1 − 2 + 3 − 4 + · · ·

ในทางคณิตศาสตร์ 1 − 2 + 3 − 4 + ··· เป็นอนุกรมอนันต์ที่แต่ละพจน์เป็นจำนวนเต็มบวกลำดับถัดจากพจน์ก่อนหน้า โดยใส่เครื่องหมายบวกและลบสลับกัน ผลรวม m พจน์แรกของอนุกรมนี้สามารถเขียนโดยใช้สัญลักษณ์ผลรวมได้ในรูป

\sum_{n = 1}^{m} n (- 1)^{n - 1}

อนุกรมนี้เป็นอนุกรมลู่ออก เพราะลำดับของผลรวมจำกัดพจน์ (1, -1, 2, -2, …) ไม่ลู่เข้าหาลิมิตที่เป็นจำนวนจำกัดใด ๆ อย่างไรก็ตาม มีปฏิทรรศน์จำนวนมากที่แสดงว่าอนุกรมนี้มีลิมิต ในคริสต์ศตวรรษที่ 18 เลออนฮาร์ด ออยเลอร์ ได้เขียนสมการซึ่งเขายอมรับว่าเป็นปฏิทรรศน์ต่อไปนี้

1 - 2 + 3 - 4 + \dots = \frac{1}{4}

เป็นเวลานานกว่าจะมีคำอธิบายอย่างชัดเจนถึงสมการดังกล่าว ตั้งแต่ปี พ.ศ. 2433 แอร์เนสโต เชซะโร, เอมีล บอแรล และนักคณิตศาสตร์คนอื่น ๆ ได้ร่วมกันพัฒนาวิธีการนิยามผลรวมของอนุกรมลู่ออกทั่วไป วิธีเหล่านั้นจำนวนมากต่างได้นิยามค่า 1 − 2 + 3 − 4 + … ให้ "เท่ากับ" 1/4 ผลรวมเซซาโรเป็นหนึ่งในวิธีการที่ไม่สามารถนิยามค่าของ 1 − 2 + 3 − 4 + … ได้ อนุกรมนี้จึงเป็นหนึ่งในตัวอย่างที่ต้องใช้วิธีการที่แรงกว่าเพื่อนิยามค่า เช่น ผลรวมอาเบล

อนุกรม 1 − 2 + 3 − 4 + … เป็นอนุกรมที่เกี่ยวข้องกับอนุกรมแกรนดี 1 − 1 + 1 − 1 + … ออยเลอร์ได้พิจารณาอนุกรมทั้งสองว่าเป็นกรณีเฉพาะของอนุกรม แม่แบบ:Nowrap งานวิจัยของเขาได้ต่อยอดไปสู่การศึกษาเรื่องปัญหาบาเซิล ซึ่งนำไปสู่สมการเชิงฟังก์ชันที่ปัจจุบันรู้จักกันในชื่อฟังก์ชันอีตาของดิริชเลต์และฟังก์ชันซีตาของรีมันน์

คำอธิบายเกี่ยวกับปฏิทรรศน์

ในทางคณิตศาสตร์ ถ้ามีชุดของกฎที่สอดคล้องกับตัวมันเองแล้ว เราจะสามารถใช้งานกฎเหล่านั้นได้ แม้ตามนิยามของคำว่า "ผลรวม" และ "เท่ากับ" ที่เราใช้กันอยู่ทุกวันนี้ อาจไม่สามารถอธิบายให้ 1 – 2 + 3 – 4 + ... เท่ากับค่าใดค่าหนึ่งได้ แต่ยังมีอีกหลายวิธีที่จะนิยามคำว่า "ผลรวม" และ "เท่ากับ" ซึ่งไม่ขัดกับสามัญสำนึก และยังสามารถนิยามค่าของอนุกรมดังกล่าวได้ ตัวอย่างวิธีการหนึ่งเช่น หากนำอนุกรม (1 – 2 + 3 – 4 + ...) มาหาผลบวกกับตัวเอง 4 ครั้งในตำแหน่งที่เหมาะสม พจน์ที่เป็นจำนวนเต็มบวกและจำนวนเต็มลบจะตัดกันไปหมด ยกเว้น "1" ดังนั้น ผลบวกของอนุกรมนี้ซ้ำกัน 4 ครั้งมีค่าเท่ากับ 1 ตัวอนุกรมนี้จึงมีค่าเท่ากับ 1/4

  1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 + . . . . . 
    + 1 - 2 + 3 - 4 + 5 - . . . . . 
    + 1 - 2 + 3 - 4 + 5 - . . . . . . 
        + 1 - 2 + 3 - 4 + . . . . . . . 
--------------------------------------------
= 1 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + . . .

