การหาปริพันธ์โดยใช้สูตรลดทอน

{{#invoke:sidebar|collapsible | class = plainlist | titlestyle = padding-bottom:0.25em; | pretitle = บทความนี้เป็นส่วนหนึ่งของ | title = แคลคูลัส | image = $\underset{a}{\overset{b}{\int }}{f}^{\prime }(t)dt=f(b)-f(a)$ | listtitlestyle = text-align:center; | liststyle = border-top:1px solid #aaa;padding-top:0.15em;border-bottom:1px solid #aaa; | expanded = Integral

| abovestyle = padding:0.15em 0.25em 0.3em;font-weight:normal; | above = ทฤษฎีบทมูลฐาน แม่แบบ:Startflatlist

• ลิมิตของฟังก์ชัน
• ความต่อเนื่อง

• ทฤษฎีบทค่าเฉลี่ย
• ทฤษฎีบทของโรลล์

| list2name = อนุพันธ์ | list2titlestyle = display:block;margin-top:0.65em; | list2title = แคลคูลัสเชิงอนุพันธ์ | list2 =

แม่แบบ:Sidebar

| list3name = ปริพันธ์ | list3title = แคลคูลัสเชิงปริพันธ์ | list3 =

แม่แบบ:Sidebar

| list4name = อนุกรม | list4title = อนุกรม | list4 =

แม่แบบ:Sidebar

| list5name = เวกเตอร์ | list5title = แคลคูลัสเวกเตอร์ | list5 =

แม่แบบ:Sidebar

| list6name = หลายตัวแปร | list6title = แคลคูลัสหลายตัวแปร | list6 =

แม่แบบ:Sidebar

| list7name = พิเศษ | list7title = พิเศษ | list7 = แม่แบบ:Startflatlist

• แคลคูลัสเชิงเศษส่วน
• มาลียาแว็ง
• แคลคูลัสเฟ้นสุ่ม
• แคลคูลัสของการแปรผัน

}}

ในแคลคูลัสเชิงปริพันธ์ การหาปริพันธ์โดยใช้สูตรลดทอน เป็นวิธีการที่ใช้ความสัมพันธ์เวียนเกิด ใช้เมื่อนิพจน์ที่มีตัวแปรเสริมเป็นจำนวนเต็ม ซึ่งโดยปกติอยู่ในรูปของเลขยกกำลังของฟังก์ชันเบื้องต้น หรือผลคูณของฟังก์ชันอดิศัย และพหุนามที่มีดีกรีใด ๆ ไม่สามารถหาปริพันธ์โดยตรงได้ แต่การใช้วิธีการหาปริพันธ์อื่น ๆ สามารถกำหนดสูตรลดทอนเพื่อให้ได้ปริพันธ์ของนิพจน์เดียวกันหรือคล้ายกันที่มีตัวแปรจำนวนเต็มเสริมที่ต่ำลง โดยจะลดความซับซ้อนของปริพันธ์ลงทีละน้อยจนกระทั่งสามารถหาค่าได้ วิธีหาปริพันธ์นี้เป็นหนึ่งในวิธีแรก ๆ ที่ใช้กัน

วิธีการหาสูตรลดทอน

สูตรลดทอนสามารถหาได้โดยใช้วิธีการหาปริพันธ์ทั่วไป เช่นการหาปริพันธ์โดยการแทนค่า การหาปริพันธ์โดยการแยกส่วน การหาปริพันธ์โดยการแทนค่าฟังก์ชันตรีโกณมิติ การหาปริพันธ์โดยการหาเศษส่วนย่อย ฯลฯ แนวคิดหลักคือให้ปริพันธ์ที่มีตัวแปรเสริมจำนวนเต็ม (เช่น เลขยกกำลัง) ของฟังก์ชันเป็น I_n ปริพันธ์ที่มีกับค่าตัวแปรเสริมที่ต่ำลง (เลขยกกำลังต่ำกว่า) ของฟังก์ชันนั้นให้เป็น เช่น I_{n -1} หรือ I_{n -2} ซึ่งทำให้สูตรลดทอนเป็นประเภทหนึ่งของความสัมพันธ์เวียนเกิด กล่าวอีกนัยหนึ่งคือ สูตรลดทอนจะทำให้ปริพันธ์

