สูตรของเฮรอน

รูปสามเหลี่ยมที่มีด้าน a b และ c

ในทางเรขาคณิต สูตรของเฮรอน หรือ สูตรของเฮโร (แม่แบบ:Langx) จะจัดรูปให้พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม อยู่ในรูปของความยาวด้านของทั้งสามด้าน ⁠$a,$⁠⁠ $b$⁠ และ $c$⁠ โดยกำหนดให้ ⁠$s$⁠ เป็นครึ่งหนึ่งของความยาวรอบรูปของรูปสามเหลี่ยม (semiperimeter) จะได้ว่า $s=\frac{1}{2}(a+b+c)$ ทำให้ได้พื้นที่ ⁠$A$⁠ เป็น

$A=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$

สูตรข้างต้นถูกตั้งชื่อตามวิศวกรในคริสต์ศตวรรษที่ 1 ซึ่งมีชื่อว่าเฮรอนแห่งอะเล็กซานเดรีย (หรือเฮโร) ซึ่งผลงานของเขามีชื่อว่า เมตริกา (Metrica) ถึงแม้ว่าสูตรนี้จะรู้จักกันมานานหลายศตวรรษแล้วก็ตาม

ตัวอย่าง

กำหนดให้ ⁠$\mathrm{△}ABC$⁠ มีด้านทั้งสามยาว $a=4$ $b=13$ และ $c=15$ โดยครึ่งหนึ่งของความยาวรอบรูปของรูปสามเหลี่ยม (semiperimeter) เป็น $s=\frac{1}{2}(a+b+c)=$ $\frac{1}{2}(4+13+15)=16$ จะได้พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมนี้เป็น

$\begin{array}{cc}A& =\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}=\sqrt{16\cdot (16-4)\cdot (16-13)\cdot (16-15)}\\ & =\sqrt{16\cdot 12\cdot 3\cdot 1}=\sqrt{576}=24\end{array}$

จากตัวอย่างนี้ ความยาวด้านและพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมนั้นเป็นจำนวนเต็มทำให้เป็นรูปสามเหลี่ยมฮีโรเนียน ซึ่งเป็นรูปสามเหลี่ยมที่มีความยาวของด้านและพื้นที่เป็นจำนวนตรรกยะทั้งหมด อย่างไรก็ตามสูตรของเฮรอนจะใช้ได้ดี ในกรณีที่ความยาวด้านหนึ่งของรูปสามเหลี่ยมขึ้นไปไม่ใช่จำนวนเต็ม

การเขียนสมการในรูปอื่น ๆ

สูตรของเฮรอนยังสามารถเขียนในรูปของความยาวด้านเพียงอย่างเดียว แทนที่จะใช้ครึ่งหนึ่งของความยาวรอบรูปของรูปสามเหลี่ยมนั้นสามารถทำได้ในหลายวิธี ดังนี้

$\begin{array}{cc}A& =\frac{1}{4}\sqrt{(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}\\ & =\frac{1}{4}\sqrt{2(a^2{b}^2+a^2{c}^2+b^2{c}^2)-(a^4+b^4+c^4)}\\ & =\frac{1}{4}\sqrt{(a^2+b^2+c^2{)}^2-2(a^4+b^4+c^4)}\\ & =\frac{1}{4}\sqrt{4(a^2{b}^2+a^2{c}^2+b^2{c}^2)-(a^2+b^2+c^2{)}^2}\\ & =\frac{1}{4}\sqrt{4a^2{b}^2-(a^2+b^2-c^2{)}^2}\end{array}$

หลังจากจัดนิพจน์ให้อยู่ในรูปอย่างง่ายแล้ว พจน์ที่อยู่ในรากที่สองจะเป็นพหุนามกำลังสองของความยาวด้านแต่ละด้านยกกำลังสอง ได้แก่ $a^2$ $b^2$ และ $c^2$

ความสัมพันธ์ที่คล้ายกันนี้ สามารถจัดรูปได้โดยใช้ฟังก์ชันดีเทอร์มิแนนต์เคย์ลีย์–เมงเงอร์

$-16A^2=\left|\begin{array}{cccc}0& a^2& b^2& 1\\ a^2& 0& c^2& 1\\ b^2& c^2& 0& 1\\ 1& 1& 1& 0\end{array}\right|$

