กฎของไซน์

รูปที่ 1 – กำหนดรูปสามเหลี่ยมที่มี แม่แบบ:Math, แม่แบบ:Math และ แม่แบบ:Math เป็นมุม และ แม่แบบ:Math, แม่แบบ:Math, แม่แบบ:Math และด้านตรงข้ามของมุมตามลำดับ (กล่าวคือ ด้าน แม่แบบ:Math ตรงข้ามกับมุม แม่แบบ:Math เป็นต้น)

แม่แบบ:ตรีโกณมิติ ในตรีโกณมิติ กฎของไซน์ (แม่แบบ:Langx) เป็นสมการที่แสดงความสัมพันธ์เกี่ยวกับความยาวด้านของรูปสามเหลี่ยมใด ๆ กับไซน์ของมุมในรูปสามเหลี่ยม ดังนี้

$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=d$

เมื่อ แม่แบบ:Math, และ แม่แบบ:Math เป็นความยาวด้านของรูปสามเหลี่ยม และ แม่แบบ:Math, และ แม่แบบ:Math เป็นมุมตรงข้าม (ดังรูปที่ 1) ขณะที่ แม่แบบ:Math เป็นเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลมล้อมรอบรูปสามเหลี่ยมนั้น กฎของไซน์บางครั้งสามารถเขียนโดยใช้ตัวผกผันการคูณ

$\frac{\sin A}{a}=\frac{\sin B}{b}=\frac{\sin C}{c}$

กฎของไซน์สามารถนำไปใช้คำนวณด้านที่เหลือของรูปสามเหลี่ยม เมื่อทราบมุมสองมุมและด้านหนึ่งด้าน การคำนวณโดยใช้วิธีนี้อาจให้ผลลัพธ์ที่มีความผิดพลาดเชิงตัวเลขได้ ถ้ามุมหนึ่งเข้าใกล้ 90 องศา

กฎของไซน์เป็นหนึ่งในสองสมการตรีโกณมิติที่ใช้ในการหาความยาวด้านและมุมในรูปสามเหลี่ยมใด ๆ ซึ่งอีกสมการหนึ่งก็คือ กฎของโคไซน์

การพิสูจน์

พื้นที่ แม่แบบ:Math ของรูปสามเหลี่ยมใด ๆ สามารถเขียนได้เป็นครึ่งหนึ่งของความยาวฐานคูณด้วยความสูง โดยเลือกด้านหนึ่งเป็นฐาน และความสูงของรูปสามเหลี่ยมคำนวณได้โดยการเลือกอีกด้านในรูปสามเหลี่ยม นำความยาวของด้านนั้นคูณด้วยไซน์ของมุมที่อยู่ระหว่างด้านที่เลือกกับด้านที่เป็นฐาน ดังนั้น ถ้าขึ้นอยู่กับการเลือกด้านที่จะเป็นฐาน พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมก็สามารถเขียนได้แตกต่างกัน ดังนี้

$T=\frac{1}{2}b(c\sin A)=\frac{1}{2}c(a\sin B)=\frac{1}{2}a(b\sin C)$

คูณด้วย แม่แบบ:Math ตลอดทั้งสมการ จะได้

$\frac{2T}{abc}=\frac{\sin A}{a}=\frac{\sin B}{b}=\frac{\sin C}{c}$

ดูเพิ่ม

• กฎของโคไซน์
• กฎของแทนเจนต์
• กฎของโคแทนเจนต์
• รายการเอกลักษณ์ตรีโกณมิติ

แหล่งข้อมูลอื่น

• แม่แบบ:Springer
• The Law of Sines at cut-the-knot
• Degree of Curvature
• Finding the Sine of 1 Degree
• Generalized law of sines to higher dimensions
• Law of Sines - ProofWiki