พาย (ค่าคงตัว)

สัญลักษณ์ของพาย

พาย หรือ ไพ (อักษรกรีก: แม่แบบ:Pi ภาษาอังกฤษ: pi)เป็นค่าคงตัวทางคณิตศาสตร์ ที่เกิดจากความยาวเส้นรอบวงหารด้วยเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลม ค่า π มักใช้ในคณิตศาสตร์, ฟิสิกส์ และวิศวกรรม π เป็นอักษรกรีกที่ตรงกับตัว "p" ในอักษรละติน มีชื่อว่า "pi" (อ่านว่า พาย ในภาษาอังกฤษ แต่อ่านว่า พี ในภาษากรีก) บางครั้งเรียกว่า ค่าคงตัวของอาร์คิมิดีส (Archimedes' Constant) หรือจำนวนของลูดอล์ฟ (Ludolphine number หรือ Ludolph's Constant)

ในเรขาคณิตแบบยุคลิด π มีนิยามว่าเป็นอัตราส่วนของเส้นรอบวงหารด้วยเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลม หรือเป็นอัตราส่วนของพื้นที่วงกลม หารด้วย รัศมียกกำลังสอง ในคณิตศาสตร์ชั้นสูงจะนิยาม π โดยใช้ฟังก์ชันตรีโกณมิติ เช่น π คือจำนวนบวก x ที่น้อยสุดที่ทำให้ sin (x) = 0

การเกิดค่าพาย

ค่า π โดยประมาณ 125 ตำแหน่งคือ

แม่แบบ:Gaps แม่แบบ:OEIS

ส่วนมากจะใช้ค่าประมาณ คือ 3.14159...

แม้ว่าค่านี้มีความละเอียดพอที่จะใช้ในงานวิศวกรรมหรือวิทยาศาสตร์แล้ว ปัจจุบันมีการคำนวณค่า π ได้หลายตำแหน่ง ซึ่งหาได้ทั่วไปจากอินเทอร์เน็ต คอมพิวเตอร์ส่วนบุคคลโดยทั่วไปสามารถคำนวณค่า π ได้พันล้านหลัก ขณะที่ซูเปอร์คอมพิวเตอร์คำนวณค่า π ได้เกินล้านล้านหลัก และไม่พบว่ามีรูปแบบที่ซ้ำกันของค่า π ปรากฏอยู่

สูตรที่เกี่ยวข้องกับ π

สามารถคำนวณไพได้จาก เซตม็องแดลโบรต, โดยการคำนวณจำนวน iterations required before point แม่แบบ:Nowrap diverges.

เรขาคณิต

π มักปรากฏในสูตรที่เกี่ยวกับวงกลมและทรงกลม

รูปร่างทางเรขาคณิต	สูตร
เส้นรอบวงของวงกลมที่มีรัศมี r และเส้นผ่านศูนย์กลาง d	$C=\pi d=2\pi r$
พื้นที่ของวงกลมที่มีรัศมี r	$A=\pi r^2$
พื้นที่ของวงรีที่มีแกนเอก a และแกนโท b	$A=\pi ab$
ปริมาตรของทรงกลมที่มีรัศมี r และเส้นผ่านศูนย์กลาง d	$V=\frac{4}{3}\pi r^3=\frac{1}{6}\pi d^3$
พื้นที่ผิวของทรงกลมที่มีรัศมี r	$A=4\pi r^2$
ปริมาตรของทรงกระบอกที่สูง h และรัศมี r	$V=\pi r^{2}h$
พื้นที่ผิวของทรงกระบอกที่สูง h และรัศมี r	$A=2(\pi r^2)+(2\pi r)h=2\pi r(r+h)$
ปริมาตรของกรวยที่สูง h และรัศมี r	$V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h$
พื้นที่ผิวของกรวยที่สูง h และรัศมี r	$A=\pi r\sqrt{r^2+h^2}+\pi r^2=\pi r(r+\sqrt{r^2+h^2})$

การวิเคราะห์

• François Viète, 1593:

$\frac{2}{\pi }=\frac{\sqrt{2}}{2}\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}\frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}{2}\dots$

• สูตรของไลบ์นิซ:

$\frac{1}{1}-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\cdots =\frac{\pi }{4}$

หรือเขียนอีกแบบได้เป็น:

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{2n+1}=\frac{\pi }{4}$

• ผลคูณของ Wallis:

$\frac{2}{1}\cdot \frac{2}{3}\cdot \frac{4}{3}\cdot \frac{4}{5}\cdot \frac{6}{5}\cdot \frac{6}{7}\cdot \frac{8}{7}\cdot \frac{8}{9}\cdots =\frac{\pi }{2}$