ประวัติ

สูตรข้างต้นนั้นได้ยกย่องให้เป็นสูตรของเฮรอน (หรือเฮโร) แห่งอะเล็กซานเดรีย (แม่แบบ:Floruit ค.ศ. 60) และหลักฐานนั้นสามารถพบได้ในหนังสือชื่อ เมตริกา (Metrica) ซึ่งนักประวัติศาสตร์คณิตศาสตร์ โทมัส ฮีธ ได้เสนอว่า อาร์คิมิดีสรู้สูตรนี้มาก่อนถึงสองศตวรรษ และเนื่องจาก เมตริกา คือหนังสือที่เป็นการรวบรวมความรู้ทางคณิตศาสตร์ที่มีอยู่ในโลกยุคโบราณ จึงเป็นไปได้ที่สูตรดังกล่าวอาจมีอายุก่อนการอ้างอิงที่ให้ไว้ในผลงานนั้น

สูตรที่คล้ายกับของเฮรอน คือ

$A=\frac{1}{2}\sqrt{a^2{c}^2-{\left(\frac{a^2+c^2-b^2}{2}\right)}^2}$

สูตรนี้ถูกค้นพบโดยชาวจีน ได้รับการตีพิมพ์ใน Mathematical Treatise in Nine Sections (ฉิน จิ่วฉาว, 1247)

บทพิสูจน์

มีหลายวิธีในการพิสูจน์สูตรของเฮรอน เช่น การใช้ตรีโกณมิติดังด้านล่าง หรือการใช้วงกลมที่แนบในและแนบนอกรูปสามเหลี่ยม หรือเป็นกรณีพิเศษในทฤษฎีบทของเดอ กวา (เฉพาะสำหรับกรณีที่สามเหลี่ยมเป็นรูปสามเหลี่ยมมุมแหลม) หรือใช้ในกรณีพิเศษในสูตรของพรหมคุปต์ (สำหรับกรณีของรูปสี่เหลี่ยมที่แนบในวงกลม)

การพิสูจน์ด้วยตรีโกณมิติโดยใช้กฎของโคไซน์

จากข้อพิสูจน์สมัยใหม่ซึ่งใช้พีชคณิตมีความแตกต่างจากหลักฐานที่เฮรอนให้ไว้ มีดังนี้ โดยกำหนดให้ ด้าน $a$ $b$ และ $c$ ของสามเหลี่ยม มีมุมตรงข้ามเป็น $\alpha$ $\beta$ และ $\gamma$ ตามลำดับ เมื่อนำมาใช้กับกฎของโคไซน์ จะได้ว่า

$\cos \gamma =\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$

รูปสามเหลี่ยมที่มีด้าน แม่แบบ:Mvar แม่แบบ:Mvar และ แม่แบบ:Mvar

จากการพิสูจน์นี้เราจะได้สมการว่า

$\sin \gamma =\sqrt{1-{\cos }^2\gamma }=\frac{\sqrt{4a^2{b}^2-(a^2+b^2-c^2{)}^2}}{2ab}$

โดยความสูงของสามเหลี่ยมที่มีฐานเป็น $a$ มีความยาวเป็น $b\sin \gamma$ และจะได้ดังนี้

$\begin{array}{cc}A& =\frac{1}{2}(\text{base})(\text{altitude})\\ & =\frac{1}{2}ab\sin \gamma \\ & =\frac{ab}{4ab}\sqrt{4a^2{b}^2-(a^2+b^2-c^2{)}^2}\\ & =\frac{1}{4}\sqrt{-a^4-b^4-c^4+2a^2{b}^2+2a^2{c}^2+2b^2{c}^2}\\ & =\frac{1}{4}\sqrt{(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}\\ & =\sqrt{\left(\frac{a+b+c}{2}\right)\left(\frac{-a+b+c}{2}\right)\left(\frac{a-b+c}{2}\right)\left(\frac{a+b-c}{2}\right)}\\ & =\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\end{array}$

การพิสูจน์ด้วยพีชคณิตโดยใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัส

สามเหลี่ยมที่มีความสูงยาว แม่แบบ:Mvar ซึ่งลากตัดฐานยาว แม่แบบ:Mvar ทำให้ c เป็น แม่แบบ:Math

หลักฐานข้างต้นนี้คล้ายกับหลักฐานที่ Raifaizen ให้ไว้มาก จากทฤษฎีบทพีทาโกรัส จะได้ $b^2=h^2+d^2$ และ $a^2=h^2+(c-d{)}^2$ ตามรูปด้านขวา หลังจากนั้นนำสมการทั้งสองสมการมาลบกันจนได้ผลลัพธ์ดังนี้ $a^2-b^2=c^2-2cd$ ทำให้สามารถแสดงนิพจน์ของ $d$ ในรูปของด้านของรูปสามเหลี่ยมได้ว่า