การลู่ออกของอนุกรม

แต่ละพจน์ของอนุกรม (1, −2, 3, −4, ...) ไม่ลู่เข้าสู่ศูนย์ จากการทดสอบพจน์จึงสรุปได้ว่าอนุกรม 1 − 2 + 3 − 4 + ... ลู่ออก นอกจากนี้ ยังสามารถสังเกตการลู่เข้าหรือลู่ออกของอนุกรมนี้ได้จากลำดับของผลรวมจำกัดพจน์ของอนุกรม ดังต่อไปนี้^[1]

1 = 1,

1 − 2 = −1,

1 − 2 + 3 = 2,

1 − 2 + 3 − 4 = −2,

1 − 2 + 3 − 4 + 5 = 3,

1 − 2 + 3 − 4 + 5 − 6 = −3,

…

ลำดับดังกล่าวประกอบด้วยจำนวนเต็มบวกทุกตัวยกเว้นศูนย์ (และจะรวมศูนย์ด้วยหากนับผลรวมว่าง) ลำดับดังกล่าวจึงแสดงให้เห็นว่าเซต $ℤ$ ของจำนวนเต็มเป็นเซตนับได้^[2] เห็นได้ชัดว่าลำดับดังกล่าวไม่ได้ลู่เข้าหาค่าคงที่ใด ๆ ดังนั้น อนุกรม 1 − 2 + 3 − 4 + … เป็นอนุกรมลู่ออก

การหาผลรวมของอนุกรม

ความเสถียรและความเป็นเชิงเส้น

แต่ละพจน์ของอนุกรม 1, −2, 3, −4, 5, −6, ... มีรูปแบบที่เรียบง่าย เราจึงสามารถจัดการขยับพจน์ต่าง ๆ ในตำแหน่งที่เหมาะสม เพื่อให้รวมกันแล้วเป็นค่าคงที่ได้ ถ้าหากกำหนดให้ แม่แบบ:Nowrap สำหรับบางจำนวน s เราจะสามารถสร้างปฏิทรรศน์ที่แสดงว่า s = แม่แบบ:Frac ได้ดังนี้^[3]

\begin{matrix} 4 s & = & (1 - 2 + 3 - 4 + \dots) & + (1 - 2 + 3 - 4 + \dots) & + (1 - 2 + 3 - 4 + \dots) & + (1 - 2 + 3 - 4 + \dots) \\ = & (1 - 2 + 3 - 4 + \dots) & + 1 + (- 2 + 3 - 4 + 5 + \dots) & + 1 + (- 2 + 3 - 4 + 5 + \dots) & + (1 - 2) + (3 - 4 + 5 - 6 \dots) \\ = & (1 - 2 + 3 - 4 + \dots) & + 1 + (- 2 + 3 - 4 + 5 + \dots) & + 1 + (- 2 + 3 - 4 + 5 + \dots) & - 1 + (3 - 4 + 5 - 6 \dots) \\ = & 1 + & (1 - 2 + 3 - 4 + \dots) & + (- 2 + 3 - 4 + 5 + \dots) & + (- 2 + 3 - 4 + 5 + \dots) & + (3 - 4 + 5 - 6 \dots) \\ = & 1 + [ & (1 - 2 - 2 + 3) & + (- 2 + 3 + 3 - 4) & + (3 - 4 - 4 + 5) & + (- 4 + 5 + 5 - 6) + \dots] \\ = & 1 + [ & 0 + 0 + 0 + 0 + \dots] \\ 4 s & = & 1 \end{matrix}

