การทดสอบด้วยการเปรียบเทียบโดยตรง

{{#invoke:sidebar|collapsible | class = plainlist | titlestyle = padding-bottom:0.25em; | pretitle = บทความนี้เป็นส่วนหนึ่งของ | title = แคลคูลัส | image = $\int_{a}^{b} f^{'} (t) d t = f (b) - f (a)$ | listtitlestyle = text-align:center; | liststyle = border-top:1px solid #aaa;padding-top:0.15em;border-bottom:1px solid #aaa; | expanded = Series

| abovestyle = padding:0.15em 0.25em 0.3em;font-weight:normal; | above = ทฤษฎีบทมูลฐาน แม่แบบ:Startflatlist

แม่แบบ:Endflatlist แม่แบบ:Startflatlist

แม่แบบ:Endflatlist

| list2name = อนุพันธ์ | list2titlestyle = display:block;margin-top:0.65em; | list2title = แคลคูลัสเชิงอนุพันธ์ | list2 =

แม่แบบ:Sidebar

| list3name = ปริพันธ์ | list3title = แคลคูลัสเชิงปริพันธ์ | list3 =

แม่แบบ:Sidebar

| list4name = อนุกรม | list4title = อนุกรม | list4 =

แม่แบบ:Sidebar

| list5name = เวกเตอร์ | list5title = แคลคูลัสเวกเตอร์ | list5 =

แม่แบบ:Sidebar

| list6name = หลายตัวแปร | list6title = แคลคูลัสหลายตัวแปร | list6 =

แม่แบบ:Sidebar

| list7name = พิเศษ | list7title = พิเศษ | list7 = แม่แบบ:Startflatlist

แม่แบบ:Endflatlist

}}

ในคณิตศาสตร์ การทดสอบด้วยการเปรียบเทียบ ซึ่งบางครั้งเรียกว่า การทดสอบด้วยการเปรียบเทียบโดยตรง เพื่อแยกความแตกต่างจากการทดสอบที่คล้ายคลึงกัน (โดยเฉพาะการทดสอบด้วยการเปรียบเทียบโดยใช้ลิมิต) เป็นวิธีการอนุมานว่าอนุกรมอนันต์หรือปริพันธ์ไม่ตรงแบบ ลู่เข้าหรือลู่ออก ด้วยการเปรียบเทียบอนุกรมหรืออินทิกรัลนั้นกับอนุกรมหรืออินทิกรัลลู่เข้าที่ทราบ

สำหรับอนุกรม

ในแคลคูลัส การทดสอบด้วยการเปรียบเทียบสำหรับอนุกรมโดยทั่วไป ประกอบด้วยประพจน์สองประพจน์ เกี่ยวกับอนุกรมอนันต์ที่มีพจน์ที่ไม่เป็นลบ (ค่าจริง)

ถ้ามีอนุกรมอนันต์ $\sum b_{n}$ มาลู่เข้าและ $0 \leq a_{n} \leq b_{n}$ สำหรับทุก n ที่ใหญ่เพียงพอ (นั่นคือสำหรับทั้งหมด $n > N$ สำหรับค่าคงที่ N บางค่า อนุกรมอนันต์ $\sum a_{n}$ ลู่เข้าด้วย
ถ้ามีอนุกรมอนันต์ $\sum b_{n}$ ลู่ออกและ $0 \leq b_{n} \leq a_{n}$ สำหรับทุก n ที่ใหญ่เพียงพอ ดังนั้นอนุกรมอนันต์ $\sum a_{n}$ ก็ลู่ออกด้วย

ให้ทราบว่า อนุกรมที่มีพจน์ที่โตเร็วกว่ามักจะ ครอบงำ อนุกรมที่มีพจน์ที่โตช้ากว่า

นอกจากนี้ การทดสอบอาจระบุได้ในรูปของการลู่เข้าสัมบูรณ์ ซึ่งในกรณีนี้ การทดสอบยังใช้กับอนุกรมที่มีพจน์เชิงซ้อนได้ด้วย

ถ้าอนุกรมอนันต์ $\sum b_{n}$ ลู่เข้าสัมบูรณ์และ $| a_{n} | \leq | b_{n} |$ สำหรับทุก n ที่ใหญ่เพียงพอ ดังนั้นอนุกรมอนันต์ $\sum a_{n}$ ก็ลู่เข้าสัมบูรณ์เช่นกัน
ถ้ามีอนุกรมอนันต์ $\sum b_{n}$ ไม่ลู่เข้าสัมบูรณ์และ $| b_{n} | \leq | a_{n} |$ สำหรับทุก n ที่ใหญ่เพียงพอ ดังนั้นอนุกรมอนันต์ $\sum a_{n}$ ก็ไม่ลู่เข้าสัมบูรณ์

ให้ทราบว่า ในประพจน์สุดท้าย อนุกรม $\sum a_{n}$ ยังสามารถลู่เข้าแบบมีเงื่อนไขสำหรับอนุกรมค่าจริง อาจเกิดขึ้นได้ถ้า a_n ไม่เป็นค่าที่ไม่เป็นลบหมด

คู่ประพจน์ที่สองนั้นเทียบเท่ากับคู่ประพจน์แรกในกรณีของอนุกรมค่าจริงเนื่องจาก $\sum c_{n}$ ลู่เข้าสัมบูรณ์ก็ต่อเมื่อ $\sum | c_{n} |$ อนุกรมที่มีพจน์ไม่เป็นลบ ลู่เข้า