$d=\frac{-a^2+b^2+c^2}{2c}$

โดยสำหรับความสูงของสามเหลี่ยม จะได้ $h^2=b^2-d^2$ จากนั้นทำการแทนค่า $d$ จากสมการข้างต้นเข้าไปและจะใช้สูตรเอกลักษณ์ผลต่างของกำลังสอง จะได้

$\begin{array}{cc}{h}^2& =b^2-{\left(\frac{-a^2+b^2+c^2}{2c}\right)}^2\\ & =\frac{(2bc-a^2+b^2+c^2)(2bc+a^2-b^2-c^2)}{4c^2}\\ & =\frac{((b+c{)}^2-a^2\left)\right(a^2-(b-c{)}^2)}{4c^2}\\ & =\frac{(b+c-a)(b+c+a)(a+b-c)(a-b+c)}{4c^2}\\ & =\frac{2(s-a)\cdot 2s\cdot 2(s-c)\cdot 2(s-b)}{4c^2}\\ & =\frac{4s(s-a)(s-b)(s-c)}{c^2}\end{array}$

จากนั้นใช้ผลลัพธ์ที่มาใช้กับสูตรคำนวณพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมจากความสูง เป็น

$\begin{array}{cc}A& =\frac{ch}{2}\\ & =\sqrt{\frac{c^2}{4}\cdot \frac{4s(s-a)(s-b)(s-c)}{c^2}}\\ & =\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\end{array}$

การพิสูจน์ด้วยตรีโกณมิติโดยใช้กฎของโคแทนเจนต์

นัยสำคัญทางเรขาคณิตของ แม่แบบ:Math แม่แบบ:Math และ แม่แบบ:Math ตามกฎของโคแทนเจนต์

ถ้า $r$ เป็นรัศมีของวงกลมที่แนบในรูปสามเหลี่ยม ทำให้สามารถแบ่งรูปสามเหลี่ยมออกเป็น 3 รูปที่มีความสูงเท่ากับ $r$ และมีฐานยาว $a,$ $b$ และ $c$ จะได้ผลรวมของพื้นที่รูปสามเหลี่ยมทั้งสามเป็น

$A=\frac{1}{2}ar+\frac{1}{2}br+\frac{1}{2}cr=rs$

โดยที่ $s=\frac{1}{2}(a+b+c+d)$ คือความยาวครึ่งหนึ่งของเส้นรอบรูปสามเหลี่ยม

รูปสามเหลี่ยมสามารถแบ่งออกเป็นรูปสามเหลี่ยม 6 รูป ที่เป็นคู่ที่เท่ากันทั้งหมด 3 คู่ ที่มีความสูง $r$ และมีฐานยาว $s-a$ $s-b$ และ $s-c$ จะได้ผลรวมของพื้นที่รูปสามเหลี่ยมทั้งหกรูปเป็น (จากกฎของโคแทนเจนต์)

$\begin{array}{cc}A& =r(s-a)+r(s-b)+r(s-c)\\ & =r^2(\frac{s-a}{r}+\frac{s-b}{r}+\frac{s-c}{r})\\ & =r^2(\cot \frac{\alpha }{2}+\cot \frac{\beta }{2}+\cot \frac{\gamma }{2})\\ & =r^2(\cot \frac{\alpha }{2}\cot \frac{\beta }{2}\cot \frac{\gamma }{2})\\ & =r^2(\frac{s-a}{r}\cdot \frac{s-b}{r}\cdot \frac{s-c}{r})\\ & =\frac{(s-a)(s-b)(s-c)}{r}\end{array}$

ขั้นตอนต่อจากข้างต้น คือ $\cot \frac{\alpha }{2}+\cot \frac{\beta }{2}+\cot \frac{\gamma }{2}=$$\cot \frac{\alpha }{2}\cot \frac{\beta }{2}\cot \frac{\gamma }{2}$ ตามเอกลักษณ์ของโคแทนเจนต์ (triple cotangent identity) ซึ่งนำมาใช้ได้เนื่องจากผลรวมของครึ่งหนึ่งของมุมคือ $\frac{\alpha }{2}+\frac{\beta }{2}+\frac{\gamma }{2}=\frac{\pi }{2}$