จึงได้ว่า $s = \frac{1}{4}$ ดังที่แสดงในแผนภาพด้านขวา

ถึงแม้ในความเป็นจริง เราจะไม่สามารถหาผลรวมของอนุกรม 1 − 2 + 3 − 4 + ... ได้ แต่สมการ แม่แบบ:Nowrap ก็เป็นคำตอบที่เป็นธรรมชาติที่สุดหากต้องนิยามผลรวมขึ้นมา ในกรณีทั่วไป การหาวิธีนิยาม "ผลรวม" ของอนุกรมลู่ออกต่าง ๆ เรียกว่าวิธีหาผลรวม ซึ่งมีอยู่หลายวิธี และสามารถแบ่งหมวดหมู่ได้ตามสมบัติของมันที่เหมือนกับการหาผลรวมปกติ การหาผลรวมของอนุกรมตามวิธีการข้างต้นนั้นได้แสดงว่า วิธีหาผลรวมใด ๆ ที่เป็นเชิงเส้นและเสถียร จะหาผลรวมของ 1 − 2 + 3 − 4 + ... ได้เท่ากับ แม่แบบ:Frac เสมอ^[4] นอกจากนี้ วิธีการข้างต้นยังได้แสดงถึงความสัมพันธ์ของอนุกรม 1 − 2 + 3 − 4 + … และอนุกรมแกรนดี 1 - 1 + 1 - 1 + … กล่าวคือ

\begin{matrix} 2 s & = & (1 - 2 + 3 - 4 + \dots) & + & (1 - 2 + 3 - 4 + \dots) \\ = & 1 + & (- 2 + 3 - 4 + \dots) & + 1 - 2 & + (3 - 4 + 5 \dots) \\ = & 0 + & (- 2 + 3) + (3 - 4) + (- 4 + 5) + \dots \\ 2 s & = & 1 - 1 + 1 - 1 \dots \end{matrix}

ซึ่ง $s = \frac{1}{4}$ ทำให้นำไปสู่ปฏิทรรศน์ที่แสดงว่า 1 - 1 + 1 - 1 + … = แม่แบบ:Frac^[5]

ผลคูณโคชี

ใน พ.ศ. 2434 แอร์เนสโต เชซะโร ได้คาดหวังว่าจะมีการนำอนุกรมลู่ออกมาใช้อย่างมากในแคลคูลัส เขาได้ระบุว่า "เราสามารถเขียนให้ แม่แบบ:Nowrap และยืนยันได้ว่าทั้งสองข้างนั้นเท่ากับ แม่แบบ:Frac"^[6] สมการดังกล่าวเป็นกรณีทั่วไปของทฤษฎีบทที่เชซะโรได้ตีพิมพ์ในปีก่อนหน้า ซึ่งอาจกล่าวได้ว่าเป็นทฤษฎีบทแรกในประวัติศาสตร์ของการหาผลรวมอนุกรมลู่ออก วิธีการหาผลรวมของเซซาโรใช้แนวคิดหลักที่ว่าอนุกรม 1 − 2 + 3 − 4 + … นั้นเกิดจากผลคูณโคชีของ 1 - 1 + 1 - 1 + … กับ 1 - 1 + 1 - 1 + …

นิยามของผลคูณโคชีนั้นได้รวมถึงกรณีที่อนุกรมทั้งสองลู่ออกด้วย สำหรับ Σa_n = Σb_n = Σ (−1) ⁿ เมื่อหาผลคูณโคชีตามนิยามจะได้

\begin{matrix} c_{n} & = & \sum_{k = 0}^{n} a_{k} b_{n - k} = \sum_{k = 0}^{n} (- 1)^{k} (- 1)^{n - k} \\ = & \sum_{k = 0}^{n} (- 1)^{n} = (- 1)^{n} (n + 1) \end{matrix}

ผลคูณโคชีของอนุกรมจึงมีค่าเท่ากับ

\sum_{n = 0}^{\infty} (- 1)^{n} (n + 1) = 1 - 2 + 3 - 4 + \dots

ดังนั้น วิธีหาผลรวมใด ๆ ที่ยอมรับผลคูณโคชีของอนุกรม และกำหนดผลรวมของ 1 − 1 + 1 − 1 + ... เท่ากับ แม่แบบ:Frac จะหาผลรวมของ 1 − 2 + 3 − 4 + … ได้เท่ากับ แม่แบบ:Frac เสมอ ผลลัพธ์ดังกล่าวยังแสดงถึงความสมมูลกันในเชิงการหาผลรวมได้ของอนุกรม 1 − 1 + 1 − 1 + ... และ 1 − 2 + 3 − 4 + ... ด้วยวิธีหาผลรวมที่เป็นเชิงเส้น เสถียร และยอมรับผลคูณโคชี

