่เข้า ในทำนองเดียวกัน ถ้า $0<a_n<1$เป็นจริง แล้ว $\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(1-a_n)$ จะเข้าใกล้ลิมิตที่ไม่เป็นศูนย์ก็ต่อเมื่ออนุกรม $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$ ลู่เข้า

สามารถพิสูจน์ได้โดยการใช้ลอการิทึมของผลคูณและใช้การทดสอบด้วยการเปรียบเทียบโดยใช้ลิมิตต

ดูเพิ่มเติม

• กฎของโลปิตาล
• กฎการเลื่อน

อ่านเพิ่มเติม

• แม่แบบ:Cite book