สมการกำลังสอง

ในทางคณิตศาสตร์ สมการกำลังสอง (สมการควอดราติก) คือสมการของพหุนามตัวแปรเดียวที่มีดีกรีเท่ากับ 2 รูปแบบทั่วไปของสมการกำลังสองคือ

ax² + bx + c = 0

เมื่อ a ≠ 0 (ถ้า a = 0 สมการนี้จะกลายเป็นสมการเชิงเส้น) ซึ่ง a, b อาจเรียกว่าเป็นสัมประสิทธิ์ของ x², x ตามลำดับ ส่วน c คือสัมประสิทธิ์คงตัว บางครั้งเรียกว่าพจน์อิสระหรือพจน์คงตัว ฟังก์ชันของสมการกำลังสองสามารถวาดกราฟบนระบบพิกัดคาร์ทีเซียนได้รูปเส้นโค้งพาราโบลา

สูตรกำลังสอง

สมการกำลังสองใด ๆ ที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนจริง (หรือจำนวนเชิงซ้อน) จะมีรากของสมการ 2 คำตอบเสมอ ซึ่งอาจจะเท่ากันก็ได้ โดยที่รากของสมการสามารถเป็นได้ทั้งจำนวนจริงหรือจำนวนเชิงซ้อน สามารถคำนวณได้จากสูตร

x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}

ซึ่งเครื่องหมายบวกและลบเป็นการแทนความหมายของทั้งสองคำตอบ ได้แก่

x_{+} = \frac{- b + \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}; x_{-} = \frac{- b - \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}

ดังนั้นค่าของสมการจะเท่ากับฟิวชั่นของสมการ

ดิสคริมิแนนต์

จากสูตรด้านบน นิพจน์ที่อยู่ภายใต้เครื่องหมายรากที่สอง

Δ

จะเรียกว่า ดิสคริมิแนนต์ (discriminant) ของสมการกำลังสอง

ดิสคริมิแนนต์เป็นตัวบ่งบอกว่าสมการกำลังสองจะมีคำตอบของสมการเป็นประเภทใดประเภทหนึ่ง ดังต่อไปนี้

ถ้าดิสคริมิแนนต์เป็นค่าบวก ดังนั้นจะมีรากของสมการ 2 ค่าที่แตกต่างกัน และเป็นจำนวนจริงทั้งคู่ สำหรับกรณีที่สัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็ม และดิสคริมิแนนต์เป็นกำลังสองสมบูรณ์ ดังนั้นรากของสมการจะเป็นจำนวนตรรกยะ ส่วนในกรณีอื่นจะเป็นจำนวนอตรรกยะ
ถ้าดิสคริมิแนนต์เป็นศูนย์ ดังนั้นจะมีรากของสมการ 2 ค่าที่เท่ากัน (หรือมีเพียงค่าเดียว) และเป็นจำนวนจริง รากของสมการนี้จะมีค่าเท่ากับ
$x = - \frac{b}{2 a}$
ถ้าดิสคริมิแนนต์เป็นค่าลบ จะไม่มีคำตอบเป็นจำนวนจริง แต่จะเป็นจำนวนเชิงซ้อน 2 จำนวนที่ต่างกัน ซึ่งเป็นสังยุคของกันและกัน นั่นคือ
$x = \frac{- b + i \sqrt{| b^{2} - 4 a c |}}{2 a}; x = \frac{- b - i \sqrt{| b^{2} - 4 a c |}}{2 a}$

เมื่อ $i$ คือหน่วยจินตภาพที่นิยามโดย $i^{2} = - 1$

การแยกตัวประกอบ

พจน์ $x - r$ จะเรียกว่าเป็นตัวประกอบของพหุนาม $a x^{2} + b x + c$ ก็ต่อเมื่อ r เป็นคำตอบของสมการกำลังสอง $a x^{2} + b x + c = 0$

ซึ่งจากสูตรกำลังสอง สามารถแยกตัวประกอบของพหุนามได้เป็น

a x^{2} + b x + c = a (x - \frac{- b + \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}) (x - \frac{- b - \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a})

ในกรณีพิเศษ เมื่อรากของสมการกำลังสองมีเพียงค่าเดียว (คือคำตอบทั้งสองเท่ากัน) พหุนามกำลังสองจะสามารถแยกตัวประกอบได้เป็น

a x^{2} + b x + c = a {(x + \frac{b}{2 a})}^{2}

ดูเพิ่ม

แหล่งข้อมูลอื่น

แม่แบบ:MathWorld
L. Euler's Elements of Algebra แม่แบบ:Webarchive
Quadratic equation solver, plus solvers for cubic and quartic equations
101 uses of a quadratic equation part I แม่แบบ:Webarchive Part II แม่แบบ:Webarchive
Quadratic graphical explorer Interactive applet. Sliders for a,b,c show effects on a graph.

สมการกำลังสอง

เนื้อหา

สูตรกำลังสอง

ดิสคริมิแนนต์

การแยกตัวประกอบ

ดูเพิ่ม

แหล่งข้อมูลอื่น

รายการนำทางไซต์

สมการกำลังสอง

สูตรกำลังสอง

ดิสคริมิแนนต์

การแยกตัวประกอบ

ดูเพิ่ม

แหล่งข้อมูลอื่น

รายการนำทางไซต์

ค้นหา