วิธีการดังกล่าวเป็นเพียงตัวอย่างขั้นพื้นฐาน อนุกรม 1 - 1 + 1 - 1 + … จัดว่าเป็นอนุกรมที่อ่อนที่สุดในเชิงการหาผลรวมเซซาโร เรียกว่าหาผลรวมได้แบบ (C, 1) ในขณะที่ 1 − 2 + 3 − 4 + … เป็นอนุกรมที่ต้องใช้ทฤษฎีที่แรงขึ้นในการหาผลรวม เรียกว่าหาผลรวมได้แบบ (C, 2)^[7]

วิธีต่าง ๆ ในการหาผลรวม

มีหลายวิธีการในการนิยามผลรวมของอนุกรม 1 − 2 + 3 − 4 + … เช่น

เซซาโรและเฮิลเดอร์

การหาผลรวมเซซาโร (C, 1) ของ 1 − 2 + 3 − 4 + … ทำโดยการคำนวณค่าเฉลี่ยเลขคณิตของผลรวมจำกัดพจน์ ผลรวมจำกัดพจน์เหล่านั้นได้แก่

1, −1, 2, −2, 3, −3, …

ซึ่งมีค่าเฉลี่ยเลขคณิตคือ

1, 0, แม่แบบ:Frac, 0, แม่แบบ:Frac, 0, แม่แบบ:Frac, …

ลำดับดังกล่าวเป็นลำดับลู่ออก ดังนั้นจึงไม่สามารถหาผลรวมเซซาโรของอนุกรม 1 − 2 + 3 − 4 + … ได้

มีอย่างน้อยสองวิธีในการขยายผลรวมเซซาโรไปสู่รูปทั่วไป วิธีแรกประกอบด้วยลำดับของวิธีการ (H, n) เมื่อ n เป็นจำนวนเต็มบวกใด ๆ เริ่มจาก (H, 1) คือผลรวมเซซาโร และผลรวมขั้นที่สูงขึ้นเกิดจากการหาค่าเฉลี่ยเลขคณิตของผลรวมขั้นที่ต่ำกว่าซ้ำอีกครั้ง เช่น ในตัวอย่างข้างต้น ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของพจน์คู่ลู่เข้าสู่ แม่แบบ:Frac ส่วนค่าเฉลี่ยเลขคณิตของพจน์คี่เป็นศูนย์เสมอ ดังนั้น หากเราหาค่าเฉลี่ยเลขคณิตของค่าเฉลี่ยเลขคณิตเหล่านั้นทั้งหมดอีกครั้ง คำตอบที่ได้จะลู่เข้าสู่ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของ 0 และ แม่แบบ:Frac นั่นคือ แม่แบบ:Frac^[8] ดังนั้น 1 − 2 + 3 − 4 + ... สามารถหาผลรวมได้แบบ (H, 2) ซึ่งเท่ากับ แม่แบบ:Frac

อักษร "H" มาจากชื่อของ ออทโท เฮิลเดอร์ ซึ่งเป็นผู้พิสูจน์ถึงความเชื่อมโยงระหว่างผลรวมอาเบลและผลรวม (H, n) ในปี พ.ศ. 2425 โดยอนุกรม 1 − 2 + 3 − 4 + … เป็นตัวอย่างแรกที่เขาใช้^[9] การที่ แม่แบบ:Frac เป็นผลรวม (H, 2) ของ 1 − 2 + 3 − 4 + … ได้ยืนยันว่ามันเป็นผลรวมอาเบลของอนุกรมดังกล่าวเช่นกัน

