ผลคูณอนันต์

ในคณิตศาสตร์ ผลคูณอนันต์ (แม่แบบ:Langx) ของลำดับ a₁, a₂, a₃, ... ซึ่งเขียนแทนด้วย

$\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n=a_1{a}_2{a}_3...$

นิยามเป็นลิมิตของผลคูณย่อย a₁a₂...a_n เมื่อ n เพิ่มขึ้นโดยไม่มีขีดจำกัด ผลคูณนี้เรียกว่า ลู่เข้า เมื่อลิมิตนี้มีอยู่และไม่เป็นศูนย์ มิฉะนั้นจะกล่าวว่าผลคูณนี้ลู่ออก โดยปกติแล้ว กรณีที่ลิมิตเป็นศูนย์ถูกพิจารณาเป็นพิเศษ เพื่อให้ได้ผลลัพธ์ที่เทียบเคียงได้กับอนุกรมอนันต์ มีแหล่งข้อมูลบางแหล่งที่อนุญาตให้ผลคูณลู่เข้าเป็น 0 หากมีตัวประกอบในลำดับเพียงจำนวนจำกัดที่เป็นศูนย์และผลคูณของส่วนที่ไม่เป็นศูนย์นั้นไม่ใช่ศูนย์ แต่สำหรับความเรียบง่าย ในบทความนี้จะไม่นับกรณีแบบนี้ หากผลคูณลู่เข้า ลิมิตของลำดับ a_n เมื่อ n เพิ่มขึ้นโดยไม่มีขีดจำกัดจะต้องเป็น 1 เสมอ แต่บทกลับของทฤษฎีบทนี้ไม่จำเป็นต้องเป็นจริง

ตัวอย่างที่รู้จักกันดีที่สุดของผลคูณอนันต์ เช่นสูตรสำหรับค่า π เช่น ผลคูณต่อไปนี้ เป็นของ Viète (ซึ่งเป็นผลคูณอนันต์ที่ค้นพบเป็นอันแรกในวิชาคณิตศาสตร์) และของ Wallis ตามลำดับ:

$\frac{2}{\pi }=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}\cdot \frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}{2}...$

$\frac{\pi }{2}=\frac{2}{1}\cdot \frac{2}{3}\cdot \frac{4}{3}\cdot \frac{4}{5}\cdot \frac{6}{5}\cdot \frac{6}{7}...=\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\left(\frac{4n^2}{4n^2-1}\right)$

เกณฑ์ในการลู่เข้า

ผลคูณของจำนวนจริงบวก

$\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$

จะลู่เข้าสู่จำนวนจริงที่ไม่เป็นศูนย์ก็ต่อเมื่ออนุกรม

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\log (a_n)$

ลู่เข้าเช่นเดียวกัน ทฤษฎีบทนี้ช่วยให้สามารถแปลงเกณฑ์ในการลู่เข้าสำหรับอนุกรมอนันต์เป็นเกณฑ์การลู่เข้าสำหรับผลคูณอนันต์ได้ เกณฑ์เดียวกันอาจนำไปใช้กับผลคูณของจำนวนเชิงซ้อน (รวมถึงจำนวนจริงลบ) โดยการใช้กิ่ง (branch) ของฟังก์ชันลอการิทึมซึ่งเป็นไปตามข้อบังคับว่า ln(1) = 0 โดยมีเงื่อนไขว่าผลคูณลู่ออกหากมี a_n เป็นจำนวนอนันต์ที่ตกอยู่นอกเหนือโดเมนของ ln แต่หากมีเพียงจำนวนจำกัดสามารถข้ามได้

สำหรับผลคูณของจำนวนจริงที่แต่ละ $a_n\ge 1$ หรือเขียนเป็น $a_n=1+p_n,p_n\ge 0$ จะได้อสมการ

$1+\sum _{n=1}^N{p}_n\le \prod _{n=1}^N(1+p_n)\le \exp \left(\sum _{n=1}^N{p}_n\right)$

