แฟกทอเรียล

ตัวอย่างแฟกทอเรียล; ค่าในสัญกรณ์วิทยาศาสตร์ทำการย่อไว้

$n$	$n!$
0	1
1	1
2	2
3	6
4	24
5	120
6	720
7	แม่แบบ:Val
8	แม่แบบ:Val
9	แม่แบบ:Val
10	แม่แบบ:Val
11	แม่แบบ:Val
12	แม่แบบ:Val
13	แม่แบบ:Val
14	แม่แบบ:Val
15	แม่แบบ:Val
16	แม่แบบ:Val
17	แม่แบบ:Val
18	แม่แบบ:Val
19	แม่แบบ:Val
20	แม่แบบ:Val
25	แม่แบบ:Val
50	แม่แบบ:Val
70	แม่แบบ:Val
100	แม่แบบ:Val
450	แม่แบบ:Val
แม่แบบ:Val	แม่แบบ:Val
แม่แบบ:Val	แม่แบบ:Val
แม่แบบ:Val	แม่แบบ:Val
แม่แบบ:Val	แม่แบบ:Val
แม่แบบ:Val	แม่แบบ:Val
แม่แบบ:Val	แม่แบบ:Val
แม่แบบ:Val	แม่แบบ:Val
[[googol|แม่แบบ:Val]]	10แม่แบบ:Val

ในทางคณิตศาสตร์ แฟกทอเรียล (แม่แบบ:Langx) ของจำนวนเต็มไม่เป็นลบ n คือผลคูณของจำนวนเต็มบวกทั้งหมดที่น้อยกว่าหรือเท่ากับ n เขียนแทนด้วย n! (อ่านว่า n แฟกทอเรียล)

$n!=n\cdot (n-1)\cdot (n-2)\cdot (n-3)\cdot \cdots \cdot 3\cdot 2\cdot 1.$

ตัวอย่างเช่น

$5!=5\times 4\times 3\times 2\times 1=120$

สำหรับค่าของ 0! ถูกกำหนดให้เท่ากับ 1 ตามหลักการของผลคูณว่าง

การดำเนินการแฟกทอเรียลพบได้ในคณิตศาสตร์สาขาต่าง ๆ โดยเฉพาะอย่างยิ่งคณิตศาสตร์เชิงการจัด พีชคณิต และคณิตวิเคราะห์ การพบเห็นโดยพื้นฐานที่สุดคือข้อเท็จจริงที่ว่า การจัดลำดับวัตถุที่แตกต่างกัน n สิ่งสามารถทำได้ n! วิธี (การเรียงสับเปลี่ยนของเซตของวัตถุ) ข้อเท็จจริงนี้เป็นที่ทราบโดยนักวิชาการชาวอินเดียตั้งแต่ต้นคริสต์ศตวรรษที่ 12 เป็นอย่างน้อย นอกจากนี้ คริสเตียน แครมป์ (Christian Kramp) เป็นผู้แนะนำให้ใช้สัญกรณ์ n! เมื่อ ค.ศ. 1808 (พ.ศ. 2351)

นิยามของแฟกทอเรียลสามารถขยายแนวคิดไปบนอาร์กิวเมนต์ที่ไม่เป็นจำนวนเต็มได้โดยยังคงมีสมบัติที่สำคัญ ซึ่งเกี่ยวข้องกับคณิตศาสตร์ชั้นสูงยิ่งขึ้น โดยเฉพาะอย่างยิ่งเทคนิคต่าง ๆ ที่ใช้ในคณิตวิเคราะห์

นิยาม

ฟังก์ชันแฟกทอเรียลได้นิยามเชิงรูปนัยไว้ดังนี้

$n!=\prod _{k=1}^{n}k$

หรือนิยามแบบเวียนเกิดได้ดังนี้

$n!=\{\begin{array}{cc}1& \text{if }n=0\\ (n-1)!\times n& \text{if }n>0\end{array}$

นิยามด้านบนทั้งสองได้รวมกรณีนี้เข้าไปด้วย

$0!=1$

ตามหลักการว่าผลคูณของจำนวนที่ไม่มีอยู่เลย (ผลคูณว่าง) มีค่าเท่ากับ 1 สิ่งนี้เป็นประโยชน์เนื่องจาก

