ฟังก์ชันพื้นและฟังก์ชันเพดาน

กราฟของฟังก์ชันพื้น

กราฟของฟังก์ชันเพดาน

ในทางคณิตศาสตร์และวิทยาการคอมพิวเตอร์ ฟังก์ชันพื้น (แม่แบบ:Langx) คือฟังก์ชันที่จับคู่จำนวนจริงไปยังจำนวนเต็มที่อยู่ก่อนหน้า นั่นคือ floor (x) เป็นจำนวนเต็มมากที่สุดที่ไม่มากกว่า x

ส่วน ฟังก์ชันเพดาน (แม่แบบ:Langx) คือฟังก์ชันที่จับคู่จำนวนจริงไปยังจำนวนเต็มที่อยู่ถัดจากจำนวนนั้น นั่นคือ ceiling (x) คือจำนวนเต็มน้อยที่สุดที่ไม่น้อยกว่า x

กราฟของฟังก์ชันพื้นและเพดานทั้งหมด มีลักษณะคล้ายฟังก์ชันขั้นบันได แต่ไม่ใช่ฟังก์ชันขั้นบันได เนื่องจากมีช่วงบนแกน x เป็นจำนวนอนันต์

สัญกรณ์

เกาส์ได้แนะนำสัญกรณ์วงเล็บเหลี่ยม [x] สำหรับแทนฟังก์ชันพื้น ในการพิสูจน์การแลกเปลี่ยนกำลังสอง (quadratic reciprocity) ของเขาเมื่อ ค.ศ. 1808 สิ่งนี้เป็นบรรทัดฐานในคณิตศาสตร์เรื่อยมา จนกระทั่งอิเวอร์สัน (Kenneth E. Iverson) ได้แนะนำให้ใช้ชื่อ "floor" และ "ceiling" พร้อมกับทั้งแนะนำสัญกรณ์ ⌊x⌋ และ ⌈x⌉ สำหรับฟังก์ชันทั้งสองตามลำดับ เพื่อเขียนโปรแกรมภาษาเอพีแอลเมื่อ ค.ศ. 1962 ปัจจุบันสัญกรณ์ทั้งสองแบบก็ยังมีการใช้กันอยู่ในคณิตศาสตร์ สำหรับบทความนี้จะอธิบายด้วยสัญกรณ์ของอิเวอร์สัน

ฟังก์ชันพื้นอาจเรียกว่าเป็น ฟังก์ชันจำนวนเต็มมากสุด (greatest integer function) หรือ อองเทียร์ (entier หมายถึงจำนวนเต็มในภาษาฝรั่งเศส) และสำหรับฟังก์ชันพื้นของจำนวนที่ไม่เป็นลบ x อาจเรียกว่าเป็น ภาคจำนวนเต็ม (integral part) ของ x ในภาษาโปรแกรมอื่นที่นอกเหนือจากภาษาเอพีแอล มักจะใช้สัญกรณ์ว่า ENTIER (x) (ภาษาอัลกอล), floor (x) , หรือไม่ก็ int (x) (ภาษาซี/ซีพลัสพลัส) ในทางคณิตศาสตร์ สัญกรณ์สำหรับฟังก์ชันนี้สามารถเขียนเป็นวงเล็บเหลี่ยมตัวหนาหรือซ้อนสองก็ได้ $[[x]]$

ส่วนฟังก์ชันเพดานอาจเรียกว่าเป็น ฟังก์ชันจำนวนเต็มน้อยสุด (least integer function) ในภาษาโปรแกรมอื่นมักจะใช้แทนด้วย ceil (x) หรือ ceiling (x) ในทางคณิตศาสตร์ มีสัญกรณ์อีกแบบหนึ่งคือวงเล็บเหลี่ยมตัวหนาหรือซ้อนสองที่หันออก $]]x[[$ หรือใช้เพียงแค่วงเล็บเหลี่ยมธรรมดาหันออกก็ได้ ]x[