ซึ่งแสดงว่าผลคูณจะลู่เข้าถ้าอนุกรมอนันต์ของ p_n ลู่เข้า ทฤษฎีบทนี้ต้องอาศัย ทฤษฎีบทการลู่เข้าทางเดียว (Monotone convergence theorem) สำหรับบทกลับสามารถเห็นได้จากการสังเกตว่า ถ้า $p_n\to 0$ แล้ว

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{\log (1+p_n)}{p_n}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\log (1+x)}{x}=1$

ดังนั้นโดยการทดสอบโดยการเปรียบเทียบลิมิต (limit comparison test) จะได้ว่าอนุกรมทั้งสองคือ

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\log (1+p_n)$ และ $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{p}_n$

เทียบเท่ากัน นั่นคือทั้งสองจะลู่เข้าทั้งคู่หรือลู่ออกทั้งคู่เสมอ

บทพิสูจน์เดียวกันยังแสดงให้เห็นว่า หาก $a_n=1-q_n,0\le q_n<1$ แล้ว $\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(1-q_n)$ ลู่เข้าหาจำนวนที่ไม่เป็นศูนย์ก็ต่อเมื่ออนุกรม $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{q}_n$ ลู่เข้า

หากอนุกรม $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\log (a_n)$ ลู่ออกไปสู่ $-\mathrm{\infty }$ แล้วลำดับของผลคูณย่อยของ a_n จะลู่เข้าหาศูนย์ แต่ผลคูณอนันต์นั้นจะเรียกว่า ลู่ออกไปสู่ศูนย์

สำหรับ $p_n$ ที่ไม่บังคับเครื่องหมาย การลู่เข้าของ $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{p}_n$ ไม่เพียงพอต่อการสรุปว่าผลคูณ $\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(1+p_n)$ ลู่เข้าหรือไม่ แต่หาก $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}|p_n|$ ลู่เข้า แล้วจะบอกได้ว่าการลู่ของอนุกรม (ที่ไม่มีค่าสัมบูรณ์) กับผลคูณจะเป็นแบบเดียวกัน คือลู่เข้าทั้งคู่หรือลู่ออกทั้งคู่ และหาก $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}|p_n{|}^2$ ลู่เข้าก็จะบอกได้เช่นเดียวกัน

รูปผลคูณของฟังก์ชัน

ผลลัพธ์ที่สำคัญอย่างหนึ่งที่เกี่ยวข้องกับการศึกษาผลคูณอนันต์ คือฟังก์ชันทั่ว (entire function) f(z) ทุกฟังก์ชัน (นั่นคือ ทุกฟังก์ชันที่เป็นโฮโลมอร์ฟิกในระนาบเชิงซ้อน) สามารถแยกตัวประกอบเป็นผลคูณอนันต์ของฟังก์ชันทั่วที่แต่ละตัวมีรากอย่างมากที่สุดหนึ่งค่า โดยทั่วไปถ้า f มีรากอันดับ m ที่จุดกำเนิดและมีรากเชิงซ้อนอื่น ๆ ที่ u₁, u₂, u₃, ... (แต่ละค่าไล่ซ้ำจำนวนครั้งเท่ากับอันดับของราก) แล้ว

$f(z)=z^m{e}^{\varphi (z)}\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(1-\frac{z}{u_n})\exp \{\frac{z}{u_n}+\frac{1}{2}{\left(\frac{z}{u_n}\right)}^2+...+\frac{1}{{\lambda }_n}{\left(\frac{z}{u_n}\right)}^{{\lambda }_n}\}$

เมื่อ λ_n เป็นจำนวนเต็มไม่ลบที่สามารถเลือกเพื่อให้ผลคูณลู่เข้า และ φ(z) เป็นฟังก์ชั่นทั่วบางฟังก์ชัน (ซึ่งแปลว่าพจน์หน้าผลคูณจะไม่มีรากในระนาบเชิงซ้อน) การแยกตัวประกอบข้างต้นทำได้หลายแบบ เนื่องจากขึ้นอยู่กับการเลือกค่าสำหรับ λ_n อย่างไรก็ตามสำหรับฟังก์ชั่นส่วนใหญ่จะมีจำนวนเต็มไม่ลบต่ำสุด p ที่เมื่อ λ_n = p แล้วผลคูณลู่เข้า เราเรียกผลคูณนี้ว่า รูปผลคูณบัญญัติ (canonical product representation) p นี้เรียกว่า อันดับ (rank) ของผลคูณบัญญัตินั้น ในกรณีที่ p = 0 จะได้เป็น