อีกวิธีหนึ่งในการขยายผลรวมเซซาโรไปสู่รูปทั่วไปประกอบด้วยลำดับของวิธีการ (C, n) ซึ่งได้มีการพิสูจน์ว่าผลรวม (C, n) และ (H, n) จะมีค่าเท่ากันเสมอ แม้ว่าวิธีทั้งสองจะมีที่มาแตกต่างกัน ในปี พ.ศ. 2430 เซซาโรได้ยกตัวอย่างของการหาผลรวม (C, n) จำนวนหนึ่ง และได้นิยามวิธีการดังกล่าวอย่างเป็นทางการในปี พ.ศ. 2433 พร้อมกับเสนอทฤษฎีบทของเขาที่พิสูจน์ว่าผลคูณโคชีของอนุกรมที่หาผลรวมได้แบบ (C, m) และอนุกรมที่หาผลรวมได้แบบ (C, n) จะหาผลรวมได้แบบ (C, m + n + 1)^[10]

ผลรวมอาเบล

จากรายงานใน พ.ศ. 2292 เลออนฮาร์ด ออยเลอร์ ได้ยอมรับว่าอนุกรมนี้เป็นอนุกรมลู่ออก แต่ต้องการที่จะหาผลรวมให้ได้:

แม่แบบ:คำพูด

ออยเลอร์ได้เสนอรูปทั่วไปของคำว่า "ผลรวม" หลายครั้ง ในกรณีของ 1 − 2 + 3 − 4 + ... แนวคิดของเขาคล้ายคลึงกับผลรวมอาเบล:

แม่แบบ:คำพูด

สำหรับจำนวนจริง x ที่มีค่าสัมบูรณ์ |x| < 1 จะได้ว่า

1 - 2 x + 3 x^{2} - 4 x^{3} + \dots = \frac{1}{(1 + x)^{2}}

ซึ่งสามารถพิสูจน์ได้โดยการกระจายอนุกรมเทย์เลอร์ของฝั่งขวาของสมการ หรือโดยขั้นตอนการหารยาวพหุนาม หากเริ่มจากฝั่งซ้ายของสมการ เราสามารถคูณ (1+x) สองครั้ง หรือสามารถยกกำลังสองอนุกรมเรขาคณิต แม่แบบ:Nowrap นอกจากนี้ ออยเลอร์ได้แนะนำให้หาอนุพันธ์ทีละพจน์ของอนุกรมดังกล่าว^[11]

ในมุมมองปัจจุบัน อนุกรม 1 − 2x + 3x² − 4x³ + … ไม่นิยามเป็นฟังก์ชันเมื่อ x = 1 เราจึงไม่สามารถแทนค่า x = 1 โดยตรงเพื่อให้เกิดนิพจน์ดังกล่าวได้ อย่างไรก็ตาม ฟังก์ชันนี้ได้นิยามค่าสำหรับทุก แม่แบบ:Nowrap เราจึงสามารถหาลิมิตเมื่อ x เข้าใกล้ 1 ได้ และเป็นนิยามของผลรวมอาเบลดังนี้

\lim_{x \to 1^{-}} \sum_{n = 1}^{\infty} n (- x)^{n - 1} = \lim_{x \to 1^{-}} \frac{1}{(1 + x)^{2}} = \frac{1}{4}

ออยเลอร์และบอแรล

แผนภาพแสดงผลรวมออยเลอร์ แม่แบบ:Frac − แม่แบบ:Frac

ออยเลอร์ได้พัฒนาวิธีการอื่นในการหาผลรวมของอนุกรม 1 − 2 + 3 − 4 + … เรียกว่าการแปลงออยเลอร์ วิธีคำนวณการแปลงออยเลอร์นั้นเริ่มจากลำดับของจำนวนเต็มบวกที่ประกอบกันเป็นอนุกรมสลับ ได้แก่ 1, 2, 3, 4, … เรียกพจน์แรกของลำดับนี้ว่า a₀

จากนั้น สร้างลำดับของผลต่างของพจน์ถัดกันในลำดับ 1, 2, 3, 4, ... ซึ่งจะได้ลำดับ 1, 1, 1, 1, … และเรียกพจน์แรกของลำดับนี้ว่า Δa₀ การแปลงออยเลอร์นั้นขึ้นกับลำดับที่เกิดจากการหาผลต่างของพจน์ถัดกันของลำดับนี้ในขั้นที่สูงขึ้นไปเรื่อย ๆ แต่ในกรณีนี้ลำดับขั้นต่อ ๆ ไปจะเป็นศูนย์ทั้งหมด การแปลงออยเลอร์ของ 1 − 2 + 3 − 4 + … นิยามโดย

