ผิวกำลังสอง

แม่แบบ:ต้องการอ้างอิง ผิวกำลังสอง หรือ ควอดริก (แม่แบบ:Langx) ในทางคณิตศาสตร์ หมายถึง ผิว (hypersurface) ใน D มิติ ซึ่งกำหนดโดยคำตอบหรือทางเดินรากของสมการพหุนามกำลังสอง (quadratic polynomial) ถ้าเราพิจารณาพิกัด $\{x_0,x_1,x_2,\dots ,x_D\}$ ผิวกำลังสองถูกกำหนดด้วยสมการพีชคณิตดังต่อไปนี้

$\sum _{i,j=0}^D{Q}_{i,j}{x}_i{x}_j+\sum _{i=0}^D{P}_i{x}_i+R=0$

โดย Q คือ เมทริกซ์ มิติ D+1 และ P คือ เวกเตอร์ มิติ D+1 และ R คือ ค่าคงที่ ค่าของ Q, P และ R มักกำหนดเป็นจำนวนจริงหรือจำนวนเชิงซ้อน แต่อาจเป็นค่าฟีลด์ใด ๆ โดยทั่วไปแล้วคำตอบหรือทางเดินรากของกลุ่มของพหุนามนั้นเรียกว่าประเภทเชิงพีชคณิต (algebraic variety) ซึ่งเป็นสาขาหนึ่งของเรขาคณิตเชิงพีชคณิต (algebraic geometry) ควอดริกนั้นเป็นประเภทหนึ่งของประเภทเชิงพีชคณิต และประเภทของภาพฉายนั้นจะสมสัณฐานกับการตัดกันของควอดริก

สมการบรรทัดฐานของผิวกำลังสองใน 3 มิติ และมีจุดศูนย์กลางที่ (0,0,0) คือ

$\pm \frac{x^2}{a^2}\pm \frac{y^2}{b^2}\pm \frac{z^2}{c^2}=1$

โดยการย้ายตำแหน่งและหมุนรูปผิวกำลังสองทุกรูป สามารถแปลงให้อยู่ในรูปบรรทัดฐานได้ ในปริภูมิแบบยุคลิดสามมิติ ผิวกำลังสองนี้จะมีรูปบรรทัดฐาน 16 รูป โดยมีรูปแบบที่น่าสนใจดังต่อไปนี้:

ทรงรี	$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$
ทรงคล้ายทรงกลม (กรณีพิเศษของ ทรงรี)	$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{a^2}+\frac{z^2}{b^2}=1$
ทรงกลม (กรณีพิเศษของทรงคล้างทรงกลม)	$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{a^2}+\frac{z^2}{a^2}=1$
ทรงพาราโบลาเชิงวงรี	$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-z=0$
ทรงพาราโบลาเชิงวงกลม	$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{a^2}-z=0$
ทรงพาราโบลาเชิงไฮเพอร์โบลา	$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}-z=0$
ทรงไฮเพอร์โบลาชิ้นเดี่ยว	$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1$
ทรงไฮเพอร์โบลาสองชิ้น	$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1$
ทรงกรวย	$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=0$
ทรงกระบอกเชิงวงรี	$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$
ทรงกระบอกเชิงวงกลม	$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{a^2}=1$
ทรงกระบอกเชิงไฮเพอร์โบลา	$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$
ทรงกระบอกเชิงไฮพาราโบลา	$x^2+2y=0$

ภาคขยายของผิวกำลังสอง

นอกเหนือจากรูปแบบผิวกำลังสองมาตรฐานที่ได้กล่าวถึงไปแล้ว ยังมีการดัดแปลงรูปแบบของสมการพื้นผิวดังกล่าวเพื่อใช้ในการแทนรูปทรงเรขาคณิตที่ซับซ้อนขึ้น เช่น ซุปเปอร์ควอดริก และไฮเปอร์ควอดริก

ซุปเปอร์ควอดริก

สมการบรรทัดฐานของซุปเปอร์ควอดริกที่มีจุดศูนย์กลางที่ (0,0,0) คือ

${\left(\frac{x^2}{a^2}\right)}^{\frac{1}{{ϵ}_1}}+{\left(\frac{y^2}{b^2}\right)}^{\frac{1}{{ϵ}_2}}+{\left(\frac{z^2}{c^2}\right)}^{\frac{1}{{ϵ}_3}}=1$

