อนุกรมเรขาคณิต

ในทางคณิตศาสตร์ อนุกรมเรขาคณิต เป็นอนุกรมที่พจน์ต่าง ๆ ถูกสร้างขึ้นโดยการคูณพจน์ก่อนหน้าด้วยค่าคงตัวค่าหนึ่ง นั่นคือมาจากลำดับเรขาคณิต ตัวอย่างเช่น

$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\cdots =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{2^n}$

และโดยทั่วไป อนุกรมเรขาคณิต

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}a{r}^n$

จะเป็นอนุกรมลู่เข้าก็ต่อเมื่อ $|r|<1$

ผลรวม

ผลรวมย่อย

ผลรวมย่อยของ n พจน์แรกคือ

$\sum _{k=0}^{n}a{r}^k=a{r}^0+a{r}^1+a{r}^2+a{r}^3+\cdots +a{r}^n$

คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย $(1-r)$ได้

$\begin{array}{cc}(1-r)\sum _{k=0}^{n}a{r}^k& =(1-r)(a+ar+a{r}^2+...+a{r}^n)\\ & =(a+ar+a{r}^2+...+a{r}^n)-r(a+ar+a{r}^2+...+a{r}^n)\\ & =(a+\cancel{ar}+\cancel{a{r}^2}+...+\cancel{a{r}^n})-(\cancel{ar}+\cancel{a{r}^2}+\cancel{a{r}^3}...+a{r}^{n+1})\\ & =a-a{r}^{n+1}\end{array}$

ซึ่งพจน์อื่น ๆ จะตัดกันหายไปหมด จัดรูปแบบใหม่ จะได้สูตรสำหรับคำนวณผลรวม โดยที่ r ≠ 1

$\sum _{k=0}^{n}a{r}^k=\frac{a(r^{n+1}-1)}{r-1}$

ดังนั้นกรณีทั่วไปของสูตรนี้คือ

$\sum _{k=m}^{n}a{r}^k=\frac{a(r^{n+1}-r^m)}{r-1}$

สำหรับอนุกรมเรขาคณิตที่มีแต่เลขชี้กำลังของ r เป็นจำนวนคู่ คูณทั้งสองข้างด้วย $(1-r^2)$

$(1-r^2)\sum _{k=0}^{n}a{r}^{2k}=a-a{r}^{2n+2}$

จะได้สูตร

$\sum _{k=0}^{n}a{r}^{2k}=\frac{a(1-r^{2n+2})}{1-r^2}$

ส่วนเลขชี้กำลังของ r ที่มีแต่จำนวนคี่

$(1-r^2)\sum _{k=0}^{n}a{r}^{2k+1}=ar-a{r}^{2n+3}$

จะได้สูตร

$\sum _{k=0}^{n}a{r}^{2k+1}=\frac{ar(1-r^{2n+2})}{1-r^2}$

ผลรวมทั้งหมด

สามารถคำนวณได้จากสูตรของผลรวมจำกัด

$\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}a{r}^k=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\sum _{k=0}^{n}a{r}^k=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{a(1-r^{n+1})}{1-r}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{a}{1-r}-\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{a{r}^{n+1}}{1-r}$

ซึ่ง $r^k$ จะมีค่าเข้าใกล้ 0 เมื่อ k มีค่าเข้าใกล้อนันต์ก็ต่อเมื่อ $|r|<1$ ดังนั้น

$\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}a{r}^k=\frac{a}{1-r}-0=\frac{a}{1-r}$

สำหรับอนุกรมเรขาคณิตที่มีแต่เลขชี้กำลังของ r เป็นจำนวนคู่ จะได้สูตร

$\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}a{r}^{2k}=\frac{a}{1-r^2}$

ส่วนเลขชี้กำลังของ r ที่มีแต่จำนวนคี่ จะได้สูตร

$\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}a{r}^{2k+1}=\frac{ar}{1-r^2}$

โดยที่สูตรทั้งหมดด้านบนจะใช้ได้เมื่อ $|r|<1$ เท่านั้น นอกเหนือจากนี้จะเป็นอนุกรมลู่ออก

การนำไปใช้

ทศนิยมซ้ำ

สูตรผลรวมของอนุกรมเรขาคณิตใช้เขียนทศนิยมซ้ำเป็นเศษส่วนได้ โดยตัวอย่างเช่น 0.121212... เขียนได้เป็นอนุกรมเรขาคณิตที่มี a = 12/100 และ r = 1/100 ดังนี้

$\begin{array}{cc}0.121212...& =0.12+0.0012+0.000012+...\\ & =\frac{12}{100}+\frac{12}{10000}+\frac{12}{1000000}+...\\ & =\frac{12}{100}+\frac{12}{100}\left(\frac{1}{100}\right)+\frac{12}{100}{\left(\frac{1}{100}\right)}^2+...\\ & =\frac{12/100}{1-1/100}=\frac{12/100}{99/100}=\frac{12}{99}=\frac{4}{33}\end{array}$

ในทำนองเดียวกันสามารถพิสูจน์ได้ว่า ทศนิยมซ้ำที่มีช่วงซ้ำยาว n หลัก จะสามารถเขียนในรูปของเศษส่วนที่มีเศษเป็นชุดตัวเลขที่ซ้ำ และส่วนเป็น 10ⁿ - 1

อนุกรมกำลัง

จากสูตร

$\frac{1}{1-x}=1+x+x^2+x^3+x^4...+x^n+...$ เมื่อ $|x|<1$

สามารถนำไปพิสูจน์อนุกรมอื่น ๆ ได้โดยแคลคูลัส เช่น เมื่อนำสูตรนี้ไปหาอนุพันธ์ซ้ำ ๆ จะได้

$\frac{1}{(1-x{)}^2}=1+2x+3x^2+4x^3+5x^4+...+...+n{x}^{n-1}+...$ เมื่อ $|x|<1$

$\frac{1}{(1-x{)}^3}=2+6x+12x^2+20x^3+30x^4+...+n(n-1)x^{n-2}+...$ เมื่อ $|x|<1$

$\frac{1}{(1-x{)}^4}=6+24x+60x^2+120x^3+210x^4...+n(n-1)(n-2)x^{n-3}+...$ เมื่อ $|x|<1$

เป็นเช่นนี้เรื่อยไป
แม่แบบ:โครงคณิตศาสตร์