$\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(2n{)}^2}{(2n{)}^2-1}=\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{2n}{2n-1}\cdot \frac{2n}{2n+1}=\frac{\pi }{2}$

• สูตรปริพันธ์จากแคลคูลัส:

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-x^2}dx=\sqrt{\pi }$

• ปัญหาของBasel, ถูกแก้เป็นครั้งแรกโดย ออยเลอร์ (ดูเพิ่มเติม ฟังก์ชันซีตาของรีมันน์):

$\zeta (2)=\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+\cdots =\frac{{\pi }^2}{6}$

$\zeta (4)=\frac{1}{1^4}+\frac{1}{2^4}+\frac{1}{3^4}+\frac{1}{4^4}+\cdots =\frac{{\pi }^4}{90}$

• ฟังก์ชันแกมมา เมื่อหาค่า 1/2:

$\mathrm{\Gamma }\left(\frac{1}{2}\right)=\sqrt{\pi }$

• สูตรของสเตอร์ลิง:

$n!\sim \sqrt{2\pi n}{\left(\frac{n}{e}\right)}^n$

• เอกลักษณ์ของออยเลอร์ (เรียกโดย ริชาร์ด ไฟน์แมน):

$e^{i\pi }+1=0$

เศษส่วนต่อเนื่อง

π เขียนในรูปเศษส่วนต่อเนื่องได้หลายแบบ เช่น

$\frac{4}{\pi }=1+\frac{1}{3+\frac{4}{5+\frac{9}{7+\frac{16}{9+\frac{25}{11+\frac{36}{13+...}}}}}}$

ทฤษฎีจำนวน

• ความน่าจะเป็นในการสุ่มจำนวนเต็มขึ้นมา 2 จำนวน แล้วเป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กัน เท่ากับ 6/π² ...

ฟิสิกส์

• หลักการความไม่แน่นอนของไฮเซนเบิร์ก:

$\mathrm{\Delta }x\mathrm{\Delta }p\ge \frac{h}{4\pi }$

• สมการสนามของไอน์สไตน์ ในทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไป:

$R_{ik}-\frac{g_{ik}R}{2}+\mathrm{\Lambda }{g}_{ik}=\frac{8\pi G}{c^4}{T}_{ik}$

• กฎของคูลอมบ์ สำหรับแรงไฟฟ้า:

$F=\frac{\left|q_1{q}_2\right|}{4\pi {ϵ}_0{r}^2}$

สูตรที่นอกเหนือจากคณิตศาสตร์

การอธิบายปรากฏการณ์ทางกายภาพ

แม้ว่า แม่แบบ:Pi จะไม่เป็นค่าคงตัวทางฟิสิกส์ แต่ก็มีปรากฏในสมการที่ใช้อธิบายเกี่ยวกับหลักการพื้นฐานของจักรวาลอยู่บ่อยครั้ง เนื่องจากความสัมพันธ์ของ แม่แบบ:Pi กับวงกลม และระบบพิกัดทรงกลม จากสูตรง่าย ๆ จากกลศาสตร์ดั้งเดิม เช่น ให้ระยะเวลาโดยประมาณเป็น แม่แบบ:Math ของลูกตุ้มที่มีความยาว แม่แบบ:Math แกว่งด้วยแอมพลิจูดขนาดเล็ก (แม่แบบ:Math คือ ความเร่งโน้มถ่วงของโลก)

$T\approx 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}$

หนึ่งในสูตรสำคัญของกลศาสตร์ควอนตัมคือหลักความไม่แน่นอนของไฮเซนแบร์ก ซึ่งแสดงให้เห็นความไม่แน่นอนในการวัดตำแหน่งของอนุภาค (Δแม่แบบ:Math) และโมเมนตัม (Δแม่แบบ:Math) ซึ่งไม่สามารถมีขนาดเล็กโดยปราศจากเหตุผลในเวลาเดียวกันได้ (เมื่อ แม่แบบ:Math เป็นค่าคงตัวของพลังค์)

$\mathrm{\Delta }x\mathrm{\Delta }p\ge \frac{h}{4\pi }$

ความจริงที่ว่า แม่แบบ:Pi มีค่าประมาณเท่ากับ 3 นั้น มีบทบาทในอายุการใช้งานที่ยาวนานของออร์โธโพสิโทรเนียม ซึ่งอายุการใช้งานนั้นจะผกผันไปสู่ลำดับต่ำสุดในค่าคงที่โครงสร้างละเอียด แม่แบบ:Math คือ

$\frac{1}{\tau }=2\frac{{\pi }^2-9}{9\pi }m{\alpha }^6,$

เมื่อ แม่แบบ:Math คือมวลของอิเล็กตรอน

ดูเพิ่ม

• แคลคูลัส
• เรขาคณิต
• ฟังก์ชันตรีโกณมิติ