• การเรียงสับเปลี่ยนของวัตถุศูนย์สิ่ง มีเพียงหนึ่งวิธีเท่านั้น (ไม่มีสิ่งใดเรียงสับเปลี่ยน "ทุกสิ่ง" ยังคงอยู่ที่เดิม)
• ความสัมพันธ์เวียนเกิด แม่แบบ:Nowrap ซึ่งสามารถใช้ได้เฉพาะ n > 0 จะทำให้ใช้กับกรณี n = 0 ได้ด้วย
• นิพจน์ของสูตรต่าง ๆ ที่มีแฟกทอเรียลสามารถใช้งานได้ อย่างเช่นฟังก์ชันเลขชี้กำลังในรูปแบบอนุกรมกำลัง

  $e^x=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^n}{n!}$

• เอกลักษณ์ต่าง ๆ ในคณิตศาสตร์เชิงการจัดสามารถใช้งานได้ สำหรับขนาดของวัตถุที่ประยุกต์ใช้ได้ทั้งหมด จำนวนวิธีที่จะเลือกสมาชิก 0 ตัวจากเซตว่างเท่ากับ $(\genfrac{}{}{0ex}{}{0}{0})=\frac{0!}{0!0!}=1$ หรือโดยนัยทั่วไป จำนวนวิธีที่จะเลือกสมาชิก (ทั้งหมด) n ตัวจากเซตที่มีขนาด n เท่ากับ $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{n})=\frac{n!}{n!0!}=1$

ฟังก์ชันแฟกทอเรียลสามารถนิยามให้กับค่าที่ไม่เป็นจำนวนเต็มได้โดยใช้คณิตศาสตร์ขั้นสูง ดูรายละเอียดด้านล่าง ซึ่งนิยามโดยนัยทั่วไปมากขึ้นเช่นนี้มีใช้ในเครื่องคิดเลขระดับสูงและซอฟต์แวร์คณิตศาสตร์อาทิเมเพิลหรือแมเทอแมติกา

การประยุกต์

แม้ว่าฟังก์ชันแฟกทอเรียลมีที่มาจากคณิตศาสตร์เชิงการจัด แต่สูตรที่เกี่ยวข้องกับแฟกทอเรียลก็ปรากฏในคณิตศาสตร์หลายสาขา

• การเรียงสับเปลี่ยน (permutation) โดยพื้นฐานคือการเรียงลำดับวัตถุ n สิ่งที่แตกต่างกัน ซึ่งสามารถทำได้ n! วิธี
• บ่อยครั้งที่แฟกทอเรียลปรากฏเป็นตัวส่วนในสูตรเพื่ออธิบายว่า การเรียงลำดับของวัตถุไม่มีความสำคัญและถูกเพิกเฉย ตัวอย่างตามแบบฉบับเช่น การจัดหมู่ (combination) วัตถุ k สิ่งจากเซตของวัตถุ n สิ่ง เราอาจจัดหมู่โดยการเรียงสับเปลี่ยนวัตถุ k สิ่ง หมายความว่าเลือกวัตถุสิ่งหนึ่งออกจากเซตทีละครั้งเป็นจำนวน k ครั้ง กระทั่งได้จำนวนวิธีรวมเท่ากับ

$n^{\underset{\_}{k}}=n(n-1)(n-2)\cdots (n-k+1)$

อย่างไรก็ตาม การเรียงลำดับของวัตถุที่ถูกเลือกในการจัดหมู่ไม่มีความสำคัญ และเนื่องจากการเรียงลำดับวัตถุ k สิ่งสามารถกระทำได้แตกต่างกัน k! วิธี เพราะฉะนั้นจำนวนวิธีของการจัดหมู่วัตถุ k สิ่งจากเซตของวัตถุ n สิ่งที่ถูกต้องจึงควรเท่ากับ

$\frac{n^{\underset{\_}{k}}}{k!}=\frac{n(n-1)(n-2)\cdots (n-k+1)}{k(k-1)(k-2)\cdots 1}$

ผลลัพธ์ดังกล่าวเป็นที่รู้จักในชื่อสัมประสิทธิ์ทวินาม $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})$ เพราะว่ามันเป็นสัมประสิทธิ์ของพจน์ X^k ในการกระจาย แม่แบบ:Nowrap