\frac{1}{2} a_{0} - \frac{1}{4} Δ a_{0} + \frac{1}{8} Δ^{2} a_{0} - \dots = \frac{1}{2} - \frac{1}{4} = \frac{1}{4}

จึงกล่าวได้ว่า 1 − 2 + 3 − 4 + … สามารถหาผลรวมแบบออยเลอร์ได้ ซึ่งเท่ากับ แม่แบบ:Frac

ผลรวมออยเลอร์ยังนำไปสู่การหาผลรวมของอนุกรมในวิธีอื่น เริ่มจากการเขียนอนุกรม 1 − 2 + 3 − 4 + … ในรูป

\sum_{k = 0}^{\infty} a_{k} = \sum_{k = 0}^{\infty} (- 1)^{k} (k + 1)

เราจะได้อนุกรมที่ลู่เข้าทุกจุด

a (x) = \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{(- 1)^{k} (k + 1) x^{k}}{k!} = e^{- x} (1 - x)

ผลรวมบอแรลของ 1 − 2 + 3 − 4 + ... จึงมีค่าเท่ากับ^[12]

\int_{0}^{\infty} e^{- x} a (x) d x = \int_{0}^{\infty} e^{- 2 x} (1 - x) d x = \frac{1}{2} - \frac{1}{4} = \frac{1}{4}

การแยกสเกล

ไซเชฟและวอยซีนสกีได้แสดงว่า 1 − 2 + 3 − 4 + … = แม่แบบ:Frac โดยใช้หลักการทางฟิสิกส์เรื่องการคลายตัวในปริมาณเล็กน้อย (infinitesimal relaxation) และการแยกสเกล (separation of scales) หลักการเหล่านี้ได้นำไปสู่นิยามของกลุ่มของ "วิธีการหาผลรวมแบบ φ" ซึ่งวิธีการทั้งหมดหาผลรวมของอนุกรมนี้ได้เท่ากับ แม่แบบ:Frac

ถ้า φ (x) เป็นฟังก์ชันที่ต่อเนื่องและหาอนุพันธ์ลำดับที่หนึ่งและลำดับที่สองได้ในช่วง (0, ∞) โดยที่ φ (0) = 1 และลิมิตของ φ (x) และ xφ (x) เข้าสู่ +∞ เป็นศูนย์ แล้วจะได้ว่า^[13]

\lim_{δ ↓ 0} \sum_{m = 0}^{\infty} (- 1)^{m} (m + 1) φ (δ m) = \frac{1}{4}

ผลลัพธ์ดังกล่าวเป็นรูปทั่วไปของผลรวมอาเบล ซึ่งเกิดจากการให้ φ (x) = exp (−x) ผลลัพธ์ในรูปทั่วไปนี้สามารถพิสูจน์ได้โดยการจับคู่พจน์ในอนุกรมและแปลงนิพจน์ให้เป็นอินทิกรัลแบบรีมันน์ การพิสูจน์อนุกรม 1 − 1 + 1 − 1 + ... ด้วยวิธีเดียวกันอาศัยทฤษฎีบทค่าเฉลี่ยในการพิสูจน์ แต่สำหรับอนุกรมนี้ต้องอาศัยทฤษฎีบทของเทย์เลอร์ในรูปแบบลากร็องฌ์

รูปทั่วไป

ผลคูณโคชีชั้นที่สามของ 1 - 1 + 1 - 1 + … คือ 1 - 3 + 6 - 10 + … ซึ่งเป็นอนุกรมสลับของจำนวนสามเหลี่ยม โดยมีผลรวมอาเบลและผลรวมออยเลอร์เป็น แม่แบบ:Frac^[14] ผลคูณโคชีชั้นที่สี่ของ 1 + 1 - 1 + 1 - … คือ 1 - 4 + 10 - 20 + … ซึ่งเป็นอนุกรมสลับของจำนวนทรงสี่หน้า โดยมีผลรวมอาเบลเป็น แม่แบบ:Frac