ตัวอย่าง

ค่า x	ฟังก์ชันพื้น ⌊x⌋	ฟังก์ชันเพดาน ⌈x⌉	ภาคเศษส่วน {x}
2.7	2	3	0.7
−2.7	−3	−2	0.3
−2	−2	−2	0
12/5 = 2.4	2	3	2/5 = 0.4

สำหรับนิยามของภาคเศษส่วน ดูในหัวข้อถัดไป

นิยามและสมบัติ

ในสูตรคณิตศาสตร์ต่อไปนี้ สมมติให้ x, y เป็นจำนวนจริง k, m, n เป็นจำนวนเต็ม และ $\mathbb{Z}$ คือเซตของจำนวนเต็ม (อันประกอบด้วยจำนวนเต็มบวก จำนวนเต็มลบ และศูนย์)

ฟังก์ชันพื้นและเพดานสามารถนิยามได้ด้วยเซตดังนี้

$\lfloor x\rfloor =\max \{n\in \mathbb{Z}\mid n\le x\}$

$\lceil x\rceil =\min \{n\in \mathbb{Z}\mid n\ge x\}$

เนื่องจากช่วงครึ่งเปิดความยาวหนึ่งหน่วย จะมีจำนวนเต็มเพียงหนึ่งตัวในช่วงนั้น ดังนั้นสำหรับจำนวนจริง x ใด ๆ จะมีจำนวนเต็ม m และ n ที่ทำให้

$x-1<m\le x\le n<x+1$

เราจะได้ $\lfloor x\rfloor =m$ และ $\lceil x\rceil =n$ ซึ่งก็ถือว่าเป็นนิยามอย่างหนึ่งเช่นกัน

นอกจากนี้ก็ยังมี $\{x\}=x-\lfloor x\rfloor$ และ $xmody=x-y\lfloor \frac{x}{y}\rfloor$

การเทียบเท่า

สูตรเหล่านี้สามารถใช้ถอดฟังก์ชันพื้นและฟังก์ชันเพดานออกจากนิพจน์

$\begin{array}{cccc}\lfloor x\rfloor =n& ⟺& n& \le x<n+1\\ \lceil x\rceil =n& ⟺& n-1& <x\le n\\ \lfloor x\rfloor =n& ⟺& x-1& <n\le x\\ \lceil x\rceil =n& ⟺& x& \le n<x+1\\ \end{array}$

และสำหรับอสมการ

$\begin{array}{cccc}x<n& ⟺& \lfloor x\rfloor & <n\\ n<x& ⟺& n& <\lceil x\rceil \\ x\le n& ⟺& \lceil x\rceil & \le n\\ n\le x& ⟺& n& \le \lfloor x\rfloor \\ \end{array}$

สูตรเหล่านี้แสดงให้เห็นถึงผลจากการบวกด้วยจำนวนเต็ม n ภายในฟังก์ชัน

$\begin{array}{cc}\lfloor x+n\rfloor & =\lfloor x\rfloor +n\\ \lceil x+n\rceil & =\lceil x\rceil +n\\ \{x+n\}& =\{x\}\\ \end{array}$

อย่างไรก็ตาม สูตรด้านบนอาจไม่เป็นจริงเสมอไปถ้า n ไม่ใช่จำนวนเต็ม แต่จะได้ผลดังนี้แทน

$\begin{array}{cccc}& \lfloor x\rfloor +\lfloor y\rfloor & \le \lfloor x+y\rfloor & \le \lfloor x\rfloor +\lfloor y\rfloor +1\\ & \lceil x\rceil +\lceil y\rceil -1& \le \lceil x+y\rceil & \le \lceil x\rceil +\lceil y\rceil \\ \end{array}$

ความสัมพันธ์ระหว่างฟังก์ชัน

จากนิยามเราสามารถสรุปได้ว่า

$\lfloor x\rfloor \le \lceil x\rceil$ กรณีที่มีค่าเท่ากันคือเมื่อ x เป็นจำนวนเต็ม

$\lceil x\rceil -\lfloor x\rfloor =\{\begin{array}{cc}0& \text{ if }x\in \mathbb{Z}\\ 1& \text{ if }x\notin \mathbb{Z}\end{array}$