$I_n=\int f(x,n)\text{d}x,$

อยู่ในรูปของ

$I_k=\int f(x,k)\text{d}x,$

เมื่อ

$k<n.$

วิธีการคำนวณหาปริพันธ์

ในการคำนวณหาปริพันธ์ เราให้ n เป็นค่าของตัวแปรเสริม และใช้สูตรลดทอนเพื่อแสดงอยู่ในรูปของปริพันธ์ของ (n – 1) หรือ (n – 2) ปริพันธ์ที่มีเลขยกกำลังต่ำกว่าสามารถนำมาใช้คำนวณปริพันธ์เลขยกกำลังสูงกว่าได้ โดยกระบวนการนี้ทำต่อไปซ้ำ ๆ จนกว่าจะถึงจุดที่สามารถหาปริพันธ์ฟังก์ชันได้ โดยปกติเมื่อเลขยกกำลังของฟังก์ชันดังกล่าวเป็น 0 หรือ 1 จากนั้นเราทำการแทนค่าผลลัพธ์ก่อนหน้านั้นอีกครั้งจนกระทั่งเราหา I_n ได้

ตัวอย่าง

ต่อไปนี้เป็นตัวอย่างของวิธีการใช้สูตรลดทอน

ปริพันธ์ของฟังก์ชันโคไซน์

โดยทั่วไปปริพันธ์เช่น

$\int {\cos }^{n}x\text{d}x,$

สามารถหาค่าได้โดยการใช้สูตรลดทอน

$\int {\cos }^n(x)\text{d}x$, สำหรับ n = 1, 2 ... 30

เริ่มต้นโดยการตั้งให้

$I_n=\int {\cos }^{n}x\text{d}x.$

สามารถเขียนใหม่ได้เป็น

$I_n=\int {\cos }^{n-1}x\cos x\text{d}x,$

หาปริพันธ์โดยการแทนค่าดังนี้

$\cos x\text{d}x=\text{d}(\sin x),$

$I_n=\int {\cos }^{n-1}x\text{d}(\sin x).$

สามารถหาปริพันธ์โดยการแยกส่วน

$\begin{array}{cc}\int {\cos }^{n}x\text{d}x& =\int {\cos }^{n-1}x\text{d}(\sin x)={\cos }^{n-1}x\sin x-\int \sin x\text{d}({\cos }^{n-1}x)\\ & ={\cos }^{n-1}x\sin x+(n-1)\int \sin x{\cos }^{n-2}x\sin x\text{d}x\\ & ={\cos }^{n-1}x\sin x+(n-1)\int {\cos }^{n-2}x{\sin }^{2}x\text{d}x\\ & ={\cos }^{n-1}x\sin x+(n-1)\int {\cos }^{n-2}x(1-{\cos }^{2}x)\text{d}x\\ & ={\cos }^{n-1}x\sin x+(n-1)\int {\cos }^{n-2}x\text{d}x-(n-1)\int {\cos }^{n}x\text{d}x\\ & ={\cos }^{n-1}x\sin x+(n-1)I_{n-2}-(n-1)I_n,\end{array}$

$I_n+(n-1)I_n={\cos }^{n-1}x\sin x+(n-1)I_{n-2},$

$n{I}_n={\cos }^{n-1}(x)\sin x+(n-1)I_{n-2},$

$I_n=\frac{1}{n}{\cos }^{n-1}x\sin x+\frac{n-1}{n}{I}_{n-2},$

ดังนั้นสูตรลดทอนคือ

$\int {\cos }^{n}x\text{d}x=\frac{1}{n}{\cos }^{n-1}x\sin x+\frac{n-1}{n}\int {\cos }^{n-2}x\text{d}x.$