เมื่อรวมทั้งสองเข้าด้วยกัน จะได้

$A^2=s(s-a)(s-b)(s-c)$

ซึ่งทำให้ได้ผลลัพธ์ของพื้นที่ตามมา

ความเสถียรเชิงตัวเลข

สูตรของเฮรอนที่ให้ไว้ข้างต้นมีความไม่เสถียรในเชิงตัวเลข (numerically unstable) สำหรับสามเหลี่ยมที่มีมุมเล็กมาก เมื่อใช้เลขแบบจำนวนจุดลอยตัว (floating-point arithmetic) เพื่อทำให้มีความเสถียรทางตัวเลขจะการจัดเรียงความยาวของด้านเพื่อให้ $a\ge b\ge c$ จากการคำนวณได้ว่า

$A=\frac{1}{4}\sqrt{(a+(b+c))(c-(a-b))(c+(a-b))(a+(b-c))}$

จำเป็นต้องมีวงเล็บในสูตรข้างต้นเพื่อป้องกันความไม่เสถียรของตัวเลขในการหาค่า

สูตรพื้นที่สามเหลี่ยมคล้าย

อีกสามสูตรของสูตรพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมทั่วไป จะมีโครงสร้างคล้ายกับสูตรของเฮรอน แต่จะแสดงในรูปของตัวแปรที่ต่างกัน

ขั้นตอนแรก กำหนดให้ $m_a,$ $m_b$ และ $m_c$⁠ คือเส้นมัธยฐาน (medians) ของด้าน $a,$ $b$ และ $c$ ตามลำดับ และครึ่งหนึ่งของผลรวมความยาวเส้นมัธยฐาน คือ $\sigma =\frac{1}{2}(m_a+m_b+m_c)$ จะได้

$A=\frac{4}{3}\sqrt{\sigma (\sigma -m_a)(\sigma -m_b)(\sigma -m_c)}$

ถัดไป ให้ $h_a,$ $h_b$ และ $h_c$ คือความสูงจากด้าน $a,$ $b$ และ $c$ ตามลำดับ และครึ่งหนึ่งของผลรวมส่วนกลับความสูง คือ $H=\frac{1}{2}(h_a^{-1}+h_b^{-1}+h_c^{-1})$ จะได้

$A^{-1}=4\sqrt{H(H-h_a^{-1})(H-h_b^{-1})(H-h_c^{-1})}$

จะได้ว่า ให้ $\alpha ,$ $\beta$ และ $\gamma$ เป็นมุมทั้งสามมุมของรูปสามเหลี่ยม และครึ่งหนึ่งของผลรวมของไซน์ของรูปสามเหลี่ยมคือ $S=\frac{1}{2}(\sin \alpha +\sin \beta +\sin \gamma )$ จะได้

$\begin{array}{cc}A& =D^2\sqrt{S(S-\sin \alpha )(S-\sin \beta )(S-\sin \gamma )}\\ & =\frac{1}{2}{D}^2\sin \alpha \sin \beta \sin \gamma \end{array}$

โดย $D$ คือ เส้นผ่านศูนย์กลางของรูปสามเหลี่ยมวงกลมล้อม (circumcircle) $D=a/\sin \alpha =b/\sin \beta =c/\sin \gamma$ สูตรสุดท้ายนี้สอดคล้องกับสูตรในรูปมาตรฐานของเฮรอน เมื่อวงกลมล้อมรูปสามเหลี่ยมมีความยาวของเส้นผ่านศูนย์กลาง

การสรุปโดยทั่วไปจากกรณีเฉพาะ

รูปสี่เหลี่ยมวงกลมล้อม (Cyclic quadrilateral)

สูตรของเฮรอนเป็นกรณีเฉพาะของสูตรของพรหมคุปต์ สำหรับพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมวงกลมล้อม (cyclic quadrilateral) สูตรของเฮรอนและสูตรของพรหมคุปต์ ทั้งสองสูตรเป็นกรณีเฉพาะของสูตรของเบรทช์ไนเดอร์ สำหรับพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยม สูตรของเฮรอนสามารถหาได้จากสูตรของพรหมคุปต์หรือสูตรของเบรทช์ไนเดอร์ โดยให้ด้านใดด้านหนึ่งของรูปสี่เหลี่ยมให้เป็นศูนย์