สำหรับจำนวนเต็ม n ประโยคนี้จะเป็นจริง

$\lfloor n\rfloor =\lceil n\rceil =n$

สลับเครื่องหมายในอาร์กิวเมนต์ของฟังก์ชันพื้นและเพดาน

$\lfloor x\rfloor +\lceil -x\rceil =0$

$\lfloor x\rfloor +\lfloor -x\rfloor =\{\begin{array}{cc}0& \text{ if }x\in \mathbb{Z}\\ -1& \text{ if }x\notin \mathbb{Z}\end{array}$

$\lceil x\rceil +\lceil -x\rceil =\{\begin{array}{cc}0& \text{ if }x\in \mathbb{Z}\\ 1& \text{ if }x\notin \mathbb{Z}\end{array}$

สลับเครื่องหมายในอาร์กิวเมนต์ของภาคเศษส่วน

$\{x\}+\{-x\}=\{\begin{array}{cc}0& \text{ if }x\in \mathbb{Z}\\ 1& \text{ if }x\notin \mathbb{Z}\end{array}$

ฟังก์ชันพื้น ฟังก์ชันเพดาน และภาคเศษส่วน เป็นฟังก์ชันนิจพล

$\begin{array}{cc}\lfloor \lfloor x\rfloor \rfloor & =\lfloor x\rfloor \\ \lceil \lceil x\rceil \rceil & =\lceil x\rceil \\ \{\{x\}\}& =\{x\}\\ \end{array}$

ใช้ฟังก์ชันพื้นและเพดานซ้อนกัน ผลลัพธ์ที่ได้คือฟังก์ชันที่อยู่ในสุด

$\begin{array}{cc}\lfloor \lceil x\rceil \rfloor & =\lceil x\rceil \\ \lceil \lfloor x\rfloor \rceil & =\lfloor x\rfloor \\ \end{array}$

กำหนดให้ y มีค่าคงตัว x mod y จะเป็นนิจพล

$(xmody)mody=xmody$

และจากนิยาม

$\{x\}=xmod1$

ผลหาร

ถ้า n ≠ 0 แล้ว

$0\le \left\{\frac{m}{n}\right\}\le 1-\frac{1}{|n|}$

ถ้า n เป็นจำนวนเต็มบวก

$\lfloor \frac{x+m}{n}\rfloor =\lfloor \frac{\lfloor x\rfloor +m}{n}\rfloor$

$\lceil \frac{x+m}{n}\rceil =\lceil \frac{\lceil x\rceil +m}{n}\rceil$

ถ้า m เป็นจำนวนเต็มบวก

$n=\lceil \frac{n}{m}\rceil +\lceil \frac{n-1}{m}\rceil +\dots +\lceil \frac{n-m+1}{m}\rceil$

$n=\lfloor \frac{n}{m}\rfloor +\lfloor \frac{n+1}{m}\rfloor +\dots +\lfloor \frac{n+m-1}{m}\rfloor$

ซึ่งเมื่อ m = 2 จะทำให้เกิดสมบัตินี้

$n=\lfloor \frac{n}{2}\rfloor +\lceil \frac{n}{2}\rceil$

กรณีทั่วไปสำหรับจำนวนเต็มบวก m

$\lceil mx\rceil =\lceil x\rceil +\lceil x-\frac{1}{m}\rceil +\dots +\lceil x-\frac{m-1}{m}\rceil$

$\lfloor mx\rfloor =\lfloor x\rfloor +\lfloor x+\frac{1}{m}\rfloor +\dots +\lfloor x+\frac{m-1}{m}\rfloor$

สูตรต่อไปนี้สามารถเปลี่ยนระหว่างฟังก์ชันพื้นกับฟังก์ชันเพดาน เมื่อ m เป็นจำนวนเต็มบวก

$\lceil \frac{n}{m}\rceil =\lfloor \frac{n+m-1}{m}\rfloor =\lfloor \frac{n-1}{m}\rfloor +1$