ตัวอย่างเพิ่มเติมจากตัวอย่างด้านบนสามารถนำมาใช้หาปริพันธ์สมมติให้ n = 5

$I_5=\int {\cos }^{5}x\text{d}x.$

คำนวนหาปริพันธ์ที่มีเลขดัชนีต่ำกว่า

$n=5,I_5=\frac{1}{5}{\cos }^{4}x\sin x+\frac{4}{5}{I}_3,$

$n=3,I_3=\frac{1}{3}{\cos }^{2}x\sin x+\frac{2}{3}{I}_1,$

แทนค่ากลับได้

$\because I_1=\int \cos x\text{d}x=\sin x+C_1,$

$\therefore I_3=\frac{1}{3}{\cos }^{2}x\sin x+\frac{2}{3}\sin x+C_2,C_2=\frac{2}{3}{C}_1,$

$I_5=\frac{1}{5}{\cos }^{4}x\sin x+\frac{4}{5}[\frac{1}{3}{\cos }^{2}x\sin x+\frac{2}{3}\sin x]+C,$

โดยที่ C เป็นค่าคงที่

ปริพันธ์ของเลขชี้กำลัง

ตัวอย่างทั่วไปอีกอันคือ

$\int x^n{e}^{ax}\text{d}x.$

เริ่มโดยการตั้งให้

$I_n=\int x^n{e}^{ax}\text{d}x.$

หาปริพันธ์โดยการแทนค่า

$x^n\text{d}x=\frac{\text{d}(x^{n+1})}{n+1},$

$I_n=\frac{1}{n+1}\int e^{ax}\text{d}(x^{n+1}),$

สามารถหาปริพันธ์โดยการแยกส่วน

$\begin{array}{cc}\int e^{ax}\text{d}(x^{n+1})& =x^{n+1}{e}^{ax}-\int x^{n+1}\text{d}(e^{ax})\\ & =x^{n+1}{e}^{ax}-a\int x^{n+1}{e}^{ax}\text{d}x,\end{array}$

$(n+1)I_n=x^{n+1}{e}^{ax}-a{I}_{n+1},$

เลื่อนดัชนีกลับไป 1 (n + 1 → n และ n → n – 1)

$n{I}_{n-1}=x^n{e}^{ax}-a{I}_n,$

แก้หา I_n

$I_n=\frac{1}{a}(x^n{e}^{ax}-n{I}_{n-1}),$

ดังนั้นสูตรลดทอนคือ

$\int x^n{e}^{ax}\text{d}x=\frac{1}{a}(x^n{e}^{ax}-n\int x^{n-1}{e}^{ax}\text{d}x).$

วิธีทางเลือกอื่นในการหาสูตรลดทอนทำได้โดยเริ่มจากการแทนค่า $e^{ax}$

หาปริพันธ์โดยการแทนค่า

$e^{ax}\text{d}x=\frac{\text{d}(e^{ax})}{a},$

$I_n=\frac{1}{a}\int x^n\text{d}(e^{ax}),$

สามารถหาปริพันธ์โดยการแยกส่วน

$\begin{array}{cc}\int x^n\text{d}(e^{ax})& =x^n{e}^{ax}-\int e^{ax}\text{d}(x^n)\\ & =x^n{e}^{ax}-n\int e^{ax}{x}^{n-1}\text{d}x,\end{array}$

ซึ่งให้สูตรลดลดทอนเมื่อแทนค่ากลับ

$I_n=\frac{1}{a}(x^n{e}^{ax}-n{I}_{n-1}),$

ซึ่งเท่ากับ

$\int x^n{e}^{ax}\text{d}x=\frac{1}{a}(x^n{e}^{ax}-n\int x^{n-1}{e}^{ax}\text{d}x).$

