ลำดับเรขาคณิต

ในทางคณิตศาสตร์ ลำดับเรขาคณิต (แม่แบบ:Langx) คือลำดับของจำนวนซึ่งอัตราส่วนของสมาชิกสองตัวที่อยู่ติดกันในลำดับเป็นค่าคงตัวที่ไม่เป็นศูนย์ ซึ่งอัตราส่วนนั้นเรียกว่า อัตราส่วนร่วม (common ratio) ตัวอย่างเช่น ลำดับ 2, 6, 18, 54, ... เป็นลำดับเรขาคณิตซึ่งมีอัตราส่วนร่วมเท่ากับ 3 และลำดับ 10, 5, 2.5, 1.25, ... มีอัตราส่วนเท่ากับ 0.5 เป็นต้น

ถ้าหากพจน์เริ่มต้นของลำดับเรขาคณิตลำดับหนึ่งคือ a₁ และมีอัตราส่วนร่วม r ≠ 0 ดังนั้นพจน์ที่ n ของลำดับนี้คือ

$a_n=a_1{r}^{n-1}$

หรือในกรณีทั่วไป จะได้

$a_n=a_m{r}^{n-m}$

หรือเขียนได้ด้วยรูปแบบความสัมพันธ์เวียนเกิด

$a_n=r{a}_{n-1}$

สมบัติเบื้องต้น

การที่จะทำให้ทราบได้ว่าลำดับที่กำหนดให้เป็นลำดับเรขาคณิตหรือไม่ สามารถตรวจสอบได้จากอัตราส่วนของพจน์ที่อยู่ติดกัน ซึ่งจะมีค่าเท่ากันทั้งลำดับ อัตราส่วนร่วมอาจเป็นค่าติดลบก็ได้ ซึ่งจะทำให้เกิดลำดับสลับเครื่องหมาย หมายความว่าจำนวนจะสลับเครื่องหมายบวกลบตลอดทั้งลำดับ เช่น 1, −3, 9, −27, 81, −243, ... เป็นลำดับเรขาคณิตซึ่งมีอัตราส่วนร่วมเท่ากับ −3

พฤติกรรมของจำนวนในการลำดับเรขาคณิตขึ้นอยู่กับค่าของอัตราส่วนร่วม ดังนี้

• ถ้าเป็นจำนวนบวก ทุกพจน์จะมีเครื่องหมายเหมือนกับพจน์แรก
• ถ้าเป็นจำนวนลบ ทุกพจน์จะมีเครื่องหมายบวกลบสลับกัน
• ถ้ามากกว่า 1 ลำดับนั้นจะเพิ่มแบบชี้กำลัง (exponential growth) ไปยังอนันต์
• ถ้าเท่ากับ 1 ลำดับนั้นจะคงที่ทุกพจน์
• ถ้ามีค่าอยู่ระหว่าง −1 ถึง 1 แต่ไม่เป็น 0 ลำดับนั้นจะลดแบบชี้กำลัง (exponential decay) ไปยัง 0
• ถ้าเท่ากับ −1 ลำดับนั้นจะมีเครื่องหมายบวกลบสลับกัน แต่ค่าตัวเลขไม่เปลี่ยนแปลง
• ถ้าน้อยกว่า −1 ค่าสัมบูรณ์ของพจน์ต่างๆ จะเพิ่มแบบชี้กำลังไปยังอนันต์

จะเห็นว่าลำดับเรขาคณิต (ที่มีอัตราส่วนไม่ใช่ −1, 1 หรือ 0) แสดงให้เห็นถึงการเพิ่มหรือการลดแบบชี้กำลัง ต่างกับการเพิ่ม (หรือลด) แบบเชิงเส้นของลำดับเลขคณิต แต่ลำดับทั้งสองชนิดก็มีความเกี่ยวข้องกัน นั่นคือ ถ้าหากใส่ฟังก์ชันเลขชี้กำลังลงในทุกพจน์ของลำดับเลขคณิตก็จะได้ลำดับเรขาคณิต และหากใส่ฟังก์ชันลอการิทึมลงในทุกพจน์ของลำดับเรขาคณิตก็จะได้ลำดับเลขคณิต

ผลรวม

แม่แบบ:บทความหลัก ผลรวมของสมาชิกในลำดับเรขาคณิต เรียกว่า อนุกรมเรขาคณิต (แม่แบบ:Langx)

$\sum _{k=0}^{n}a{r}^k=a{r}^0+a{r}^1+a{r}^2+a{r}^3+\cdots +a{r}^n$

เราสามารถทำสูตรให้ง่ายขึ้นโดยการคูณทั้งสองข้างของสมการด้วย $(1-r)$ แล้วเราจะได้

$(1-r)\sum _{k=0}^{n}a{r}^k=a-a{r}^{n+1}$

ซึ่งพจน์อื่นๆ จะตัดกันหายไปหมด จัดรูปแบบใหม่ จะได้สูตรสำหรับคำนวณผลรวม โดยที่ r ≠ 1