$f(z)=z^m{e}^{\varphi (z)}\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(1-\frac{z}{u_n})$

ซึ่งถือได้ว่าเป็นนัยทั่วไปของทฤษฎีบทมูลฐานของพีชคณิต โดยในกรณีพหุนาม ผลคูณมีพจน์จำกัด และ φ (z) เป็นค่าคงที่

นอกเหนือจากตัวอย่างเหล่านี้ รูปผลคูณของฟังก์ชันต่าง ๆ เช่น:

ขั้วอย่างง่าย (simple pole)	$\frac{c}{c-z}=\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{e}^{\frac{1}{n}{\left(\frac{z}{c}\right)}^n}$
	$\frac{1}{1-z}=\prod _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(1+z^{2^n})$
ฟังก์ชัน sinc	$\text{sinc}(\pi z)=\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(1-\frac{z^2}{n^2})$	มาจากออยเลอร์ มีสูตรค่าพายของ Wallis เป็นกรณีพิเศษ
ฟังก์ชันแกมมาส่วนกลับ	$\frac{1}{\mathrm{\Gamma }(z)}=z{e}^{\gamma z}\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(1+\frac{z}{n})e^{-\frac{z}{n}}=z\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1+\frac{z}{n}}{{(1+\frac{1}{n})}^z}$
ฟังก์ชันซิกมาของไวเออร์ชตราส	$\sigma (z)=z\prod _{\omega \in {\mathrm{\Lambda }}_{*}}(1-\frac{z}{\omega })e^{\frac{z^2}{2{\omega }^2}+\frac{z}{\omega }}$	${\mathrm{\Lambda }}_{*}$ หมายถึง แลตทิซที่ไม่มีจุดกำเนิด
เครื่องหมาย q-Pochhammer	$(z;q{)}_{\mathrm{\infty }}=\prod _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(1-z{q}^n)$	ใช้ใน q-analog theory มีฟังก์ชันออยเลอร์เป็นกรณีพิเศษ
ฟังก์ชันทีตาของรามานุจัน	$\begin{array}{cc}f(a,b)& =\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{a}^{\frac{n(n+1)}{2}}{b}^{\frac{n(n-1)}{2}}\\ & =\prod _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(1+a^{n+1}{b}^n)(1+a^n{b}^{n+1})(1-a^{n+1}{b}^{n+1})\end{array}$	แสดงผลคูณสามชั้นของจาโคบี ใช้ในการเขียนฟังก์ชันทีตาของจาโคบี
ฟังก์ชันซีตาของรีมันน์	$\zeta (z)=\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{1-p_n^{-z}}$	pn หมายถึง ลำดับของจำนวนเฉพาะ เป็นกรณีพิเศษของผลคูณออยเลอร์

โดยลำดับสุดท้ายไม่ใช่รูปผลคูณแบบที่กล่าวถึงข้างต้นเนื่องจาก ζ ไม่ใช่ฟังก์ชันทั่ว โดยรูปผลคูณนี้ ζ (z) ลู่เข้าเฉพาะเมื่อในขอบเขต Re (z) > 1 ซึ่งเป็นฟังก์ชันวิเคราะห์ โดยเทคนิคการต่อเนื่องวิเคราะห์ (analytic continuation) ฟังก์ชันนี้สามารถขยายไปเป็นฟังก์ชันการวิเคราะห์ที่เป็นเอกลักษณ์ (ซึ่งยังเรียกว่า ζ (z)) บนระนาบเชิงซ้อนทั้งหมดยกเว้นที่จุด z = 1 ซึ่งมีขั้วอย่างง่าย

ดูเพิ่ม

• อนุกรมอนันต์
• เศษส่วนต่อเนื่อง
• การดำเนินการทวิภาควนซ้ำ