อีกทางเลือกหนึ่งในการหาสูตรลดทอนได้โดยการบูรณาการแบบแยกส่วน

$I_n=\int x^{n}x{e}^{ax}\text{d}x,$

$u=x^n\text{, }dv=e^{ax},$

$\frac{du}{dx}=n{x}^{n-1}\text{, }v=\frac{e^{ax}}{a}$

$I_n=\frac{x^n{e}^{ax}}{a}-\int n{x}^{n-1}\frac{e^{ax}}{a}\text{d}x$

$I_n=\frac{x^n{e}^{ax}}{a}-\frac{n}{a}\int x^{n-1}{e}^{ax}\text{d}x$

จำไว้ว่า

$I_{n-1}=\int x^{n-1}{e}^{ax}\text{d}x$

$\therefore I_n=\frac{x^n{e}^{ax}}{a}-\frac{n}{a}{I}_{n-1}$

ซึ่งให้สูตรลดทอนเมื่อแทนค่ากลับ

$I_n=\frac{1}{a}(x^n{e}^{ax}-n{I}_{n-1}),$

ซึ่งเท่ากับ

$\int x^n{e}^{ax}\text{d}x=\frac{1}{a}(x^n{e}^{ax}-n\int x^{n-1}{e}^{ax}\text{d}x).$

รายการสูตรลดทอนจำนวนเต็ม

ฟังก์ชันตรรกยะ

ปริพันธ์ต่อไปนี้ ประกอบด้วย

• ตัวประกอบของรากเชิงเส้น $\sqrt{ax+b}$
• ตัวประกอบเชิงเส้น $px+q$ และรากเชิงเส้น $\sqrt{ax+b}$
• ตัวประกอบกำลังสอง $x^2+a^2$
• ตัวประกอบกำลังสอง $x^2-a^2$, สำหรับ $x>a$
• ตัวประกอบกำลังสอง $a^2-x^2$, สำหรับ $x<a$
• ตัวประกอบกำลังสอง (ลดทอนไม่ได้) $a{x}^2+bx+c$
• รากที่สองของตัวประกอบกำลังสองที่ลดทอนไม่ได้ $\sqrt{a{x}^2+bx+c}$

ปริพันธ์	สูตรลดทอน
$I_n=\int \frac{x^n}{\sqrt{ax+b}}\text{d}x$	$I_n=\frac{2x^n\sqrt{ax+b}}{a(2n+1)}-\frac{2nb}{a(2n+1)}{I}_{n-1}$
$I_n=\int \frac{\text{d}x}{x^n\sqrt{ax+b}}$	$I_n=-\frac{\sqrt{ax+b}}{(n-1)b{x}^{n-1}}-\frac{a(2n-3)}{2b(n-1)}{I}_{n-1}$
$I_n=\int x^n\sqrt{ax+b}\text{d}x$	$I_n=\frac{2x^n\sqrt{(ax+b{)}^3}}{a(2n+3)}-\frac{2nb}{a(2n+3)}{I}_{n-1}$
$I_{m,n}=\int \frac{\text{d}x}{(ax+b{)}^m(px+q{)}^n}$	$I_{m,n}=\{\begin{array}{c}-\frac{1}{(n-1)(bp-aq)}[\frac{1}{(ax+b{)}^{m-1}(px+q{)}^{n-1}}+a(m+n-2)I_{m,n-1}]\\ \frac{1}{(m-1)(bp-aq)}[\frac{1}{(ax+b{)}^{m-1}(px+q{)}^{n-1}}+p(m+n-2)I_{m-1,n}]\end{array}$
$I_{m,n}=\int \frac{(ax+b{)}^m}{(px+q{)}^n}\text{d}x$	$I_{m,n}=\{\begin{array}{c}-\frac{1}{(n-1)(bp-aq)}[\frac{(ax+b{)}^{m+1}}{(px+q{)}^{n-1}}+a(n-m-2)I_{m,n-1}]\\ -\frac{1}{(n-m-1)p}[\frac{(ax+b{)}^m}{(px+q{)}^{n-1}}+m(bp-aq)I_{m-1,n}]\\ -\frac{1}{(n-1)p}[\frac{(ax+b{)}^m}{(px+q{)}^{n-1}}-am{I}_{m-1,n-1}]\end{array}$