• แฟกทอเรียลปรากฏในพีชคณิตด้วยเหตุผลหลายประการ ตัวอย่างเช่นสัมประสิทธิ์ของสูตรทวินามดังที่กล่าวแล้ว หรือการเฉลี่ยบนการเรียงสับเปลี่ยนเพื่อการทำให้สมมาตร (symmetrization) ของการดำเนินการเฉพาะอย่าง
• แฟกทอเรียลก็มีใช้ในแคลคูลัส ตัวอย่างเช่นตัวส่วนของพจน์ในอนุกรมเทย์เลอร์ (Taylor series) เพื่อชดเชยข้อเท็จจริงโดยพื้นฐานว่าอนุพันธ์ชั้นที่ n ของ xⁿ คือ n!
• แฟกทอเรียลก็มีใช้อย่างกว้างขวางในทฤษฎีความน่าจะเป็น
• แฟกทอเรียลมีประโยชน์ทำให้การจัดดำเนินการนิพจน์สะดวกขึ้น ตัวอย่างเช่นจำนวนวิธีของการเรียงสับเปลี่ยนของวัตถุ k สิ่งจากวัตถุ n สิ่ง สามารถเขียนได้เป็น

$n^{\underset{\_}{k}}=\frac{n!}{(n-k)!}$

มันอาจถูกใช้เพื่อพิสูจน์สมบัติสมมาตรของสัมประสิทธิ์ทวินาม ในกรณีที่ไม่มีประสิทธิภาพเพียงพอที่จะคำนวณจำนวนเช่นนั้นได้

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})=\frac{n^{\underset{\_}{k}}}{k!}=\frac{n!}{(n-k)!k!}=\frac{n^{\underset{\_}{n-k}}}{(n-k)!}=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{n-k})$

ทฤษฎีจำนวน

แฟกทอเรียลมีการใช้งานหลายอย่างในทฤษฎีจำนวน โดยเฉพาะอย่างยิ่ง n! สามารถหารด้วยจำนวนเฉพาะทั้งหมดที่น้อยกว่าหรือเท่ากับ n ได้ลงตัว ผลสรุปที่ตามมาคือ n > 5 จะเป็นจำนวนประกอบก็ต่อเมื่อ

$(n-1)!\equiv 0(\mathrm{mod}n)$

ทฤษฎีของวิลสัน (Wilson's theorem) ได้กล่าวถึงผลสรุปที่เคร่งครัดมากกว่าดังนี้

$(p-1)!\equiv -1(\mathrm{mod}p)$

ก็ต่อเมื่อ p เป็นจำนวนเฉพาะ

อาเดรียง-มารี เลอฌ็องดร์ (Adrien-Marie Legendre) พบว่าการคูณของจำนวนเฉพาะ p ที่ปรากฏในการแยกตัวประกอบเฉพาะของ n! สามารถแสดงได้อย่างแม่นยำเป็น

$\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}\lfloor \frac{n}{p^i}\rfloor$

ข้อเท็จจริงนี้มีพื้นฐานบนการนับจำนวนตัวประกอบ p ของจำนวนเต็มตั้งแต่ 1 ถึง n; จำนวนพหุคูณของ p ในจำนวนเต็มตั้งแต่ 1 ถึง n สามารถพิจารณาได้จากสูตร $\lfloor \frac{n}{p}\rfloor$ อย่างไรก็ตามสูตรนี้จะนับตัวประกอบ p เพียงครั้งเดียว ยังคงมีตัวประกอบจำนวน $\lfloor \frac{n}{p^2}\rfloor$ ตัวของ p ที่จะต้องนับอีก และยังมีที่คล้ายกันอีกในกำลังสาม สี่ ห้า จนถึงอนันต์ ผลรวมดังกล่าวเป็นจำนวนจำกัดเนื่องจาก pⁱ สามารถมีค่าได้แค่น้อยกว่าหรือเท่ากับ n สำหรับ i หลายค่าอย่างจำกัด และฟังก์ชันพื้นจะให้ผลลัพธ์เป็น 0 เมื่อใช้กับ pⁱ > n