$\lfloor \frac{n}{m}\rfloor =\lceil \frac{n-m+1}{m}\rceil =\lceil \frac{n+1}{m}\rceil -1$

ถ้า m และ n เป็นจำนวนเต็มบวกและเป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์ จะได้

$\sum _{i=1}^{n-1}\lfloor \frac{im}{n}\rfloor =\frac{1}{2}(m-1)(n-1)$

เนื่องจากสูตรข้างต้น m และ n มีความสมมาตรต่อกัน จึงสามารถกระจายฝั่งซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับได้ดังนี้

$\lfloor \frac{m}{n}\rfloor +\lfloor \frac{2m}{n}\rfloor +\dots +\lfloor \frac{(n-1)m}{n}\rfloor =\lfloor \frac{n}{m}\rfloor +\lfloor \frac{2n}{m}\rfloor +\dots +\lfloor \frac{(m-1)n}{m}\rfloor$

และสำหรับกรณีทั่วไป เมื่อ m และ n เป็นจำนวนเต็มบวก

$\lfloor \frac{x}{n}\rfloor +\lfloor \frac{m+x}{n}\rfloor +\lfloor \frac{2m+x}{n}\rfloor +\dots +\lfloor \frac{(n-1)m+x}{n}\rfloor$  $=\lfloor \frac{x}{m}\rfloor +\lfloor \frac{n+x}{m}\rfloor +\lfloor \frac{2n+x}{m}\rfloor +\dots +\lfloor \frac{(m-1)n+x}{m}\rfloor$

สิ่งนี้เรียกว่า กฎการแลกเปลี่ยน

ผลหารซ้อน

สำหรับจำนวนเต็มบวก m และ n และจำนวนจริง x

$\lfloor \frac{\lfloor x/m\rfloor }{n}\rfloor =\lfloor \frac{x}{mn}\rfloor$

$\lceil \frac{\lceil x/m\rceil }{n}\rceil =\lceil \frac{x}{mn}\rceil$

ความต่อเนื่อง

ฟังก์ชันทั้งหมดที่กล่าวมาไม่เป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง แต่เป็นฟังก์ชันเชิงเส้นเป็นช่วง ซึ่ง ⌊x⌋ กับ ⌈x⌉ เป็นฟังก์ชันคงตัวในแต่ละช่วง และไม่ต่อเนื่องที่จำนวนเต็ม {x} ก็ไม่ต่อเนื่องที่จำนวนเต็มเช่นกัน แต่ไม่ได้เป็นฟังก์ชันคงตัว ส่วน x mod y เป็นฟังก์ชันที่ไม่ต่อเนื่องที่พหุคูณของ y ถ้าให้ y มีค่าคงตัว

⌊x⌋ ถือได้ว่าเป็นฟังก์ชันกึ่งต่อเนื่องบน (upper semi-continuous function) และ ⌈x⌉ กับ {x} เป็นฟังก์ชันกึ่งต่อเนื่องล่าง (lower semi-continuous function) ส่วน x mod y จะเป็นฟังก์ชันกึ่งต่อเนื่องล่างเมื่อ y เป็นจำนวนบวก และเป็นฟังก์ชันกึ่งต่อเนื่องบนเมื่อ y เป็นจำนวนลบ

การกระจายอนุกรม

เนื่องจากฟังก์ชันทั้งหมดที่กล่าวมาไม่ต่อเนื่อง จึงไม่มีฟังก์ชันใดที่เขียนแทนด้วยการกระจายอนุกรมกำลังได้ และเนื่องจากฟังก์ชันพื้นและเพดานไม่เป็นคาบ (periodic) สองฟังก์ชันนี้จึงไม่มีการกระจายอนุกรมฟูรีเย

สำหรับ x mod y โดยที่ y มีค่าคงตัว มีการกระจายฟูรีเยดังนี้

$xmody=\frac{y}{2}-\frac{y}{\pi }\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\sin \left(\frac{2\pi kx}{y}\right)}{k}$

ด้วยสมบัติที่ว่า {x} = x mod 1 ดังนั้นจะได้

$\{x\}=\frac{1}{2}-\frac{1}{\pi }\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\sin (2\pi kx)}{k}$