ปริพันธ์	สูตรลดขนาด
$I_n=\int \frac{(px+q{)}^n}{\sqrt{ax+b}}\text{d}x$	$\int (px+q{)}^n\sqrt{ax+b}\text{d}x=\frac{2(px+q{)}^{n+1}\sqrt{ax+b}}{p(2n+3)}+\frac{bp-aq}{p(2n+3)}{I}_n$ $I_n=\frac{2(px+q{)}^n\sqrt{ax+b}}{a(2n+1)}+\frac{2n(aq-bp)}{a(2n+1)}{I}_{n-1}$
$I_n=\int \frac{\text{d}x}{(px+q{)}^n\sqrt{ax+b}}$	$\int \frac{\sqrt{ax+b}}{(px+q{)}^n}\text{d}x=-\frac{\sqrt{ax+b}}{p(n-1)(px+q{)}^{n-1}}+\frac{a}{2p(n-1)}{I}_n$ $I_n=-\frac{\sqrt{ax+b}}{(n-1)(aq-bp)(px+q{)}^{n-1}}+\frac{a(2n-3)}{2(n-1)(aq-bp)}{I}_{n-1}$

ปริพันธ์	สูตรลดขนาด
$I_n=\int \frac{\text{d}x}{(x^2+a^2{)}^n}$	$I_n=\frac{x}{2a^2(n-1)(x^2+a^2{)}^{n-1}}+\frac{2n-3}{2a^2(n-1)}{I}_{n-1}$
$I_{n,m}=\int \frac{\text{d}x}{x^m(x^2+a^2{)}^n}$	$a^2{I}_{n,m}=I_{m,n-1}-I_{m-2,n}$
$I_{n,m}=\int \frac{x^m}{(x^2+a^2{)}^n}\text{d}x$	$I_{n,m}=I_{m-2,n-1}-a^2{I}_{m-2,n}$

ปริพันธ์	สูตรลดขนาด
$I_n=\int \frac{\text{d}x}{(x^2-a^2{)}^n}$	$I_n=-\frac{x}{2a^2(n-1)(x^2-a^2{)}^{n-1}}-\frac{2n-3}{2a^2(n-1)}{I}_{n-1}$
$I_{n,m}=\int \frac{\text{d}x}{x^m(x^2-a^2{)}^n}$	$a^2{I}_{n,m}=I_{m-2,n}-I_{m,n-1}$
$I_{n,m}=\int \frac{x^m}{(x^2-a^2{)}^n}\text{d}x$	$I_{n,m}=I_{m-2,n-1}+a^2{I}_{m-2,n}$

ปริพันธ์	สูตรลดขนาด
$I_n=\int \frac{\text{d}x}{(a^2-x^2{)}^n}$	$I_n=\frac{x}{2a^2(n-1)(a^2-x^2{)}^{n-1}}+\frac{2n-3}{2a^2(n-1)}{I}_{n-1}$
$I_{n,m}=\int \frac{\text{d}x}{x^m(a^2-x^2{)}^n}$	$a^2{I}_{n,m}=I_{m,n-1}+I_{m-2,n}$
$I_{n,m}=\int \frac{x^m}{(a^2-x^2{)}^n}\text{d}x$	$I_{n,m}=a^2{I}_{m-2,n}-I_{m-2,n-1}$

ปริพันธ์	สูตรลดขนาด
$I_n=\int \frac{\text{d}x}{x^n(a{x}^2+bx+c)}$	$-c{I}_n=\frac{1}{x^{n-1}(n-1)}+b{I}_{n-1}+a{I}_{n-2}$
$I_{m,n}=\int \frac{x^m\text{d}x}{(a{x}^2+bx+c{)}^n}$	$I_{m,n}=-\frac{x^{m-1}}{a(2n-m-1)(a{x}^2+bx+c{)}^{n-1}}-\frac{b(n-m)}{a(2n-m-1)}{I}_{m-1,n}+\frac{c(m-1)}{a(2n-m-1)}{I}_{m-2,n}$
$I_{m,n}=\int \frac{\text{d}x}{x^m(a{x}^2+bx+c{)}^n}$	$-c(m-1)I_{m,n}=\frac{1}{x^{m-1}(a{x}^2+bx+c{)}^{n-1}}+a(m+2n-3)I_{m-2,n}+b(m+n-2)I_{m-1,n}$