แฟกทอเรียลที่เป็นจำนวนเฉพาะด้วยมีจำนวนเดียวคือ 2 แต่ก็มีจำนวนเฉพาะจำนวนมากที่อยู่ในรูปแบบ n! ± 1 เรียกว่าจำนวนเฉพาะเชิงแฟกทอเรียล (factorial prime)

แฟกทอเรียลที่มากกว่า 0! และ 1! เป็นจำนวนคู่ทั้งหมด เพราะว่าเป็นพหุคูณของ 2 นอกจากนี้แฟกทอเรียลที่มากกว่า 5! ก็เป็นพหุคูณของ 10 (และทำให้มีศูนย์ลงท้ายในหลักสุดท้ายเป็นต้นไป) เนื่องจากเป็นพหุคูณของ 5 กับ 2

อนุกรมที่มีแต่ละพจน์เป็นส่วนกลับของแฟกทอเรียล ทำให้เกิดอนุกรมลู่เข้าและมีค่าเท่ากับ e

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n!}=\frac{1}{1}+\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{24}+\frac{1}{120}+\dots =e$

อัตราการเติบโตและการประมาณเมื่อ n มีขนาดใหญ่

การลงจุดของลอการิทึมธรรมชาติของแฟกทอเรียล

เมื่อ n มีค่าเพิ่มขึ้น ค่า n! จะมีอัตราการเติบโตมากกว่าพหุนามและฟังก์ชันเลขชี้กำลังทั้งหมดที่มี n ประกอบอยู่ (แต่ก็ยังน้อยกว่าฟังก์ชันเลขชี้กำลังสองชั้น)

การประมาณค่าที่ใกล้เคียงที่สุดของ n! ใช้พื้นฐานบนลอการิทึมธรรมชาติดังนี้

$\log n!=\sum _{x=1}^n\log x$

กราฟของฟังก์ชัน f(n) = log n! แสดงไว้ในภาพด้านขวา ลักษณะของกราฟดูเหมือนเป็นเส้นตรง (ฟังก์ชันเชิงเส้น) สำหรับทุกค่าของ n ที่เป็นไปได้ แต่ความจริงมันไม่ใช่เส้นตรง เราอาจประมาณค่า log n! อย่างง่ายโดยกำหนดขอบเขตบนและล่างด้วยปริพันธ์

$\underset{1}{\overset{n}{\int }}\log xdx\le \sum _{x=1}^n\log x\le \underset{0}{\overset{n}{\int }}\log (x+1)dx$

ซึ่งจะได้การประมาณค่าดังนี้

$n\log \left(\frac{n}{e}\right)+1\le \log n!\le (n+1)\log \left(\frac{n+1}{e}\right)+1$

เนื่องจากการคำนวณ log n! มีประสิทธิภาพเป็น Θ(n log n) สิ่งนี้จึงมีบทบาทหลักในการวิเคราะห์ความซับซ้อนในการคำนวณของขั้นตอนวิธีการเรียงลำดับ (ดูเพิ่มที่การเรียงลำดับแบบเปรียบเทียบ)

จากขอบเขตของ log n! ที่ได้ สามารถลดรูปจนเหลือเพียง

$e{\left(\frac{n}{e}\right)}^n\le n!\le e{\left(\frac{n+1}{e}\right)}^{n+1}$

การใช้สูตรดังกล่าวในทางปฏิบัติบางครั้งสามารถประมาณได้ง่ายกว่าแต่ไม่เคร่งครัด สูตรดังกล่าวสามารถแสดงให้เห็นได้ว่า สำหรับทุกค่าของ n จะได้ $(n/3{)}^n<n!$ และสำหรับ n ≥ 6 จะได้ $n!<(n/2{)}^n$ เป็นต้น

เมื่อ n เป็นจำนวนขนาดใหญ่ เรามีวิธีการประมาณค่า n! ที่ดีกว่าโดยใช้การประมาณของสเตอร์ลิง (Stirling's approximation)