ในจุดที่เกิดความไม่ต่อเนื่อง อนุกรมฟูรีเยจะลู่เข้าค่าใดค่าหนึ่งที่เป็นค่าเฉลี่ยของลิมิตทางซ้ายและทางขวา สำหรับ x mod y ซึ่ง y มีค่าคงตัว อนุกรมฟูรีเยจะลู่เข้า y / 2 ที่ตำแหน่งพหุคูณของ y ส่วนในจุดอื่น ๆ ที่มีความต่อเนื่อง อนุกรมจะลู่เข้าค่าจริง

จากสูตรที่ว่า {x} = x − ⌊x⌋ จึงสรุปได้ว่า

$\lfloor x\rfloor =x-\frac{1}{2}+\frac{1}{\pi }\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\sin (2\pi kx)}{k}$

การประยุกต์ใช้

ภาคเศษส่วน

ภาคเศษส่วน (fractional part) เป็นฟังก์ชันฟันเลื่อย เขียนแทนด้วย {x} สำหรับทุกจำนวนจริง x ซึ่งนิยามโดยสูตรนี้

$\{x\}=x-\lfloor x\rfloor$

ภาคเศษส่วนของ x จะมีค่าอยู่ระหว่าง 0 กับ 1 นั่นคือ

$0\le \{x\}<1$

ถ้า x เป็นจำนวนบวก ฟังก์ชันพื้นของ x สามารถสรุปได้อย่างง่ายว่า เป็นค่า x ที่ตัดตัวเลขหลังจุดทศนิยมออกไป ดังนั้นภาคเศษส่วนของ x ก็คือค่า x ที่ตัดตัวเลขหน้าจุดทศนิยมออกไป

มอดุโล

การดำเนินการมอดุโล (modulo) เขียนแทนด้วย x mod y สำหรับจำนวนจริง x และ y โดยที่ y ≠ 0 นิยามโดยสูตรนี้

$xmody=x-y\lfloor \frac{x}{y}\rfloor$

ผลลัพธ์ของ x mod y จะมีค่าอยู่ระหว่าง 0 ถึง y นั่นคือ

$y>0\Rightarrow 0\le xmody<y$

$y<0\Rightarrow 0\ge xmody>y$

ถ้า x เป็นจำนวนเต็มและ y เป็นจำนวนเต็มบวก

$(xmody)\equiv x(\mathrm{mod}y)$

ฟังก์ชัน x mod y โดยที่ y เป็นค่าคงตัว จะเป็นฟังก์ชันฟันเลื่อยเช่นกัน

การแลกเปลี่ยนกำลังสอง

การพิสูจน์การแลกเปลี่ยนกำลังสอง (quadratic reciprocity) ของเกาส์ครั้งที่สาม ซึ่งปรับปรุงแก้ไขโดยไอเซนสไตน์ (Ferdinand Eisenstein) มีสองขั้นตอนพื้นฐานดังนี้

กำหนดให้ p และ q เป็นจำนวนเฉพาะที่เป็นจำนวนคี่คนละตัวกัน และกำหนดให้

$m=\frac{p-1}{2},n=\frac{q-1}{2}$

ขั้นตอนแรก สัญลักษณ์เลอช็องดร์ถูกนำมาเขียนอธิบายด้วยบทตั้งของเกาส์

$\left(\frac{q}{p}\right)=(-1{)}^{\lfloor \frac{q}{p}\rfloor +\lfloor \frac{2q}{p}\rfloor +\dots +\lfloor \frac{mq}{p}\rfloor }$

$\left(\frac{p}{q}\right)=(-1{)}^{\lfloor \frac{p}{q}\rfloor +\lfloor \frac{2p}{q}\rfloor +\dots +\lfloor \frac{np}{q}\rfloor }$

