กฎไลบ์นิทซ์ทั่วไป

{{#invoke:sidebar|collapsible | class = plainlist | titlestyle = padding-bottom:0.25em; | pretitle = บทความนี้เป็นส่วนหนึ่งของ | title = แคลคูลัส | image = $\underset{a}{\overset{b}{\int }}{f}^{\prime }(t)dt=f(b)-f(a)$ | listtitlestyle = text-align:center; | liststyle = border-top:1px solid #aaa;padding-top:0.15em;border-bottom:1px solid #aaa; | expanded = กฎไลบ์นิซทั่วไป

| abovestyle = padding:0.15em 0.25em 0.3em;font-weight:normal; | above = ทฤษฎีบทมูลฐาน แม่แบบ:Startflatlist

• ลิมิตของฟังก์ชัน
• ความต่อเนื่อง

• ทฤษฎีบทค่าเฉลี่ย
• ทฤษฎีบทของโรลล์

| list2name = อนุพันธ์ | list2titlestyle = display:block;margin-top:0.65em; | list2title = แคลคูลัสเชิงอนุพันธ์ | list2 =

แม่แบบ:Sidebar

| list3name = ปริพันธ์ | list3title = แคลคูลัสเชิงปริพันธ์ | list3 =

แม่แบบ:Sidebar

| list4name = อนุกรม | list4title = อนุกรม | list4 =

แม่แบบ:Sidebar

| list5name = เวกเตอร์ | list5title = แคลคูลัสเวกเตอร์ | list5 =

แม่แบบ:Sidebar

| list6name = หลายตัวแปร | list6title = แคลคูลัสหลายตัวแปร | list6 =

แม่แบบ:Sidebar

| list7name = พิเศษ | list7title = พิเศษ | list7 = แม่แบบ:Startflatlist

• แคลคูลัสเชิงเศษส่วน
• มาลียาแว็ง
• แคลคูลัสเฟ้นสุ่ม
• แคลคูลัสของการแปรผัน

}}

ใน แคลคูลัส กฎไลบ์นิทซ์ทั่วไป ตั้งชื่อตาม ก็อทฟรีท วิลเฮ็ล์ม ไลบ์นิทซ์ วางนัยทั่วไปให้กับกฎผลคูณของอนุพันธ์ของผลคูณฟังก์ชันสองฟังก์ชัน (เรียกอีกอย่างได้ว่า "กฎของไลบ์นิทซ์") ระบุไว้ว่าถ้า $f$ และ $g$ เป็นฟังก์ชันหาอนุพันธ์ได้ แม่แบบ:Mvar ครั้ง แล้วผลคูณ $fg$ สามารถหาอนุพันธ์ได้ แม่แบบ:Mvar ครั้ง และอนุพันธ์อันดับที่ แม่แบบ:Mvar จะได้ว่า $$(fg{)}^{(n)}=\sum _{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})f^{(n-k)}{g}^{(k)},$$ เมื่อ $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})=\frac{n!}{k!(n-k)!}$ เป็นสัมประสิทธิ์ทวินามและ $f^{(j)}$ หมายถึงอนุพันธ์อันดับที่ j ของ f (และโดยเฉพาะ $f^{(0)}=f$)

กฎดังกล่าวสามารถพิสูจน์ได้โดยใช้กฎผลคูณและการอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์

อนุพันธ์ลำดับที่สอง

ตัวอย่างเช่น เมื่อ แม่แบบ:Math กฎจะให้นิพจน์สำหรับอนุพันธ์อันดับสองของผลคูณของฟังก์ชันสองฟังก์ชัน$$(fg{)}^{″}(x)=\sum _{k=0}^2(\genfrac{}{}{0ex}{}{2}{k})f^{(2-k)}(x)g^{(k)}(x)=f^{″}(x)g(x)+2f^{\prime }(x)g^{\prime }(x)+f(x)g^{″}(x).$$

มากกว่าสองฟังก์ชัน

สูตรนี้สามารถวางนัยทั่วไปเป็นผลคูณของฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้ m ฟังก์ชัน f₁,...,f_m $${(f_1{f}_2\cdots f_m)}^{(n)}=\sum _{k_1+k_2+\cdots +k_m=n}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k_1,k_2,\dots ,k_m})\prod _{1\le t\le m}{f}_t^{(k_t)},$$ โดยที่ผลรวมขยายไปทั่ว m-สิ่งอันดับ (k₁,...,k_m) ของจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบด้วย ${\sum }_{t=1}^m{k}_t=n,$ และ $$(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k_1,k_2,\dots ,k_m})=\frac{n!}{k_1!k_2!\cdots k_m!}$$ เป็นสัมประสิทธิ์อเนกนาม คล้ายกับสูตรอเนกนามในพีชคณิต