$n!\approx \sqrt{2\pi n}{\left(\frac{n}{e}\right)}^n$

ในความเป็นจริง สำหรับทุกค่าของ n สูตรดังกล่าวสามารถพิสูจน์ได้ว่า

$n!>\sqrt{2\pi n}{\left(\frac{n}{e}\right)}^n$

การประมาณค่า log n! ที่ดีกว่าอีกสูตรหนึ่ง กำหนดไว้โดย ศรีนิวาสะ รามานุจัน ดังนี้

$\log n!\approx n\log n-n+\frac{\log (n(1+4n(1+2n)))}{6}+\frac{\log (\pi )}{2}$

การขยายแฟกทอเรียลไปยังอาร์กิวเมนต์ที่ไม่เป็นจำนวนเต็ม

ฟังก์ชันแกมมาและฟังก์ชันพาย

ฟังก์ชันแฟกทอเรียลที่วางนัยทั่วไปบนจำนวนจริงทุกจำนวนยกเว้นจำนวนเต็มลบ ตัวอย่าง 0! = 1! = 1, (−0.5)! = √π, (0.5)! = √π/2

นอกเหนือจากจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบแล้ว ฟังก์ชันแฟกทอเรียลสามารถนิยามให้กับค่าอื่นที่ไม่เป็นจำนวนเต็มได้ แต่การทำเช่นนี้จำเป็นต้องใช้เครื่องเครื่องมือขั้นสูงจากคณิตวิเคราะห์ ฟังก์ชันอันหนึ่งที่ "เติมเต็ม" ค่าต่าง ๆ ของแฟกทอเรียล (แต่มีค่าเลื่อนไป 1 ในอาร์กิวเมนต์) เรียกว่าฟังก์ชันแกมมา (Gamma function) เขียนแทนด้วย Γ(z) ซึ่งนิยามบนจำนวนเชิงซ้อน z ทุกจำนวนยกเว้นจำนวนเต็มลบ และส่วนจริงของ z เป็นจำนวนบวก ดังนี้

$\mathrm{\Gamma }(z)=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{t}^{z-1}{e}^{-t}\mathrm{d}t$

ความสัมพันธ์ระหว่างฟังก์ชันแกมมากับแฟกทอเรียลเมื่อ n เป็นจำนวนธรรมชาติ เป็นดังนี้

$n!=\mathrm{\Gamma }(n+1)$

สูตรดั้งเดิมของออยเลอร์สำหรับนิยามฟังก์ชันแกมมาคือ

$\mathrm{\Gamma }(z)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{n^{z}n!}{\prod _{k=0}^n(z+k)}$

ยังมีสัญกรณ์อีกอย่างหนึ่งซึ่งเกาส์เป็นผู้คิดค้นและบางครั้งก็ถูกใช้เช่นกัน นั่นคือ ฟังก์ชันพาย (Pi function) เขียนแทนด้วย Π(z) นิยามไว้สำหรับจำนวนจริง z ที่ไม่น้อยกว่า 0 ดังนี้

$\mathrm{\Pi }(z)=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{t}^z{e}^{-t}\mathrm{d}t$

หากเทียบกับฟังก์ชันแกมมาจะได้ว่า

$\mathrm{\Pi }(z)=\mathrm{\Gamma }(z+1)$

ฟังก์ชันพายเป็นการขยายแนวคิดแฟกทอเรียลอย่างแท้จริงดังนี้

$\mathrm{\Pi }(n)=n!\text{ for }n\in 𝐍$

ยิ่งไปกว่านี้ ฟังก์ชันพายมีการเวียนเกิดเหมือนกับแฟกทอเรียล แต่ใช้กับจำนวนเชิงซ้อน z ทุกจำนวนที่นิยาม

$\mathrm{\Pi }(z)=z\mathrm{\Pi }(z-1)$

โดยข้อเท็จจริงความสัมพันธ์เวียนเกิดไม่มีอีกต่อไปแล้ว เว้นแต่ในสมการเชิงฟังก์ชัน เมื่อแสดงในพจน์ของฟังก์ชันแกมมา สมการดังกล่าวจะเปลี่ยนเป็น

$\mathrm{\Gamma }(n+1)=n\mathrm{\Gamma }(n)$

เนื่องจากแฟกทอเรียลถูกขยายโดยฟังก์ชันพาย สำหรับจำนวนเชิงซ้อน z ทุกจำนวนที่นิยาม เราจึงสามารถเขียนว่า

$z!=\mathrm{\Pi }(z)$

ค่าของฟังก์ชันเหล่านี้ที่จำนวนเต็มครึ่ง (half-integer) สามารถพิจารณาได้จากสูตรต่อไปนี้ โดยพื้นฐานเราทราบว่า