ขั้นตอนที่สองคือใช้การให้เหตุผลทางเรขาคณิตเพื่อที่จะแสดงว่า

$\lfloor \frac{q}{p}\rfloor +\lfloor \frac{2q}{p}\rfloor +\dots +\lfloor \frac{mq}{p}\rfloor +\lfloor \frac{p}{q}\rfloor +\lfloor \frac{2p}{q}\rfloor +\dots +\lfloor \frac{np}{q}\rfloor =mn$

จากนั้นจึงเอาสูตรทั้งสองมารวมกัน ทำให้เกิดการแลกเปลี่ยนกำลังสอง

$\left(\frac{p}{q}\right)\left(\frac{q}{p}\right)=(-1{)}^{mn}=(-1{)}^{\frac{p-1}{2}\frac{q-1}{2}}$

สูตรต่อไปนี้เป็นการใช้ฟังก์ชันพื้นเพื่อแสดงลักษณะกำลังสองของจำนวนขนาดเล็ก มอดุโลกับจำนวนเฉพาะ p

$\left(\frac{2}{p}\right)=(-1{)}^{\lfloor \frac{p+1}{4}\rfloor }$

$\left(\frac{3}{p}\right)=(-1{)}^{\lfloor \frac{p+1}{6}\rfloor }$

การปัดเศษ

แม่แบบ:บทความหลัก การปัดเศษจำนวนบวก x ไปยังจำนวนเต็มที่อยู่ใกล้ที่สุด จะใช้วิธีการปัดเศษโดยครึ่งหนึ่งให้ปัดขึ้นโดยปกติ สามารถเขียนได้เป็น $\lfloor x+0.5\rfloor$

จำนวนหลัก

จำนวนหลักของจำนวนเต็มบวก k ในฐาน b คำนวณได้จาก $\lfloor {\log }_{b}k\rfloor +1$

ตัวประกอบของแฟกทอเรียล

กำหนดให้ n เป็นจำนวนเต็มบวกและ p เป็นจำนวนเฉพาะ (ซึ่งเป็นบวกเช่นกัน) กำลังสูงสุดของ p ที่สามารถหาร n! (แฟกทอเรียลของ n) ได้ลงตัว คำนวณได้จากสูตรนี้

$\lfloor \frac{n}{p}\rfloor +\lfloor \frac{n}{p^2}\rfloor +\lfloor \frac{n}{p^3}\rfloor +\dots$

ผลรวมของอนุกรมนี้จำกัด เนื่องจากฟังก์ชันพื้นจะให้ผลลัพธ์เป็นศูนย์เมื่อ p^k > n

ลำดับบีตตี

ลำดับบีตตี (Beatty sequence) ได้แสดงไว้ว่าจำนวนอตรรกยะที่เป็นบวกทุกจำนวน เมื่อผ่านฟังก์ชันพื้นแล้วจะเป็นส่วนหนึ่งของจำนวนธรรมชาติซึ่งเป็นสมาชิกของลำดับสองลำดับคู่กัน

ค่าคงตัวออยเลอร์-แมสเชโรนี

สูตรที่ใช้แสดงค่าคงตัวออยเลอร์-แมสเชโรนี γ = 0.57721 56649 … ที่เกี่ยวกับฟังก์ชันพื้นและเพดาน ตัวอย่างเช่น

$\gamma =\underset{1}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}(\frac{1}{\lfloor x\rfloor }-\frac{1}{x})dx$

$\gamma =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{1}{n}\sum _{k=1}^n(\lceil \frac{n}{k}\rceil -\frac{n}{k})$

$\gamma =\sum _{k=2}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^k\frac{\lfloor {\log }_{2}k\rfloor }{k}=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+2(\frac{1}{4}-\frac{1}{5}+\frac{1}{6}-\frac{1}{7})+3(\frac{1}{8}-\dots -\frac{1}{15})+\dots$

ฟังก์ชันซีตาของรีมันน์

ฟังก์ชันภาคเศษส่วนปรากฏในการแจกแจงปริพันธ์ของฟังก์ชันซีตาของรีมันน์ ซึ่งสามารถพิสูจน์ได้อย่างตรงไปตรงมาด้วยการหาปริพันธ์โดยการแยกส่วน โดยสมมติว่า φ (x) คือฟังก์ชันใด ๆ ที่มีความต่อเนื่องและหาอนุพันธ์ได้ในช่วงปิด [a, b]