รูปแบบทั่วไปอีกรูปแบบหนึ่งของอนุกรม 1 − 2 + 3 − 4 + … ที่แตกต่างออกไปเล็กน้อยคืออนุกรม แม่แบบ:Nowrap สำหรับจำนวนเต็มบวก n อนุกรมดังกล่าวจะสามารถหาผลรวมอาเบลได้ดังนี้:^[15]

1 - 2^{n} + 3^{n} - \dots = \frac{2^{n + 1} - 1}{n + 1} B_{n + 1}

เมื่อ B_n เป็นจำนวนแบร์นูลลี สำหรับจำนวนเต็มบวกคู่ n = 2k ผลรวมจะสามารถลดรูปได้เป็น

1 - 2^{2 k} + 3^{2 k} - \dots = 0

ผลรวมสุดท้ายนั้นได้ถูกกล่าวถึงในเชิงขบขันโดย นีลส์ เฮนริก อาเบล ในปี พ.ศ. 2469:

แม่แบบ:คำพูด

อาจารย์ของเชซะโร เออแฌน ชาร์ล กาตาล็อง เป็นผู้ที่ไม่สนใจในอนุกรมลู่ออกเช่นกัน ด้วยอิทธิพลของกาตาล็อง ในตอนแรกเชซะโรเคยเรียกสูตรทั่วไปของ แม่แบบ:Nowrap ว่าเป็น "สมการที่น่าขัน" ต่อมาในปี พ.ศ. 2426 เขาได้แสดงความเห็นว่าสูตรนั้นผิดแต่มีประโยชน์ จนในที่สุด เมื่อ พ.ศ. 2433 เชซะโรจึงได้เริ่มศึกษาสูตรดังกล่าวด้วยวิธีสมัยใหม่ และได้ตีพิมพ์เป็นผลงานชื่อ Sur la multiplication des séries ("ว่าด้วยการคูณอนุกรม")^[16]

ได้มีการศึกษาอนุกรมนี้สำหรับค่า n ที่ไม่เป็นจำนวนเต็มด้วย ซึ่งนำไปสู่ฟังก์ชันอีตาของดิริชเลต์ ส่วนหนึ่งของแรงบันดาลใจที่ทำให้ออยเลอร์ศึกษาอนุกรมที่เกี่ยวข้องกับ 1 − 2 + 3 − 4 + ... คือสมการเชิงฟังก์ชันของฟังก์ชันอีตา ซึ่งนำไปสู่สมการเชิงฟังก์ชันฟังก์ชันซีตาของรีมันน์ ออยเลอร์ได้มีชื่อเสียงจากการหาค่าของฟังก์ชันดังกล่าวสำหรับจำนวนคู่ (รวมถึงปัญหาบาเซิล) และได้พยายามที่จะหาค่าของฟังก์ชันสำหรับจำนวนคี่ แต่ก็ยังไม่มีใครสามารถหาได้จนถึงปัจจุบัน ฟังก์ชันอีตานั้นง่ายกว่าที่จะจัดการด้วยวิธีของออยเลอร์ เนื่องจากลำดับดิริชเลต์ของมันสามารถหาผลรวมอาเบลได้ในทุกจุด ในขณะที่ฟังก์ชันซีตานั้นหาผลรวมได้ยากในจุดที่มันลู่ออก^[17] ตัวอย่างเช่น ฟังก์ชันซีตาของอนุกรม 1 − 2 + 3 − 4 + ... คืออนุกรม 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ ซึ่งต้องใช้วิธีการที่ยากมากในการหาผลรวม