บทพิสูจน์

บทพิสูจน์กฎไลบ์นิทซ์ทั่วไปแม่แบบ:Rpโดยการใช้อุปนัย ให้ $f$ และ $g$ เป็นฟังก์ชันหาอนุพันธ์ได้ $n$ ครั้ง กรณีฐานเมื่อ $n=1$ อ้างว่า$$(fg{)}^{\prime }=f^{\prime }g+f{g}^{\prime },$$ ซึ่งเป็นกฎผลคูณและทราบว่าเป็นจริง ต่อไปให้ถือว่าข้อความนั้นถือเป็นจริงเมื่อ $n\ge 1$ นั่นก็คือว่า $$(fg{)}^{(n)}=\sum _{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})f^{(n-k)}{g}^{(k)}.$$

แล้ว $$\begin{array}{cc}(fg{)}^{(n+1)}& =\left[\sum _{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})f^{(n-k)}{g}^{(k)}\right]\\ & =\sum _{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})f^{(n+1-k)}{g}^{(k)}+\sum _{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})f^{(n-k)}{g}^{(k+1)}\\ & =\sum _{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})f^{(n+1-k)}{g}^{(k)}+\sum _{k=1}^{n+1}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k-1})f^{(n+1-k)}{g}^{(k)}\\ & =(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{0})f^{(n+1)}{g}^{(0)}+\sum _{k=1}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})f^{(n+1-k)}{g}^{(k)}+\sum _{k=1}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k-1})f^{(n+1-k)}{g}^{(k)}+(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{n})f^{(0)}{g}^{(n+1)}\\ & =(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+1}{0})f^{(n+1)}{g}^{(0)}+\left(\sum _{k=1}^n[(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k-1})+(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})]f^{(n+1-k)}{g}^{(k)}\right)+(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+1}{n+1})f^{(0)}{g}^{(n+1)}\\ & =(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+1}{0})f^{(n+1)}{g}^{(0)}+\sum _{k=1}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+1}{k})f^{(n+1-k)}{g}^{(k)}+(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+1}{n+1})f^{(0)}{g}^{(n+1)}\\ & =\sum _{k=0}^{n+1}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+1}{k})f^{(n+1-k)}{g}^{(k)}.\end{array}$$ และการอ้างดังกล่าวก็เป็นจริงสำหรับ แม่แบบ:ไม่ตัด

ความสัมพันธ์กับทฤษฎีบททวินาม

กฎของไลบ์นิทซ์มีความคล้ายคลึงอย่างมากกับทฤษฎีบททวินาม และในความเป็นจริง ทฤษฎีบททวินามสามารถพิสูจน์ได้โดยตรงจากกฎของไลบ์นิทซ์โดยการใช้ $f(x)=e^{ax}$ และ $g(x)=e^{bx}$ ซึ่งทำให้

$(a+b{)}^n{e}^{(a+b)x}=e^{(a+b)x}\sum _{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})a^{n-k}{b}^k$

แล้วหารทั้งสองข้างด้วย $e^{(a+b)x}$ แม่แบบ:Rp

แคลคูลัสหลายตัวแปร

โดยใช้สัญกรณ์อเนกดัชนีสำหรับอนุพันธ์ย่อย ของฟังก์ชันของตัวแปรหลายตัว กฎของไลบ์นิทซ์ระบุไว้โดยทั่วไปว่า $${\partial }^{\alpha }(fg)=\sum _{\beta :\beta \le \alpha }(\genfrac{}{}{0ex}{}{\alpha }{\beta })({\partial }^{\beta }f)({\partial }^{\alpha -\beta }g).$$

สูตรนี้สามารถนำมาใช้เพื่อหาสูตรที่คำนวณสัญลักษณ์ขององค์ประกอบของตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์ได้ ในความเป็นจริงให้ P และ Q เป็นตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์ (โดยมีค่าสัมประสิทธิ์ที่สามารถหาอนุพันธ์ได้เพียงพอหลายครั้ง) และ $R=P\circ Q.$ เนื่องจาก R เป็นตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์ สัญลักษณ์ของ R จึงกำหนดโดย: $$R(x,\xi )=e^{-⟨x,\xi ⟩}R(e^{⟨x,\xi ⟩}).$$

การคำนวณโดยตรงให้$$R(x,\xi )=\sum _{\alpha }\frac{1}{\alpha !}{\left(\frac{\partial }{\partial \xi }\right)}^{\alpha }P(x,\xi ){\left(\frac{\partial }{\partial x}\right)}^{\alpha }Q(x,\xi ).$$

โดยทั่วไปสูตรนี้เรียกว่าสูตรไลบ์นิทซ์ ใช้เพื่อกำหนดองค์ประกอบในพื้นที่ของสัญลักษณ์ ทำให้เกิดโครงสร้างวงแหวน

ดูเพิ่มเติม

• ดีริเวชัน
• แคลคูลัสเงามืด