กฎของแทนเจนต์

แม่แบบ:ตรีโกณมิติ ในตรีโกณมิติ กฎของแทนเจนต์ (แม่แบบ:Langx)^[1] เป็นความสัมพันธ์ระหว่างแทนเจนต์ของมุมสองมุมในรูปสามเหลี่ยมและความยาวด้านตรงข้าม ในรูปที่ 1 แม่แบบ:Math, แม่แบบ:Math, และ แม่แบบ:Math เป็นความยาวด้านทั้งสามของรูปสามเหลี่ยม และ แม่แบบ:Math, แม่แบบ:Math, และ แม่แบบ:Math เป็นมุมตรงข้ามของด้านทั้งสามตามลำดับ กฎของแทนเจนต์นั้นกล่าวว่า

\frac{a - b}{a + b} = \frac{\tan (\frac{1}{2} (α - β))}{\tan (\frac{1}{2} (α + β))}

แม้ว่ากฎของแทนเจนต์ไม่เป็นที่รู้จักเหมือนกับกฎของไซน์และกฎของโคไซน์ แต่ก็สามารถคำนวณได้เทียบเท่ากับกฎของไซน์ และสามารถนำไปใช้ได้ในกรณีที่ทราบด้านสองด้านและมุมตรงข้ามหนึ่งมุม หรือทราบมุมสองมุมและด้านหนึ่งด้าน

การพิสูจน์

การพิสูจน์กฎของแทนเจนต์เริ่มด้วยกฎของไซน์

\frac{a}{\sin α} = \frac{b}{\sin β}

ให้

d = \frac{a}{\sin α} และ d = \frac{b}{\sin β}

จะได้

a = d \sin α และ b = d \sin β

ทำให้ได้

\frac{a - b}{a + b} = \frac{d \sin α - d \sin β}{d \sin α + d \sin β} = \frac{\sin α - \sin β}{\sin α + \sin β}

จากเอกลักษณ์ตรีโกณมิติ เปลี่ยนผลบวกไซน์เป็นผลคูณ

\sin (α) \pm \sin (β) = 2 \sin (\frac{α \pm β}{2}) \cos (\frac{α \mp β}{2})

จะได้

\frac{a - b}{a + b} = \frac{2 \sin \frac{1}{2} (α - β) \cos \frac{1}{2} (α + β)}{2 \sin \frac{1}{2} (α + β) \cos \frac{1}{2} (α - β)} = \frac{\sin \frac{1}{2} (α - β)}{\cos \frac{1}{2} (α - β)} \div \frac{\sin \frac{1}{2} (α + β)}{\cos \frac{1}{2} (α + β)} = \frac{\tan (\frac{1}{2} (α - β))}{\tan (\frac{1}{2} (α + β))}

ดูเพิ่ม

อ้างอิง

แม่แบบ:รายการอ้างอิง แม่แบบ:โครงคณิตศาสตร์

↑ See Eli Maor, Trigonometric Delights, Princeton University Press, 2002.

[1] See Eli Maor, Trigonometric Delights, Princeton University Press, 2002.

[1]

กฎของแทนเจนต์

การพิสูจน์

ดูเพิ่ม

อ้างอิง

รายการนำทางไซต์

ค้นหา