เส้นรอบวง

ดิสก์ ประกอบด้วย แม่แบบ:Legend-line แม่แบบ:Legend-line แม่แบบ:Legend-line แม่แบบ:Legend-line

ในวิชาเรขาคณิต เส้นรอบวง (แม่แบบ:Langx) เป็นเส้นรอบรูปของวงกลม หรือ วงรี นั่นคือ เส้นรอบวงจะเป็นความยาวส่วนโค้งของวงกลมราวกับว่ามันถูกเปิดออก และยืดออกเป็นส่วนของเส้นตรง

รูปวงกลม

เส้นรอบวง c ของรูปวงกลม สามารถคำนวณได้จากเส้นผ่านศูนย์กลาง d โดยใช้สูตรต่อไปนี้

$c=\pi d$

หรือคำนวณจากรัศมี r ของรูปวงกลม

$c=2\pi r$

เมื่อ π คืออัตราส่วนระหว่างเส้นรอบวงกับเส้นผ่านศูนย์กลาง ซึ่งมีค่าประมาณ 3.142857142857143

สูตรการหาความยาวของเส้นรอบวง สามารถสร้างขึ้นโดยใช้ความรู้ทางแคลคูลัสเชิงปริพันธ์ และไม่ใช้การอ้างถึงค่า π ดังที่จะแสดงต่อไปนี้

ครึ่งหนึ่งด้านบนของรูปวงกลมที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดกำเนิด คือกราฟของฟังก์ชัน

$f(x)=\sqrt{r^2-x^2}$

ซึ่ง x สามารถมีค่าได้ตั้งแต่ −r ถึง +r เส้นรอบวงของรูปวงกลมทั้งหมดจึงสามารถแทนได้ด้วยผลรวมสองเท่าของความยาวของส่วนโค้งเล็กๆ ที่ประกอบกันเป็นครึ่งวงกลม ความยาวของส่วนโค้งเล็กๆ นั้นสามารถคำนวณได้โดยใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัส รูปสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีด้านประกอบมุมฉากเป็น $dx$ และ $f^{\prime }(x)dx$ เราจะได้ความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉากเป็น

$\sqrt{(dx{)}^2+(f^{\prime }(x)dx{)}^2}=\left(\sqrt{1+f^{\prime }(x{)}^2}\right)dx$

ดังนั้น ความยาวของเส้นรอบวงจึงคำนวณได้จาก

$\begin{array}{cc}c& =2\underset{-r}{\overset{r}{\int }}\sqrt{1+f^{\prime }(x{)}^2}dx=2\underset{-r}{\overset{r}{\int }}\sqrt{1+\frac{x^2}{r^2-x^2}}dx=2\underset{-r}{\overset{r}{\int }}\sqrt{\frac{1}{1-{\frac{x}{r}}^2}}dx=2r\underset{-1}{\overset{1}{\int }}\sqrt{\frac{1}{1-x^2}}dx\\ & =2r[\arcsin (1)-\arcsin (-1)]=2r(\frac{\pi }{2}-(-\frac{\pi }{2}))=2\pi r\end{array}$

รูปวงรี

การคำนวณเส้นรอบวงของวงรี ซับซ้อนกว่าวงกลม และเป็นอนุกรมอนันต์ (infinite series) อาจประมาณได้จากสูตรของ รามานุจัน (นักคณิตศาสตร์ชาวอินเดีย)

$c\approx \pi (3(a+b)-\sqrt{(3a+b)(a+3b)})$

เมื่อ $a$ และ $b$ คือ กึ่งแกนเอกและกึ่งแกนโท ตามลำดับ สองค่านี้มีความสัมพันธ์กันกับความเยื้องศูนย์กลางของวงรี ดังต่อไปนี้

$b=a\sqrt{1-e^2}$

ซึ่งแสดงว่าสามารถเขียนสูตรคำนวณเส้นรอบวงของวงรีได้ดังนี้

$c\approx \pi a(3(1+\sqrt{1-e^2})-\sqrt{(3+\sqrt{1-e^2})(1+3\sqrt{1-e^2})})=\pi a(3(1+\sqrt{1-e^2})-\sqrt{3(2-e^2)+10\sqrt{1-e^2}})$

แหล่งข้อมูลอื่น

• Numericana - Circumference of an ellipse