ปริพันธ์	สูตรลดขนาด
$I_n=\int (a{x}^2+bx+c{)}^n\text{d}x$	$8a(n+1)I_{n+\frac{1}{2}}=2(2ax+b)(a{x}^2+bx+c{)}^{n+\frac{1}{2}}+(2n+1)(4ac-b^2)I_{n-\frac{1}{2}}$
$I_n=\int \frac{1}{(a{x}^2+bx+c{)}^n}\text{d}x$	$(2n-1)(4ac-b^2)I_{n+\frac{1}{2}}=\frac{2(2ax+b)}{(a{x}^2+bx+c{)}^{n-\frac{1}{2}}}+8a(n-1)I_{n-\frac{1}{2}}$

$I_{n+\frac{1}{2}}=I_{\frac{2n+1}{2}}=\int \frac{1}{(a{x}^2+bx+c{)}^{\frac{2n+1}{2}}}\text{d}x=\int \frac{1}{\sqrt{(a{x}^2+bx+c{)}^{2n+1}}}\text{d}x$

ฟังก์ชันอดิศัย

ปริพันธ์ต่อไปนี้ ประกอบด้วย

• ตัวประกอบของไซน์
• ตัวประกอบของโคไซน์
• ตัวประกอบของผลคูณและผลหารของไซน์และโคไซน์
• ผลคูณ/ผลหารของตัวประกอบเลขชี้กำลังและกำลังของ x
• ผลคูณของตัวประกอบเลขชี้กำลังและไซน์/โคไซน์

ปริพันธ์	สูตรลดทอน
$I_n=\int x^n\sin ax\text{d}x$	$a^2{I}_n=-a{x}^n\cos ax+n{x}^{n-1}\sin ax-n(n-1)I_{n-2}$
$J_n=\int x^n\cos ax\text{d}x$	$a^2{J}_n=a{x}^n\sin ax+n{x}^{n-1}\cos ax-n(n-1)J_{n-2}$
$I_n=\int \frac{\sin ax}{x^n}\text{d}x$ $J_n=\int \frac{\cos ax}{x^n}\text{d}x$	$I_n=-\frac{\sin ax}{(n-1)x^{n-1}}+\frac{a}{n-1}{J}_{n-1}$ $J_n=-\frac{\cos ax}{(n-1)x^{n-1}}-\frac{a}{n-1}{I}_{n-1}$ สูตรเหล่านี้สามารถรวมกันให้อยู่ในรูป In $J_{n-1}=-\frac{\cos ax}{(n-2)x^{n-2}}-\frac{a}{n-2}{I}_{n-2}$ $I_n=-\frac{\sin ax}{(n-1)x^{n-1}}-\frac{a}{n-1}[\frac{\cos ax}{(n-2)x^{n-2}}+\frac{a}{n-2}{I}_{n-2}]$ $\therefore I_n=-\frac{\sin ax}{(n-1)x^{n-1}}-\frac{a}{(n-1)(n-2)}(\frac{\cos ax}{x^{n-2}}+a{I}_{n-2})$ และในรูป Jn $I_{n-1}=-\frac{\sin ax}{(n-2)x^{n-2}}+\frac{a}{n-2}{J}_{n-2}$ $J_n=-\frac{\cos ax}{(n-1)x^{n-1}}-\frac{a}{n-1}[-\frac{\sin ax}{(n-2)x^{n-2}}+\frac{a}{n-2}{J}_{n-2}]$ $\therefore J_n=-\frac{\cos ax}{(n-1)x^{n-1}}-\frac{a}{(n-1)(n-2)}(-\frac{\sin ax}{x^{n-2}}+a{J}_{n-2})$
$I_n=\int {\sin }^{n}ax\text{d}x$	$an{I}_n=-{\sin }^{n-1}ax\cos ax+a(n-1)I_{n-2}$
$J_n=\int {\cos }^{n}ax\text{d}x$	$an{J}_n=\sin ax{\cos }^{n-1}ax+a(n-1)J_{n-2}$
$I_n=\int \frac{\text{d}x}{{\sin }^{n}ax}$	$(n-1)I_n=-\frac{\cos ax}{a{\sin }^{n-1}ax}+(n-2)I_{n-2}$
$J_n=\int \frac{\text{d}x}{{\cos }^{n}ax}$	$(n-1)J_n=\frac{\sin ax}{a{\cos }^{n-1}ax}+(n-2)J_{n-2}$

