ผลคูณโคชี

นิยาม

กำหนดให้ทั้ง $\sum_{n = 0}^{\infty} a_{n}$ และ $\sum_{n = 0}^{\infty} b_{n}$ เป็นอนุกรมลู่เข้าสัมบูรณ์ ซึ่งทำให้อนุกรม

\sum_{n = 0}^{\infty} c_{n}

โดยที่

c_{n} = \sum_{k = 0}^{n} a_{k} b_{n - k} = \sum_{i + j = n} a_{i} b_{j}

ลู่เข้าสัมบูรณ์ด้วยเช่นกัน และเกิดความสัมพันธ์ดังนี้

(\sum_{n = 0}^{\infty} a_{n}) \cdot (\sum_{n = 0}^{\infty} b_{n}) = \sum_{n = 0}^{\infty} c_{n} .

เราเรียกอนุกรม $\sum_{n = 0}^{\infty} c_{n}$ นี้ว่า ผลคูณโคชีของอนุกรม $\sum_{n = 0}^{\infty} a_{n}$ และ $\sum_{n = 0}^{\infty} b_{n}$

สูตรดังกล่าวสามารถแจกแจงได้ดังนี้

(\sum_{n = 0}^{\infty} a_{n}) \cdot (\sum_{n = 0}^{\infty} b_{n}) = \underset{c_{0}}{\underset{⏟}{(a_{0} b_{0})}} + \underset{c_{1}}{\underset{⏟}{(a_{0} b_{1} + a_{1} b_{0})}} + \underset{c_{2}}{\underset{⏟}{(a_{0} b_{2} + a_{1} b_{1} + a_{2} b_{0})}} + . . . + \underset{c_{n}}{\underset{⏟}{(a_{0} b_{n} + a_{1} b_{n - 1} + . . . + a_{k} b_{n - k} + . . . + a_{n} b_{0})}} + . . .

เมื่อแทนค่า $n$ แล้ว เราจะได้ค่าใกล้เคียงของผลคูณที่ต้องการหาค่า

นอกจากอนุกรมอนันต์แล้ว ผลคูณโคชียังสามารถนำมาใช้กับอนุกรมยกกำลังได้^[2]^[3] ดังนี้

กำหนดอนุกรมยกกำลังสองอนุกรม $\sum_{i = 0}^{\infty} a_{i} x^{i}$ และ $\sum_{j = 0}^{\infty} b_{j} x^{j}$

โดยที่ ${a_{i}}$ และ ${b_{j}}$ คือสัมประสิทธิ์เชิงซ้อน ผลคูณโคชีของอนุกรมยกกำลังสองอนุกรมนี้นิยามได้ว่า

(\sum_{i = 0}^{\infty} a_{i} x^{i}) \cdot (\sum_{j = 0}^{\infty} b_{j} x^{j}) = \sum_{k = 0}^{\infty} c_{k} x^{k}

โดยที่

c_{k} = \sum_{l = 0}^{k} a_{l} b_{k - l}