ดูเพิ่ม

อ้างอิง

แม่แบบ:รายการอ้างอิง

บรรณานุกรม

แม่แบบ:เริ่มอ้างอิง

แม่แบบ:Cite book
แม่แบบ:Cite book
แม่แบบ:Cite book
แม่แบบ:Cite web Originally published as แม่แบบ:Cite journal
แม่แบบ:Cite journal
แม่แบบ:Cite book
แม่แบบ:Cite book 2nd Ed. published by Chelsea Pub. Co., 1991. แม่แบบ:LCCN. แม่แบบ:ISBN.
แม่แบบ:Cite journal
แม่แบบ:Cite book
แม่แบบ:Cite book
แม่แบบ:Cite book Author also known as A. I. Markushevich and Alekseï Ivanovitch Markouchevitch. Also published in Boston, Mass by Heath with แม่แบบ:Oclc. Additionally, แม่แบบ:Oclc, แม่แบบ:Oclc.
แม่แบบ:Cite book
แม่แบบ:Cite book
แม่แบบ:Cite journal
แม่แบบ:Cite book

แม่แบบ:จบอ้างอิง

↑ Hardy, p.8
↑ Beals, p.23
↑ Hardy (p.6) นำเสนอสมการดังกล่าวพร้อมกับการหาค่าอนุกรมแกรนดี 1 − 1 + 1 − 1 + ...
↑ Hardy p.6
↑ Hardy p.6
↑ Ferraro, p.130
↑ Hardy, p.3; Weidlich, pp.52–55
↑ Hardy, p.9; สำหรับการคำนวณอย่างละเอียด, ดู Weidlich, pp.17–18
↑ Ferraro, p.118; Tucciarone, p.10. Ferraro วิจารณ์คำอธิบายของ Tucciarone (p.7) เกี่ยวกับวิธีที่เฮิลเดอร์หาผลลัพธ์ในกรณีทั่วไป แต่ทั้งสองอธิบายถึงวิธีการที่เฮิลเดอร์จัดการกับอนุกรม 1 − 2 + 3 − 4 + ... ได้คล้ายคลึงกัน
↑ Ferraro, pp.123–128
↑ ตัวอย่างเช่น Lavine (p.23) แนะนำการหารยาวแต่ไม่ได้ดำเนินการต่อ; Vretblad (p.231) คำนวณผลคูณโคชี; คำแนะนำของออยเลอร์นั้นไม่ชัดเจน; ดู Euler et al., pp.3, 26
↑ Weidlich p. 59
↑ Saichev and Woyczyński, pp.260–264
↑ Kline, p.313
↑ Knopp, p.491; ดูเหมือนมีข้อผิดพลาดปรากฏที่จุดนี้ใน Hardy, p.3
↑ Ferraro, pp.120–128
↑ Euler et al., pp.20–25

[1] Hardy, p.8

[2] Beals, p.23

[3] Hardy (p.6) นำเสนอสมการดังกล่าวพร้อมกับการหาค่าอนุกรมแกรนดี 1 − 1 + 1 − 1 + ...

[4] Hardy p.6

[5] Hardy p.6

[6] Ferraro, p.130

[7] Hardy, p.3; Weidlich, pp.52–55

[8] Hardy, p.9; สำหรับการคำนวณอย่างละเอียด, ดู Weidlich, pp.17–18

[9] Ferraro, p.118; Tucciarone, p.10. Ferraro วิจารณ์คำอธิบายของ Tucciarone (p.7) เกี่ยวกับวิธีที่เฮิลเดอร์หาผลลัพธ์ในกรณีทั่วไป แต่ทั้งสองอธิบายถึงวิธีการที่เฮิลเดอร์จัดการกับอนุกรม 1 − 2 + 3 − 4 + ... ได้คล้ายคลึงกัน

[10] Ferraro, pp.123–128

[11] ตัวอย่างเช่น Lavine (p.23) แนะนำการหารยาวแต่ไม่ได้ดำเนินการต่อ; Vretblad (p.231) คำนวณผลคูณโคชี; คำแนะนำของออยเลอร์นั้นไม่ชัดเจน; ดู Euler et al., pp.3, 26

[12] Weidlich p. 59

[13] Saichev and Woyczyński, pp.260–264

[14] Kline, p.313

[15] Knopp, p.491; ดูเหมือนมีข้อผิดพลาดปรากฏที่จุดนี้ใน Hardy, p.3

[16] Ferraro, pp.120–128

[17] Euler et al., pp.20–25

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

1 − 2 + 3 − 4 + · · ·

เนื้อหา

คำอธิบายเกี่ยวกับปฏิทรรศน์

การลู่ออกของอนุกรม