อนุกรมสลับ

ในทางคณิตศาสตร์ อนุกรมสลับ (แม่แบบ:Langx) คืออนุกรมอนันต์ที่อยู่ในรูป

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n{a}_n$ หรือ $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^{n-1}{a}_n$

โดยที่ a_n > 0 สำหรับทุก n แต่ละพจน์ของอนุกรมจะมีเครื่องหมายบวกและลบสลับกัน เช่นเดียวกับอนุกรมอื่น ๆ อนุกรมสลับจะลู่เข้าก็ต่อเมื่อลำดับของผลบวกจำกัดพจน์ลู่เข้า

ตัวอย่าง

• อนุกรมเรขาคณิต 1/2 - 1/4 + 1/8 - 1/16 + ⋯ เป็นอนุกรมสลับที่มีผลรวมเป็น 1/3
• อนุกรมฮาร์มอนิกสลับ (1 - 1/2 + 1/3 - ⋯) เป็นอนุกรมลู่เข้า แต่อนุกรมฮาร์มอนิก (1 + 1/2 + 1/3 + ⋯) เป็นอนุกรมลู่ออก
• อนุกรมเมอร์เคเตอร์เป็นอนุกรมสลับที่แสดงค่าของฟังก์ชันลอการิทึมธรรมชาติ:

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{n+1}}{n}{x}^n=\ln (1+x)$

• ไซน์และโคไซน์ ซึ่งเป็นฟังก์ชันตรีโกณมิติ สามารถนิยามเป็นอนุกรมสลับได้ในแคลคูลัส:

$\sin x=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}$

$\cos x=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}$

ถ้าเอาแฟกเตอร์ (-1)ⁿ ซึ่งทำให้อนุกรมทั้งสองนี้เป็นอนุกรมสลับออก จะได้ฟังก์ชันไฮเพอร์โบลิก sinh และ cosh ตามลำดับ

การทดสอบอนุกรมสลับ

การทดสอบอนุกรมสลับ (แม่แบบ:Langx) เป็นทฤษฎีบทที่กล่าวว่า อนุกรมสลับใด ๆ จะลู่เข้า ถ้าลำดับของ a_n ลู่เข้าหา 0 ทางเดียว (นั่นคือเป็นลำดับไม่เพิ่ม)

ข้อพิสูจน์: สมมติให้ a_n ลู่เข้าหา 0 และเป็นลำดับไม่เพิ่ม หาก m เป็นคี่และ m < n แล้ว จากการคำนวณจะได้ค่าประมาณว่า

$\begin{array}{cc}{S}_n-S_m& =\sum _{k=0}^n(-1{)}^k{a}_k-\sum _{k=0}^m(-1{)}^k{a}_k=\sum _{k=m+1}^n(-1{)}^k{a}_k\\ & =a_{m+1}-a_{m+2}+a_{m+3}-a_{m+4}+\cdots +a_n\\ & =a_{m+1}-(a_{m+2}-a_{m+3})-(a_{m+4}-a_{m+5})-\cdots -a_n\le a_{m+1}\le a_m\end{array}$

ซึ่งเนื่องจาก a_n เป็นลำดับไม่เพิ่ม พจน์ $-(a_m-a_{m+1})$ ในผลบวกจึงเป็นลบทุกพจน์ จึงได้ว่า $S_n-S_m\le a_m$ ในทำนองเดียวกันเราสามารถพิสูจน์ได้ว่า $-a_m\le S_n-S_m$ ซึ่งเนื่องจาก a_m ลู่เข้าหา 0 จะได้ว่าลำดับของผลรวมจำกัด S_m เป็นลำดับโคชี ซึ่งลู่เข้า สำหรับกรณี m เป็นคู่ พิสูจน์ได้ในทำนองเดียวกัน