$\sum _{a<n\le b}\varphi (n)=\underset{a}{\overset{b}{\int }}\varphi (x)dx+\underset{a}{\overset{b}{\int }}(\{x\}-\frac{1}{2}){\varphi }^{\prime }(x)dx+(\{a\}-\frac{1}{2})\varphi (a)-(\{b\}-\frac{1}{2})\varphi (b)$

กำหนดให้ φ (n) = n^−s สำหรับส่วนจริงของ s ที่มากกว่า 1 และกำหนดให้ a, b เป็นจำนวนเต็ม ซึ่ง b มีค่าเข้าใกล้อนันต์ จะได้

$\zeta (s)=s\underset{1}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\frac{1}{2}-\{x\}}{x^{s+1}}dx+\frac{1}{s-1}+\frac{1}{2}$

สูตรนี้สามารถใช้ได้กับทุกค่าของ s ที่มีส่วนจริงมากกว่า −1 (ยกเว้นเมื่อ s = 1 เพราะจุดนั้นเป็นโพล) และเมื่อรวมเข้ากับการกระจายฟูรีเยของ {x} จะทำให้สามารถใช้ฟังก์ชันซีตาได้กับทั้งระนาบเชิงซ้อน และใช้สำหรับพิสูจน์สมการเชิงฟังก์ชัน

สำหรับ s = σ + i t ภายในแถบวิกฤต (critical strip) เช่น 0 < σ < 1 Balthasar van der Pol ได้ใช้สูตรนี้เพื่อสร้างคอมพิวเตอร์แอนะล็อกสำหรับคำนวณรากของฟังก์ชันซีตาเมื่อ ค.ศ. 1974

$\zeta (s)=s\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-\sigma \omega }(\lfloor e^{\omega }\rfloor -e^{\omega })e^{-it\omega }d\omega$

สูตรเกี่ยวกับจำนวนเฉพาะ

n จะเป็นจำนวนเฉพาะ ก็ต่อเมื่อ

$\sum _{m=1}^{\mathrm{\infty }}(\lfloor \frac{n}{m}\rfloor -\lfloor \frac{n-1}{m}\rfloor )=2$

กำหนดให้ r > 1 เป็นจำนวนเต็ม, p_n คือจำนวนเฉพาะตัวที่ n และ α ซึ่งนิยามโดย

$\alpha =\sum _{m=1}^{\mathrm{\infty }}{p}_m{r}^{-m^2}$

เราจะได้ว่า

$p_n=\lfloor r^{n^2}\alpha \rfloor -r^{2n-1}\lfloor r^{(n-1{)}^2}\alpha \rfloor$

มีจำนวน θ = 1.3064… ซึ่งมีสมบัติว่า จำนวนทั้งหมดในลำดับ $\lfloor {\theta }^3\rfloor ,\lfloor {\theta }^9\rfloor ,\lfloor {\theta }^{27}\rfloor ,\dots$ เป็นจำนวนเฉพาะ

และมีจำนวน ω = 1.9287800… ซึ่งมีสมบัติว่า จำนวนทั้งหมดในลำดับ $\lfloor 2^{\omega }\rfloor ,\lfloor 2^{2^{\omega }}\rfloor ,\lfloor 2^{2^{2^{\omega }}}\rfloor ,\dots$ เป็นจำนวนเฉพาะ

π (x) เป็นฟังก์ชันนับจำนวนเฉพาะ คือนับว่ามีจำนวนเฉพาะอยู่เท่าไรที่มีค่าน้อยกว่าหรือเท่ากับ x ซึ่งเป็นการลดทอนมาจากทฤษฎีบทของวิลสันที่ว่า

$\pi (n)=\sum _{j=2}^n\lfloor \frac{(j-1)!+1}{j}-\lfloor \frac{(j-1)!}{j}\rfloor \rfloor$