$\mathrm{\Gamma }\left(\frac{1}{2}\right)=(-\frac{1}{2})!=\mathrm{\Pi }(-\frac{1}{2})=\sqrt{\pi }$

เมื่อ n เป็นจำนวนธรรมชาติ จะได้สูตร

$\mathrm{\Gamma }(\frac{1}{2}+n)=(-\frac{1}{2}+n)!=\mathrm{\Pi }(-\frac{1}{2}+n)=\sqrt{\pi }\prod _{k=1}^n\frac{2k-1}{2}=\frac{(2n)!}{4^{n}n!}\sqrt{\pi }=\frac{(2n-1)!}{2^{2n-1}(n-1)!}\sqrt{\pi }$

ตัวอย่าง

$\mathrm{\Gamma }(4.5)=3.5!=\mathrm{\Pi }(3.5)=\frac{1}{2}\cdot \frac{3}{2}\cdot \frac{5}{2}\cdot \frac{7}{2}\sqrt{\pi }=\frac{8!}{4^{4}4!}\sqrt{\pi }=\frac{7!}{2^{7}3!}\sqrt{\pi }=\frac{105}{16}\sqrt{\pi }\approx 11.63$

และอีกสูตรหนึ่ง

$\mathrm{\Gamma }(\frac{1}{2}-n)=(-\frac{1}{2}-n)!=\mathrm{\Pi }(-\frac{1}{2}-n)=\sqrt{\pi }\prod _{k=1}^n\frac{2}{1-2k}=\frac{(-4{)}^{n}n!}{(2n)!}\sqrt{\pi }$

ตัวอย่าง

$\mathrm{\Gamma }(-2.5)=(-3.5)!=\mathrm{\Pi }(-3.5)=\frac{2}{-1}\cdot \frac{2}{-3}\cdot \frac{2}{-5}\sqrt{\pi }=\frac{(-4{)}^{3}3!}{6!}\sqrt{\pi }=-\frac{8}{15}\sqrt{\pi }\approx -0.9453$

ฟังก์ชันพายไม่ได้เป็นเพียงฟังก์ชันเดียวที่ขยายแฟกทอเรียล ไปเป็นฟังก์ชันสำหรับจำนวนเชิงซ้อนเกือบทุกจำนวน และไม่ได้เป็นเพียงฟังก์ชันเดียวที่เป็นฟังก์ชันวิเคราะห์ (analytic function) เมื่อใดก็ตามที่มันถูกนิยาม แต่ไม่ว่าด้วยเหตุผลอันใด ฟังก์ชันพายมักเป็นตัวแทนโดยปริยายเมื่อต้องการหาค่าแฟกทอเรียลของจำนวนเชิงซ้อน ตัวอย่างเช่น ทฤษฎีบทบอร์-โมลเลอรัประบุว่า ฟังก์ชันแกมมาเป็นฟังก์ชันเดียวที่รับค่า 1 แล้วให้ผลลัพธ์เป็น 1, สอดคล้องกับสมการเชิงฟังก์ชัน Γ(n + 1) = nΓ(n), เป็นฟังก์ชันมีโรมอร์ฟิก (meromorphic function) บนจำนวนเชิงซ้อน, และเป็นฟังก์ชันคอนเวกซ์เชิงลอการิทึม (logarithmically convex function) บนแกนจำนวนจริงบวก เงื่อนไขที่คล้ายกันนี้ก็ปรากฏในฟังก์ชันพาย โดยเปลี่ยนสมการเชิงฟังก์ชันเป็น Π(n) = nΠ(n − 1)

อย่างไรก็ตาม ก็ยังมีฟังก์ชันเชิงซ้อนอื่นที่เรียบง่ายกว่าฟังก์ชันวิเคราะห์และสอดแทรกแฟกทอเรียลเข้าไป ตัวอย่างเช่น "ฟังก์ชันแกมมา" ของฌัก อาดามาร์ (Jacques Hadamard) ต่างจากฟังก์ชันแกมมาปรกติตรงที่มันเป็นฟังก์ชันทั่ว (entire function)