$\sum _{k=0}^{n}a{r}^k=\frac{a(r^{n+1}-1)}{r-1}$

ดังนั้นกรณีทั่วไปของสูตรนี้คือ

$\sum _{k=m}^{n}a{r}^k=\frac{a(r^{n+1}-r^m)}{r-1}$

สำหรับอนุกรมเรขาคณิตที่มีแต่เลขชี้กำลังของ r เป็นจำนวนคู่ คูณทั้งสองข้างด้วย $(1-r^2)$

$(1-r^2)\sum _{k=0}^{n}a{r}^{2k}=a-a{r}^{2n+2}$

จะได้สูตร

$\sum _{k=0}^{n}a{r}^{2k}=\frac{a(1-r^{2n+2})}{1-r^2}$

ส่วนเลขชี้กำลังของ r ที่มีแต่จำนวนคี่

$(1-r^2)\sum _{k=0}^{n}a{r}^{2k+1}=ar-a{r}^{2n+3}$

จะได้สูตร

$\sum _{k=0}^{n}a{r}^{2k+1}=\frac{ar(1-r^{2n+2})}{1-r^2}$

อนุกรมเรขาคณิตไม่จำกัด

อนุกรมเรขาคณิตไม่จำกัด คืออนุกรมเรขาคณิตที่มีจำนวนพจน์ไม่จำกัดหรือเป็นจำนวนอนันต์ อนุกรมนี้จะลู่เข้าค่าใดค่าหนึ่งก็ต่อเมื่อ ค่าสัมบูรณ์ของอัตราส่วนร่วมมีค่าน้อยกว่าหนึ่ง ($|r|<1$) ค่าของอนุกรมเรขาคณิตไม่จำกัดสามารถคำนวณได้จากสูตรของผลรวมจำกัด

$\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}a{r}^k=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\sum _{k=0}^{n}a{r}^k=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{a(1-r^{n+1})}{1-r}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{a}{1-r}-\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{a{r}^{n+1}}{1-r}$

ซึ่ง $r^k$ จะมีค่าเข้าใกล้ 0 เมื่อ k มีค่าเข้าใกล้อนันต์และ $|r|<1$ ดังนั้น

$\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}a{r}^k=\frac{a}{1-r}-0=\frac{a}{1-r}$

สำหรับอนุกรมเรขาคณิตที่มีแต่เลขชี้กำลังของ r เป็นจำนวนคู่ จะได้สูตร

$\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}a{r}^{2k}=\frac{a}{1-r^2}$

ส่วนเลขชี้กำลังของ r ที่มีแต่จำนวนคี่ จะได้สูตร

$\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}a{r}^{2k+1}=\frac{ar}{1-r^2}$

โดยที่สูตรทั้งหมดด้านบนจะใช้ได้เมื่อ $|r|<1$ เท่านั้น นอกเหนือจากนี้จะเป็นอนุกรมลู่ออก

ผลคูณ

ผลคูณของลำดับเรขาคณิตก็คือผลคูณของทุกพจน์ในลำดับ และถ้าหากพจน์ทั้งหมดเป็นจำนวนบวก เราจะสามารถคำนวณผลคูณได้ด้วยการหาค่ามัชฌิมเรขาคณิตของพจน์แรกกับพจน์สุดท้าย แล้วยกกำลังด้วยจำนวนพจน์ทั้งหมด ดังนี้

$\prod _{i=0}^{n}a{r}^i={\left(\sqrt{a_1\cdot a_{n+1}}\right)}^{n+1}$ เมื่อ $a,r>0$

พิสูจน์

กำหนดให้ผลคูณของลำดับเลขคณิตแทนด้วย P

$P=a\cdot ar\cdot a{r}^2\cdots a{r}^{n-1}\cdot a{r}^n$

รวมผลจากการคูณเข้าด้วยกัน จะได้

$P=a^{n+1}{r}^{1+2+3+\cdots +(n-1)+n}$

นำสูตรผลรวมของอนุกรมเลขคณิตมาใช้กับเลขชี้กำลังของ r

$P=a^{n+1}{r}^{\frac{n(n+1)}{2}}$

$P=(a{r}^{\frac{n}{2}}{)}^{n+1}$

ยกกำลังสองทั้งสองข้าง

$P^2=(a^2{r}^n{)}^{n+1}=(a\cdot a{r}^n{)}^{n+1}$

และในที่สุดก็จะได้

$P^2=(a_1\cdot a_{n+1}{)}^{n+1}$

$P=(a_1\cdot a_{n+1}{)}^{\frac{n+1}{2}}$

ดูเพิ่ม

• อนุกรมเรขาคณิต
• อนุกรมฮาร์มอนิก
• ลำดับเลขคณิต

แหล่งข้อมูลอื่น

• แม่แบบ:Mathworld
• แม่แบบ:Mathworld