และถ้าหาก n ≥ 2 จะได้

$\pi (n)=\sum _{j=2}^n\lfloor \frac{1}{\sum _{k=2}^j\lfloor \lfloor \frac{j}{k}\rfloor \frac{k}{j}\rfloor }\rfloor$

แต่สูตรในส่วนนี้ที่กล่าวมาทั้งหมด ไม่มีการนำไปใช้จริงในทางปฏิบัติ

ข้อปัญหาที่แก้ได้

รามานุจันได้ส่งข้อปัญหาที่เกี่ยวกับฟังก์ชันพื้นเหล่านี้ลงใน Journal of the Indian Mathematical Society

ถ้า n เป็นจำนวนเต็มบวก จงพิสูจน์ว่า

1. $\lfloor \frac{n}{3}\rfloor +\lfloor \frac{n+2}{6}\rfloor +\lfloor \frac{n+4}{6}\rfloor =\lfloor \frac{n}{2}\rfloor +\lfloor \frac{n+3}{6}\rfloor$
2. $\lfloor \frac{1}{2}+\sqrt{n+\frac{1}{2}}\rfloor =\lfloor \frac{1}{2}+\sqrt{n+\frac{1}{4}}\rfloor$
3. $\lfloor \sqrt{n}+\sqrt{n+1}\rfloor =\lfloor \sqrt{4n+2}\rfloor$

ข้อปัญหาที่แก้ไม่ได้

จากการศึกษาข้อปัญหาของวาริง ได้นำไปสู่ปัญหาที่ยังไม่สามารถแก้ได้จนปัจจุบัน นั่นคือ

จริงหรือไม่ที่จำนวนเต็มบวก k ใด ๆ โดยที่ k ≥ 6 ทำให้เงื่อนไขนี้เป็นจริง

$3^k-2^k\lfloor {\left(\frac{3}{2}\right)}^k\rfloor >2^k-\lfloor {\left(\frac{3}{2}\right)}^k\rfloor -2$

เคิร์ต มาห์เลอร์ เคยพิสูจน์และสรุปว่า มีเพียงจำนวนจำกัดจำนวนหนึ่งเท่านั้นสำหรับ k ที่ตรงตามเงื่อนไขข้างต้น นอกเหนือจากนั้นยังไม่สามารถสรุปได้

การใช้งานในคอมพิวเตอร์

กราฟของการแปลงเป็นจำนวนเต็ม (int)

ภาษาโปรแกรม

ภาษาซี ภาษาซีพลัสพลัส และภาษาอื่น ๆ ที่เกี่ยวข้อง (เช่นภาษาซีชาร์ป ภาษาจาวา) มีฟังก์ชันมาตรฐาน floor () สำหรับฟังก์ชันพื้น และ ceil () สำหรับฟังก์ชันเพดาน

นอกจากนี้ยังมีอีกวิธีการหนึ่งคือการแปลงจำนวนจุดลอยตัว (floating point) ไปเป็นจำนวนเต็มโดยการกำกับชนิดข้อมูล (int) value ซึ่งจะทำให้ตัวเลขที่อยู่หลังจุดทศนิยมถูกตัดออกไปทั้งหมด ไม่ว่าจำนวนนั้นจะเป็นบวกหรือลบ หรือกล่าวอีกนัยหนึ่งคือ ถูกปัดเศษไปยังค่าศูนย์

อ้างอิง

• แม่แบบ:Cite book
• แม่แบบ:Citation
• แม่แบบ:Citation
• แม่แบบ:Citation
• Nicholas J. Higham, Handbook of writing for the mathematical sciences, SIAM. ISBN 0898714206, p. 25
• ISO/IEC. ISO/IEC 9899::1999 (E) : Programming languages — C (2nd ed), 1999; Section 6.3.1.4, p. 43.
• แม่แบบ:Citation
• แม่แบบ:Citation
• แม่แบบ:Citation
• แม่แบบ:Citation
• Michael Sullivan. Precalculus, 8th edition, p. 86
• แม่แบบ:Citation

ดูเพิ่ม

• ฟังก์ชันจำนวนเต็มใกล้สุด
• ฟังก์ชันขั้นบันได