ออยเลอร์ยังได้สร้างสูตรสำหรับการประมาณค่าด้วยผลคูณลู่เข้าสำหรับแฟกทอเรียลที่ไม่ใช่จำนวนเต็ม ซึ่งเทียบเท่ากับสูตรของฟังก์ชันแกมมาที่ได้กล่าวไว้แล้ว

$\begin{array}{cc}n!=\mathrm{\Pi }(n)& =\prod _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{\left(\frac{k+1}{k}\right)}^n\frac{k}{n+k}\\ & =\left[{\left(\frac{2}{1}\right)}^n\frac{1}{n+1}\right]\left[{\left(\frac{3}{2}\right)}^n\frac{2}{n+2}\right]\left[{\left(\frac{4}{3}\right)}^n\frac{3}{n+3}\right]\cdots \end{array}$

อย่างไรก็ดี สูตรนี้ไม่ได้ให้วิธีการคำนวณเชิงปฏิบัติของฟังก์ชันพายหรือฟังก์ชันแกมมา เนื่องด้วยอัตราการลู่เข้าของมันนั้นช้า

การประยุกต์ใช้ฟังก์ชันแกมมา

ปริมาตรของทรงกลม n มิติที่มีรัศมี R หน่วย คำนวณได้จากสูตร

$V_n=\frac{{\pi }^{n/2}}{\mathrm{\Gamma }((n/2)+1)}{R}^n$

ฟังก์ชันที่มีลักษณะคล้ายกับแฟกทอเรียล

มัลติแฟกทอเรียล

มัลติแฟกทอเรียล เป็นฟังก์ชันที่เขียนอยู่ในรูปแบบ n!, n!! หรือมีเครื่องหมายแฟกทอเรียลมากกว่านั้น

n!! หมายถึง ดับเบิลแฟกทอเรียล ของ n ซึ่งนิยามโดย

$n!!=\{\begin{array}{ccc}1,& & \text{if }n=0\text{ or }n=1;\\ n(n-2)!!& & \text{if }n\ge 2.\end{array}$

ตัวอย่างเช่น 8!! = 2 · 4 · 6 · 8 = 384 and 9!! = 1 · 3 · 5 · 7 · 9 = 945 ลำดับของดับเบิลแฟกทอเรียล สำหรับ n = 0, 1, 2,... ได้แก่

1, 1, 2, 3, 8, 15, 48, 105, 384, 945, 3840, ...

จากนิยามดังกล่าวทำให้สามารถหาดับเบิลแฟกทอเรียลของจำนวนเต็มลบได้คือ

$(n-2)!!=\frac{n!!}{n}$

ลำดับของดับเบิลแฟกทอเรียลสำหรับ n = -1, -3, -5, -7,... คือ

1, -1, แม่แบบ:เศษ, แม่แบบ:เศษ, ...

เอกลักษณ์ของดับเบิลแฟกทอเรียลได้แก่

$n!=n!!(n-1)!!$

$(2n)!!=2^{n}n!$

$(2n+1)!!=\frac{(2n+1)!}{(2n)!!}=\frac{(2n+1)!}{2^{n}n!}$

$\mathrm{\Gamma }(n+\frac{1}{2})=\sqrt{\pi }\frac{(2n-1)!!}{2^n}$

$\mathrm{\Gamma }(\frac{n}{2}+1)=\sqrt{\pi }\frac{n!!}{2^{(n+1)/2}}$

ฟังก์ชันมัลติแฟกทอเรียลอื่นๆ ที่มีเครื่องหมายแฟกทอเรียล k เครื่องหมาย มีนิยามโดย

$n{!}^{(k)}=\{\begin{array}{ccc}1,& & \text{if }0\le n<k;\\ n(n-k){!}^{(k)},& & \text{if }n\ge k.\end{array}$

ซูเปอร์แฟกทอเรียล

ซูเปอร์แฟกทอเรียล มีรูปแบบคือ

$\mathrm{s}\mathrm{f}(n)=\prod _{k=1}^{n}k!=\prod _{k=1}^n{k}^{n-k+1}=1^n\cdot 2^{n-1}\cdot 3^{n-2}\cdots (n-1{)}^2\cdot n^1.$

เช่น ซูเปอร์แฟกทอเรียลของ 4 คือ

$\mathrm{s}\mathrm{f}(4)=1!\times 2!\times 3!\times 4!=288$