ครึ่งหนึ่งของความยาวรอบรูป

ในทางเรขาคณิต ครึ่งหนึ่งของความยาวรอบรูปของรูปหลายเหลี่ยม (อังกฤษ: Semiperimeter) คือครึ่งหนึ่งของเส้นรอบรูป แม้ว่าจะสามารถหาค่าจากเส้นรอบวงแบบง่าย ๆ แต่ครึ่งหนึ่งของความยาวรอบรูปปรากฏบ่อยในสูตรที่เกี่ยวกับรูปสามเหลี่ยม และรูปอื่น ๆ จนต้องมีชื่อเรียกแยกต่างหาก เมื่อครึ่งหนึ่งของเส้นรอบรูปใช้เป็นส่วนหนึ่งของสูตร โดยทั่วไปจะแสดงด้วยตัวอักษร แม่แบบ:Mvar

รูปสามเหลี่ยม

ในรูปสามเหลี่ยมใด ๆ ระยะทางไปตามขอบของรูปสามเหลี่ยม จากจุดยอดถึงจุดบนขอบตรงข้ามที่วงกลมที่แนบนอกรูปสามเหลี่ยมสัมผัสกับขอบ จะเท่ากับความยาวครึ่งหนึ่งของความยาวรอบรูป

ครึ่งหนึ่งของความยาวรอบรูปมักใช้กับรูปสามเหลี่ยม โดยสูตรสำหรับความยาวครึ่งหนึ่งของความยาวรอบรูปของรูปสามเหลี่ยมที่มีด้ายยาว แม่แบบ:Mvar

$s=\frac{a+b+c}{2}$

คุณสมบัติ

ในรูปสามเหลี่ยมใด ๆ ในจุดยอดใด ๆ ที่จุดที่วงกลมแนบนอกสัมผัสด้านตรงข้ามรูปสามเหลี่ยม จะแบ่งเส้นรอบวงของรูปสามเหลี่ยมออกเป็นสองส่วนที่มีความยาวเท่ากัน ทำให้เกิดเส้นสองเส้น ซึ่งแต่ละเส้นมีความยาวเท่ากับครึ่งหนึ่งของความยาวรอบรูป หาก แม่แบบ:Mvar เป็นดังที่แสดงในรูป เซกเมนต์ที่เชื่อมจุดยอดกับเส้นสัมผัสวงกลมแนบนอกด้านตรงข้าม ( แม่แบบ:Mvar แสดงเป็นสีแดงในแผนภาพ) เรียกว่าเส้นแบ่งพื้นที่ และ

$\begin{array}{cc}s& =|AB|+|A^{\prime }B|=|AB|+|A{B}^{\prime }|=|AC|+|A^{\prime }C|\\ & =|AC|+|A{C}^{\prime }|=|BC|+|B^{\prime }C|=|BC|+|B{C}^{\prime }|\end{array}$

เส้นแบ่งพื้นที่ทั้งสามจวบกันที่จุดนาเกลของรูปสามเหลี่ยม

เส้นแบ่งเส้นรอบรูปของรูปสามเหลี่ยมคือเส้นตรงที่แบ่งครึ่งเส้นรอบรูปของรูปสามเหลี่ยมและมีจุดปลายจุดหนึ่งอยู่ที่จุดกึ่งกลางของด้านใดด้านหนึ่งจากสามด้าน ดังนั้นเส้นแบ่งเส้นรอบรูปใด ๆ เช่น เส้นแบ่งพื้นที่ใด ๆ ก็ตาม จะแบ่งรูปสามเหลี่ยมออกเป็นสองส่วน โดยแต่ละส่วนมีความยาวเท่ากับครึ่งหนึ่งของความยาวรอบรูป เส้นแบ่งเส้นรอบรูปสามเส้นนี้จวบกันอยู่ที่จุดศูนย์กลางของวงกลมสไปเกอร์ ซึ่งเป็นวงกลมแนบในของรูปสามเหลี่ยมมัธยฐาน โดยจุดศูนย์กลางสไปเกอร์ คือศูนย์กลางมวลของจุดทั้งหมดบนเส้นขอบของรูปสามเหลี่ยม

เส้นที่ผ่านศูนย์กลางในของรูปสามเหลี่ยมจะแบ่งครึ่ง เส้นรอบรูปก็ต่อเมื่อเส้นดังกล่าวแบ่งครึ่งพื้นที่ด้วย

ครึ่งหนึ่งของความยาวรอบรูปของรูปสามเหลี่ยมมีค่าเท่ากับเส้นรอบรูปของรูปสามเหลี่ยมมัธยฐาน

จากอสมการสามเหลี่ยม ความยาวด้านที่ยาวที่สุดของรูปสามเหลี่ยมจะน้อยกว่าความยาวครึ่งหนึ่งของความยาวรอบรูป