จากสูตรของพรหมคุปต์ให้พื้นที่ $K$ เป็นพื้นที่ของ⁠รูปสี่เหลี่ยมวงกลมล้อม (cyclic quadrilateral) ที่มีความยาวด้านเป็น $a$ $b$ $c$ และ $d$ ทำให้ได้

$K=\sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}$

โดย $s=\frac{1}{2}(a+b+c+d)$ คือ ครึ่งหนึ่งของความยาวรอบรูปของรูปสี่เหลี่ยม

สูตรของเฮรอนยังเป็นกรณีเฉพาะของสูตรพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูโดยพิจารณาจากด้านเท่านั้น สูตรของเฮรอนได้มาโดยการกหนดให้ด้านขนานที่เล็กกว่าความยาวเป็นศูนย์

สามารถแสดงสูตรของเฮรอนด้วยฟังก์ชันดีเทอร์มิแนนต์เคย์ลีย์–เมงเงอร์ ในรูปของกำลังสองของระยะทางระหว่างจุดยอดทั้งสามที่กำหนดให้

$A=\frac{1}{4}\sqrt{-\left|\begin{array}{cccc}0& a^2& b^2& 1\\ a^2& 0& c^2& 1\\ b^2& c^2& 0& 1\\ 1& 1& 1& 0\end{array}\right|}$

แสดงให้เห็นถึงความคล้ายกับสูตรของตาร์ตาเญีย สำหรับปริมาตรของ 3-ซิมเพล็กซ์หรือทรงสี่หน้า

ข้อสรุปทั่วไปของสูตรของเฮรอนของรูปห้าเหลี่ยมและรูปหกเหลี่ยมวงกลมล้อมถูกค้นพบโดย เดวิด พี. ร็อบบินส์

สูตรการหาปริมาตรของทรงสี่หน้าแบบเฮรอน

ให้ $U,$ $V,$ $W,$ $u,$ $v$ และ $w$ เป็นความยาวขอบของทรงสี่หน้า (สามด้านแรกนำมาประกอบกันเป็นรูปสามเหลี่ยม โดย $u$ ตรงข้ามกับ $U$ และต่อไปตามลำดับ) จะได้

$\text{volume}=\frac{\sqrt{(-a+b+c+d)(a-b+c+d)(a+b-c+d)(a+b+c-d)}}{192uvw}$

โดยที่

$\begin{array}{cc}a& =\sqrt{xYZ}\\ b& =\sqrt{yZX}\\ c& =\sqrt{zXY}\\ d& =\sqrt{xyz}\\ X& =(w-U+v)(U+v+w)\\ x& =(U-v+w)(v-w+U)\\ Y& =(u-V+w)(V+w+u)\\ y& =(V-w+u)(w-u+V)\\ Z& =(v-W+u)(W+u+v)\\ z& =(W-u+v)(u-v+W)\end{array}$

สูตรของเฮรอนในเรขาคณิตนอกแบบยุคลิด

นอกจากนี้ยังมีสูตรสำหรับพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมตามความยาวด้านของรูปสามเหลี่ยมในเรขาคณิตทรงกลม (Spherical geometry) หรือเรขาคณิตเชิงไฮเพอร์โบลา (hyperbolic plane) อีกด้วย สำหรับรูปสามเหลี่ยมในเรขาคณิตทรงกลมที่มีความยาวด้าน $a$ $b$ และ $c$ และครึ่งหนึ่งของความยาวรอบรูปเป็น $s=\frac{1}{2}(a+b+c)$ และมีพื้นที่เป็น $S$ ตามสูตรดังกล่าวจะได้

${\tan }^2\frac{S}{4}=\tan \frac{s}{2}\tan \frac{s-a}{2}\tan \frac{s-b}{2}\tan \frac{s-c}{2}$

ตามเรขาคณิตเชิงไฮเพอร์โบลา จะได้

${\tan }^2\frac{S}{4}=\tanh \frac{s}{2}\tanh \frac{s-a}{2}\tanh \frac{s-b}{2}\tanh \frac{s-c}{2}$

ดูเพิ่มเติม

• สูตรพื้นที่ของเกาส์

แหล่งข้อมูลอื่น

• A Proof of the Pythagorean Theorem From Heron's Formula ที่ cut-the-knot
• Interactive applet and area calculator using Heron's Formula
• J. H. Conway discussion on Heron's Formula
• "Heron's Formula and Brahmagupta's Generalization"
• A Geometric Proof of Heron's Formula
• An alternative proof of Heron's Formula without words
• Factoring Heron