ลำดับเลขคณิต

ในทางคณิตศาสตร์ ลำดับเลขคณิต (แม่แบบ:Langx) คือลำดับของจำนวนซึ่งผลต่างของสมาชิกสองตัวใด ๆ ที่อยู่ติดกันในลำดับเป็นค่าคงตัวเสมอ เรียกค่าคงตัวนั้นว่า ผลต่างร่วม (common difference) ตัวอย่างเช่น ลำดับ 3, 5, 7, 9, 11, 13, ... เป็นลำดับเลขคณิตที่มีผลต่างร่วมเท่ากับ 2

ถ้าหากพจน์เริ่มต้นของลำดับเลขคณิตลำดับหนึ่งคือ a₁ และมีผลต่างร่วมของสมาชิกที่อยู่ติดกันเท่ากับ d แล้วพจน์ที่ n ของลำดับนี้คือ

$a_n=a_1+(n-1)d$

หรือในกรณีทั่วไป จะได้

$a_n=a_m+(n-m)d$

หรือเขียนได้ด้วยรูปแบบความสัมพันธ์เวียนเกิด

$a_n=a_{n-1}+d$

ผลรวม

2	+	5	+	8	+	11	+	14	=	40
14	+	11	+	8	+	5	+	2	=	40
16	+	16	+	16	+	16	+	16	=	80

วิธีการคำนวณผลรวม 2 + 5 + 8 + 11 + 14 โดยเขียนอนุกรมกลับหน้ามาหลังและบวกเข้ากับแต่ละพจน์ ผลรวมที่ได้จะเป็นลำดับคงตัวที่เท่ากับผลบวกของพจน์แรกและพจน์สุดท้าย (2 + 14 = 16) ทำให้ได้ 16 × 5 = 80 ซึ่งเป็นสองเท่าของผลรวม

ผลรวมของสมาชิกในลำดับเลขคณิต เรียกว่า อนุกรมเลขคณิต (แม่แบบ:Langx) ตัวอย่างเช่น พิจารณาผลรวม

$2+5+8+11+14$

ผมรวมของลำดับเลขคณิตข้างต้นสามารถหาได้อย่างรวดเร็ว โดยให้ n แทนจำนวนพจน์ทั้งหมด (ในกรณีนี้คือ 5) แล้วคูณด้วยผลบวกของพจน์แรกและพจน์สุดท้ายในลำดับเลขคณิต (ในกรณีนี้คือ 2 + 14 = 16) และสุดท้ายหารด้วย 2:

$\frac{n(a_1+a_n)}{2}$

ในกรณีนี้จะได้ค่าของผลรวมคือ

$2+5+8+11+14=\frac{5(2+14)}{2}=\frac{5\times 16}{2}=40$

สูตรนี้ใช้ได้สำหรับทุกลำดับเลขคณิตที่มีพจน์แรกและพจน์สุดท้ายคือ $a_1$ และ $a_n$ ใด ๆ

การพิสูจน์

อนุกรมข้างต้นสามารถเขียนในรูปที่สมมูลกันได้สองแบบ ได้แก่

$S_n=a_1+(a_1+d)+(a_1+2d)+\cdots +(a_1+(n-2)d)+(a_1+(n-1)d)$

$S_n=(a_n-(n-1)d)+(a_n-(n-2)d)+\cdots +(a_n-2d)+(a_n-d)+a_n$

บวกสองสมการข้างต้นเข้าด้วยกัน ทุกพจน์ที่เกี่ยวข้องกับ d จะหายไป และเหลือเพียง

$2S_n=n(a_1+a_n)$

จัดรูปแบบใหม่ และในเมื่อเราทราบแล้วว่า $a_n=a_1+(n-1)d$ ดังนั้นเราจะได้

$S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}=\frac{n[2a_1+(n-1)d]}{2}$

ผลคูณ

ผลคูณของสมาชิกในลำดับเลขคณิต โดยเริ่มตั้งแต่พจน์ a₁ ไปถึง a_n ซึ่งมีผลต่างร่วมเท่ากับ d สามารถคำนวณได้จากสูตร

$a_1{a}_2\cdots a_n=d^n{\left(\frac{a_1}{d}\right)}^{\bar{n}}=d^n\frac{\mathrm{\Gamma }(a_1/d+n)}{\mathrm{\Gamma }(a_1/d)}$

โดยที่สัญลักษณ์ $x^{\bar{n}}$ หมายถึงผลคูณลำดับเพิ่ม (rising sequential product) และ $\mathrm{\Gamma }(x)$ แทนฟังก์ชันแกมมา อย่างไรก็ตามสูตรนี้จะใช้งานไม่ได้เมื่อ แม่แบบ:Nowrap เป็นจำนวนเต็มลบหรือศูนย์

นี่เป็นรูปแบบทั่วไป ซึ่งเกิดขึ้นจากการคูณสมาชิกของลำดับเลขคณิต 1 × 2 × ... × n ที่ได้นิยามไว้แล้วในแฟกทอเรียล n! ดังนั้นผลคูณของลำดับนี้

$m\times (m+1)\times (m+2)\times \cdots \times (n-2)\times (n-1)\times n$

จะมีค่าเท่ากับ

$\frac{n!}{(m-1)!}$

โดยที่ m และ n เป็นจำนวนเต็มบวก

อ้างอิง

• แม่แบบ:Cite book

ดูเพิ่ม

• ลำดับเรขาคณิต
• อนุกรม

แหล่งข้อมูลอื่น

• แม่แบบ:MathWorld
• แม่แบบ:MathWorld