ปริพันธ์	สูตรลดรูป
$I_{m,n}=\int {\sin }^{m}ax{\cos }^{n}ax\text{d}x$	$I_{m,n}=\{\begin{array}{c}-\frac{{\sin }^{m-1}ax{\cos }^{n+1}ax}{a(m+n)}+\frac{m-1}{m+n}{I}_{m-2,n}\\ \frac{{\sin }^{m+1}ax{\cos }^{n-1}ax}{a(m+n)}+\frac{n-1}{m+n}{I}_{m,n-2}\end{array}$
$I_{m,n}=\int \frac{\text{d}x}{{\sin }^{m}ax{\cos }^{n}ax}$	$I_{m,n}=\{\begin{array}{c}\frac{1}{a(n-1){\sin }^{m-1}ax{\cos }^{n-1}ax}+\frac{m+n-2}{n-1}{I}_{m,n-2}\\ -\frac{1}{a(m-1){\sin }^{m-1}ax{\cos }^{n-1}ax}+\frac{m+n-2}{m-1}{I}_{m-2,n}\end{array}$
$I_{m,n}=\int \frac{{\sin }^{m}ax}{{\cos }^{n}ax}\text{d}x$	$I_{m,n}=\{\begin{array}{c}\frac{{\sin }^{m-1}ax}{a(n-1){\cos }^{n-1}ax}-\frac{m-1}{n-1}{I}_{m-2,n-2}\\ \frac{{\sin }^{m+1}ax}{a(n-1){\cos }^{n-1}ax}-\frac{m-n+2}{n-1}{I}_{m,n-2}\\ -\frac{{\sin }^{m-1}ax}{a(m-n){\cos }^{n-1}ax}+\frac{m-1}{m-n}{I}_{m-2,n}\end{array}$
$I_{m,n}=\int \frac{{\cos }^{m}ax}{{\sin }^{n}ax}\text{d}x$	$I_{m,n}=\{\begin{array}{c}-\frac{{\cos }^{m-1}ax}{a(n-1){\sin }^{n-1}ax}-\frac{m-1}{n-1}{I}_{m-2,n-2}\\ -\frac{{\cos }^{m+1}ax}{a(n-1){\sin }^{n-1}ax}-\frac{m-n+2}{n-1}{I}_{m,n-2}\\ \frac{{\cos }^{m-1}ax}{a(m-n){\sin }^{n-1}ax}+\frac{m-1}{m-n}{I}_{m-2,n}\end{array}$

ปริพันธ์	สูตรลดทอน
$I_n=\int x^n{e}^{ax}\text{d}x$ $n>0$	$I_n=\frac{x^n{e}^{ax}}{a}-\frac{n}{a}{I}_{n-1}$
$I_n=\int x^{-n}{e}^{ax}\text{d}x$ $n>0$ $n\ne 1$	$I_n=\frac{-e^{ax}}{(n-1)x^{n-1}}+\frac{a}{n-1}{I}_{n-1}$
$I_n=\int e^{ax}{\sin }^{n}bx\text{d}x$	$I_n=\frac{e^{ax}{\sin }^{n-1}bx}{a^2+(bn{)}^2}(a\sin bx-bn\cos bx)+\frac{n(n-1)b^2}{a^2+(bn{)}^2}{I}_{n-2}$
$I_n=\int e^{ax}{\cos }^{n}bx\text{d}x$	$I_n=\frac{e^{ax}{\cos }^{n-1}bx}{a^2+(bn{)}^2}(a\cos bx+bn\sin bx)+\frac{n(n-1)b^2}{a^2+(bn{)}^2}{I}_{n-2}$

บรรณานุกรม

• Anton, Bivens, Davis, Calculus, 7th edition.