อนุกรมฟูรีเย

แม่แบบ:ต้องการอ้างอิง อนุกรมฟูรีเย (แม่แบบ:Langx) เป็นอนุกรมที่แต่ละพจน์เป็นผลคูณระหว่างสัมประสิทธิ์และฟังก์ชันตรีโกณมิติ โดยทั่วไปอนุกรมฟูรีเยสามารถใช้เป็นอนุกรมแทนฟังก์ชันคาบได้

ประวัติ

ดูประวัติที่บทความหลัก การแปลงฟูรีเย

อนุกรมฟูรีเยตั้งชื่อตามโฌแซ็ฟ ฟูรีเย ผู้ริเริ่มใช้อนุกรมฟูรีเยเพื่อใช้แก้สมการความร้อนบนแผ่นโลหะ

นิยาม

พิจารณาฟังก์ชันจำนวนเชิงซ้อน f(x) ของตัวแปรซึ่งมีค่าเป็นจำนวนจริง ที่มีคาบ 2π และ สามารถหาค่าปริพันธ์ของกำลังสอง ในช่วง 0 ถึง 2π ได้ การกระจายฟังก์ชันในรูปของอนุกรมฟูรีเยจะหาได้จาก

อนุกรมฟูรีเย	สัมประสิทธิ์ของอนุกรมฟูรีเย
$f(x)=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{F}_n{e}^{inx}.$	$F_n=\frac{1}{2\pi }\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}f(x)e^{-inx}dx.$
จาก สูตรของออยเลอร์ (Euler's formula) $e^{inx}=\cos (nx)+i\sin (nx)$ เราสามารถเขียน f(x) อยู่ในรูปอนุกรมอนันต์ของ $\cos (nx)$ และ $\sin (nx)$
$f(x)=\frac{1}{2}{a}_0+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}[a_n\cos (nx)+b_n\sin (nx)]$	$a_n=\frac{1}{\pi }\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}f(x)\cos (nx)dx$ $b_n=\frac{1}{\pi }\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}f(x)\sin (nx)dx$
โดยที่ $F_n=(a_n-i{b}_n)/2$, $F_{-n}=F_n^{*}$ และ $F_0=a_0/2$

ตัวอย่าง

พิจารณาฟังก์ชัน $f(x)=x$ สำหรับค่า $x\in (-\pi ,\pi )$ และเป็นคาบในช่วงที่เหลือ ตามข้อสมมุติของอนุกรมฟูรีเย ดังรูป

สัมประสิทธิ์ของอนุกรมฟูรีเยสามารถคำนวณหาได้ดังต่อไปนี้ สังเกตว่า cos(nx) เป็นฟังก์ชันคู่ ในขณะที่ f เป็นฟังก์ชันคี่เช่นเดียวกับ sin(nx)

$a_0=\frac{1}{2\pi }\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}f(x)dx=\frac{1}{2\pi }\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}xdx=0,$

$a_n=\frac{1}{\pi }\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}f(x)\cos (nx)dx=\frac{1}{\pi }\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}x\cos (nx)dx=0,$

$b_n=\frac{1}{\pi }\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}f(x)\sin (nx)dx=\frac{1}{\pi }\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}x\sin (nx)dx$

$=\frac{2}{\pi }\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}x\sin (nx)dx=\frac{2}{\pi }({[-\frac{x\cos (nx)}{n}]}_0^{\pi }+{\left[\frac{\sin (nx)}{n^2}\right]}_0^{\pi })=(-1{)}^{n+1}\frac{2}{n}$

สังเกตว่า a₀ และ a_n มีค่าเท่ากับ 0 เนื่องจาก x และ x cos(nx) เป็นฟังก์ชันคี่ ดังนั้นอนุกรมฟูรีเยของ f(x) = x คือ:

$f(x)=x=a_0+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(a_n\cos (nx)+b_n\sin (nx))$

$=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^{n+1}\frac{2}{n}\sin (nx),\mathrm{\forall }x\in (-\pi ,\pi )$

สำหรับการประยุกต์ใช้งานอนุกรมฟูรีเย ดู ค่าของฟังก์ชันซีตาของรีมันน์ ที่ s = 2

ภาพเคลื่อนไหวแสดงกราฟต่อเนื่องห้าอันดับจากอนุกรมฟูรีเยที่เป็นคำตอบ

อ้างอิง

• แม่แบบ:Cite book