การพิสูจน์

บทพิสูจน์ประพจน์ทั้งหมดที่กล่าวไว้ข้างต้นมีความคล้ายคลึงกัน นี่เป็นบทพิสูจน์ของประพจน์ที่สาม

ให้ $\sum a_{n}$ และ $\sum b_{n}$ เป็นอนุกรมอนันต์ เมื่อ $\sum b_{n}$ ลู่เข้าสัมบูรณ์ (ดังนั้น $\sum | b_{n} |$ ลู่เข้า) และโดยไม่สูญเสียนัยทั่วไป ให้ว่า $| a_{n} | \leq | b_{n} |$ สำหรับทุกจำนวนเต็มบวก n พิจารณาผลรวมย่อย

S_{n} = | a_{1} | + | a_{2} | + \dots + | a_{n} |, T_{n} = | b_{1} | + | b_{2} | + \dots + | b_{n} | .

เนื่องจาก $\sum b_{n}$ ลู่เข้าสัมบูรณ์ $\lim_{n \to \infty} T_{n} = T$ สำหรับบางจำนวนจริง T สำหรับทุก n

0 \leq S_{n} = | a_{1} | + | a_{2} | + \dots + | a_{n} | \leq | a_{1} | + \dots + | a_{n} | + | b_{n + 1} | + \dots = S_{n} + (T - T_{n}) \leq T .

$S_{n}$ เป็นลำดับที่ไม่ลดลงและ $S_{n} + (T - T_{n})$ ไม่เพิ่ม ให้ $m, n > N$ แล้วทั้ง $S_{n}, S_{m}$ อยู่ในช่วง $[S_{N}, S_{N} + (T - T_{N})]$ ซึ่งยาว $T - T_{N}$ ลดเหลือศูนย์เมื่อ $N$ วิ่งไปอนันต์ แสดงให้เห็นว่า $(S_{n})_{n = 1, 2, \dots}$ เป็นลำดับโคชี และจะต้องลู่เข้าหาลิมิต ดังนั้น $\sum a_{n}$ ลู่เข้าสัมบูรณ์

สำหรับปริพันธ์

การทดสอบด้วยการเปรียบเทียบสำหรับปริพันธ์อาจเขียนได้ดังนี้ โดยถือว่าฟังก์ชันค่าจริงต่อเนื่อง f และ g บน $[a, b)$ ด้วย b ที่เป็น $+ \infty$ หรือจำนวนจริงอย่างใดอย่างหนึ่งซึ่ง f และ g แต่ละตัวมีเส้นกำกับแนวดิ่ง

ถ้าปริพันธ์ไม่ตรงแบบ $\int_{a}^{b} g (x) d x$ ลู่เข้าและ $0 \leq f (x) \leq g (x)$ สำหรับ $a \leq x < b$ แล้วปริพันธ์ไม่ตรงแบบ $\int_{a}^{b} f (x) d x$ ลู่เข้าด้วยและ $\int_{a}^{b} f (x) d x \leq \int_{a}^{b} g (x) d x .$
ถ้ามีปริพันธ์ไม่ตรงแบบ $\int_{a}^{b} g (x) d x$ ลู่ออกและ $0 \leq g (x) \leq f (x)$ สำหรับ $a \leq x < b$ แล้วปริพันธ์ไม่ตรงแบบ $\int_{a}^{b} f (x) d x$ ลู่ออกด้วย

การทดสอบด้วยการเปรียบเทียบโดยใช้อัตราส่วน

การทดสอบอื่นสำหรับการลู่เข้าของอนุกรมค่าจริง ซึ่งคล้ายกับการทดสอบด้วยการเปรียบเทียบโดยตรงข้างต้น และการทดสอบด้วยอัตราส่วน เรียกว่าการทดสอบด้วยการเปรียบเทียบโดยใช้อัตราส่วน

มีอนุกรมอนันต์ $\sum b_{n}$ ลู่เข้าและ $a_{n} > 0$ $b_{n} > 0$ และ $\frac{a_{n + 1}}{a_{n}} \leq \frac{b_{n + 1}}{b_{n}}$ สำหรับทุก n ที่ใหญ่เพียงพอ แล้วอนุกรมอนันต์ $\sum a_{n}$ ลู่เข้าด้วย
ถ้ามีอนุกรมอนันต์ $\sum b_{n}$ ลู่ออกและ $a_{n} > 0$ $b_{n} > 0$ และ $\frac{a_{n + 1}}{a_{n}} \geq \frac{b_{n + 1}}{b_{n}}$ สำหรับทุก n ที่ใหญ่เพียงพอ แล้วอนุกรมอนันต์ $\sum a_{n}$ ลู่ออกด้วย

ดูเพิ่มเติม

แม่แบบ:สถานีย่อย

หมายเหตุ

อ้างอิง

แม่แบบ:หัวข้อแคลคูลัส

การทดสอบด้วยการเปรียบเทียบโดยตรง

เนื้อหา

สำหรับอนุกรม

การพิสูจน์

สำหรับปริพันธ์

การทดสอบด้วยการเปรียบเทียบโดยใช้อัตราส่วน

ดูเพิ่มเติม

หมายเหตุ

อ้างอิง

รายการนำทางไซต์

การทดสอบด้วยการเปรียบเทียบโดยตรง

สำหรับอนุกรม

การพิสูจน์

สำหรับปริพันธ์

การทดสอบด้วยการเปรียบเทียบโดยใช้อัตราส่วน

ดูเพิ่มเติม

หมายเหตุ

อ้างอิง

รายการนำทางไซต์

ค้นหา