สูตรที่เกี่ยวข้องกับครึ่งหนึ่งของความยาวรอบรูป

สำหรับรูปสามเหลี่ยม

พื้นที่ แม่แบบ:Mvar ของรูปสามเหลี่ยมใด ๆ คือผลคูณของรัศมีใน (รัศมีของวงกลมที่แนบในรูปสามเหลี่ยมนั้น) และความยาวครึ่งหนึ่งของความยาวรอบรูป:

$A=rs$

พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมสามารถคำนวณได้จากครึ่งหนึ่งของความยาวรอบรูปและความยาวด้าน แม่แบบ:Mvar โดยใช้ สูตรของเฮรอน:

$A=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$

รัศมีวงกลมล้อม แม่แบบ:Mvar ของรูปสามเหลี่ยมสามารถคำนวณได้จาก ครึ่งหนึ่งของความยาวรอบรูปและความยาวด้าน:

$R=\frac{abc}{4\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}}$

สูตรนี้สามารถหาได้จากกฎของไซน์

รัศมีใน คือ

$r=\sqrt{\frac{(s-a)(s-b)(s-c)}{s}}$

จากกฎของโคแทนเจนต์ จะให้โคแทนเจนต์ของครึ่งหนึ่งของมุมที่จุดยอดของรูปสามเหลี่ยมในรูปของครึ่งหนึ่งของเส้นรอบวง, ด้าน และรัศมีใน

ความยาวของเส้นแบ่งครึ่งมุม ตรงข้ามกับด้านที่มีความยาว แม่แบบ:Mvar คือ

$t_a=\frac{2\sqrt{bcs(s-a)}}{b+c}$

ในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก รัศมีของวงกลมแนบนอกบนด้านตรงข้ามมุมฉาก มีค่าเท่ากับครึ่งหนึ่งของความยาวรอบรูป ครึ่งหนึ่งของความยาวรอบรูป คือผลรวมของรัศมีในและสองเท่าของรัศมีวงล้อม พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมมุมฉากคือ $(s-a)(s-b)$ โดยที่ แม่แบบ:Mvar เป็นแขนของมุมฉาก

สำหรับรูปสี่เหลี่ยม

สูตรสำหรับหาครึ่งหนึ่งของความยาวรอบรูปของรูปสี่เหลี่ยมที่มีความยาวด้าน แม่แบบ:Mvar คือ

$s=\frac{a+b+c+d}{2}$

สูตรพื้นที่รูปสามเหลี่ยมหนึ่งที่เกี่ยวข้องกับครึ่งหนึ่งของความยาวรอบรูปนั้นยังสามารถใช้ได้กับรูปสี่เหลี่ยมสัมผัสวง ซึ่งมีวงกลมแนบในและมีคู่ของด้านตรงข้ามที่มีความยาวรวมกันเท่ากับครึ่งหนึ่งของความยาวรอบรูป (ตามทฤษฎีบทพิทอท ) —พื้นที่คือผลคูณของรัศมีในและครึ่งหนึ่งของความยาวรอบรูป:

$K=rs$

รูปที่ง่ายที่สุดของสูตรของพรหมคุปต์ สำหรับพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมวงกลมล้อมมีรูปแบบคล้ายกับสูตรของเฮรอนสำหรับพื้นที่รูปสามเหลี่ยม:

$K=\sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}.$

สูตรของเบรชไนเดอร์สามารถสรุปรูปสี่เหลี่ยมนูนทั้งหมดได้:

$K=\sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-abcd\cdot {\cos }^2\left(\frac{\alpha +\gamma }{2}\right)}$

ซึ่ง แม่แบบ:Mvar และ แม่แบบ:Mvar เป็นสองมุมตรงข้ามกัน

ด้านทั้งสี่ของรูปสี่เหลี่ยมสองศูนย์กลาง คือสี่คำตอบของสมการกำลังสี่ที่กำหนดความยาวรอบรูปโดยครึ่งหนึ่งของความยาวรอบรูป รัศมีใน และรัศมีวงล้อม

รูปหลายเหลี่ยมปกติ

พื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยมนูนปกติ คือผลคูณของครึ่งหนึ่งของความยาวรอบรูปและความยาวของเส้นตั้งฉากจากจุดศูนย์กลางไปยังด้านใดด้านหนึ่ง (Apothem)

รูปวงกลม

ครึ่งหนึ่งของความยาวรอบรูปของรูปวงกลม เรียกอีกอย่างว่า ครึ่งเส้นรอบวง และจะแปรผันตรงกับรัศมี แม่แบบ:Math

$s=\pi \cdot r$

ค่าคงที่ของความได้สัดส่วนคือ จำนวนพาย หรือ แม่แบบ:Pi

ดูเพิ่มเติม

• ครึ่งหนึ่งของเส้นผ่านศูนย์กลาง

แหล่งข้อมูลอื่น

• แม่แบบ:Mathworld