หรือ ในรูป

$x(\theta ,\varphi )=$	$a\mathrm{sign}(\cos \theta \cos \varphi )|\cos \theta \cos \varphi {|}^{{ϵ}_1})$
$y(\theta ,\varphi )=$	$b\mathrm{sign}(\sin \theta \cos \varphi )|\sin \theta \cos \varphi {|}^{{ϵ}_2})$
$z(\theta ,\varphi )=$	$c\mathrm{sign}(\sin \varphi )|\sin \varphi {|}^{{ϵ}_3})$

โดย $\frac{-\pi }{2}\le \varphi \le \frac{\pi }{2}$ และ $-\pi \le \theta <\pi$

สิ่งที่ซุปเปอร์ควอดริกแตกต่างไปจากผิวกำลังสองคือ เลขยกกำลัง ${ϵ}_1,{ϵ}_2,{ϵ}_3$ โดยที่ค่า ${ϵ}_1$ และ ${ϵ}_2$ นั้นมีผลต่อรูปร่างในแนวนอน ส่วน ${ϵ}_3$ นั้นผลต่อรูปร่างในแนวตั้ง ดังแสดงในรูปด้านล่าง

${ϵ}_3=4$	ไฟล์:Sqx5x54.png	ไฟล์:Sq114.png	ไฟล์:Sq224.png	ไฟล์:Sq444.png
${ϵ}_3=2$	ไฟล์:Sqx5x52.png	ไฟล์:Sq112.png	ไฟล์:Sq222.png	ไฟล์:Sq442.png
${ϵ}_3=1$	ไฟล์:Sqx5x51.png	ไฟล์:Sq111.png	ไฟล์:Sq221.png	ไฟล์:Sq441.png
${ϵ}_3=0.5$	ไฟล์:Sqx5x5x5.png	ไฟล์:Sq11x5.png	ไฟล์:Sq22x5.png	ไฟล์:Sq44x5.png
${ϵ}_3=0.1$	ไฟล์:Sqx5x5x1.png	ไฟล์:Sq11x1.png	ไฟล์:Sq22x1.png	ไฟล์:Sq44x1.png
${ϵ}_3=0$ ไฟล์:Sq000.png	ไฟล์:Sqx5x50.png	ไฟล์:Sq110.png	ไฟล์:Sq220.png	ไฟล์:Sq440.png
${ϵ}_1={ϵ}_2=0$	${ϵ}_1={ϵ}_2=0.5$	${ϵ}_1={ϵ}_2=1$	${ϵ}_1={ϵ}_2=2$	${ϵ}_1={ϵ}_2=4$

ไฮเปอร์ควอดริก

ไฮเปอร์ควอดริกเป็นส่วนที่ขยายต่อจากซุปเปอร์ควอดริกให้มีความสามารถในการจำลองผิวที่ซับซ้อนยิ่งขึ้น โดยซุปเปอร์ควอดริกนั้นเป็นเพียงกรณีพิเศษของไฮเปอร์ควอดริก ไฮเปอร์ควอดริกนั้นสามารถเขียนในรูปสมการทางคณิตศาสตร์ดังต่อไปนี้

$\sum _{i=1}^N|l_i(x,y,z){|}^{\frac{1}{{ϵ}_i}}=1$

โดย

$l_i(x,y,z)=a_{i}x+b_{i}y+c_{i}z+d_i$

และ $N\ge 3$

ไฟล์:HQ111.png	ไฟล์:HQ222.png	ไฟล์:HQ2x22.png
${ϵ}_1={ϵ}_2={ϵ}_3=1$	${ϵ}_1={ϵ}_2={ϵ}_3=2$	${ϵ}_1={ϵ}_3=2,{ϵ}_2=0.2$

นอกเหนือจากรูปแบบของไฮเปอร์ควอดริกข้างต้น แล้วก็ยังมีการพัฒนาเพิ่มเติมความซับซ้อนของรูปร่างไฮเปอร์ควอดริก เรียกว่า "คอมโพสิทไฮเปอร์ควอดริก" หรือ "ไฮบริดไฮเปอร์ควอดริก" โดยส่วนที่เพิ่มอาจอยู่ในรูปพหุนามของเลขชี้กำลัง

$\sum _{i=1}^{N_p}|l_i^{(pol)}(x,y,z){|}^{\frac{1}{{ϵ}_i}}+\sum _{m=1}^M{w}_m\cdot e^{-\sum _{j=1}^{N_e}|l_{mj}^{(exp)}(x,y,z){|}^{\frac{1}{{ϵ}_{mj}}}}=1$

พจน์ที่เพิ่มเข้ามา มีผลในการปรับแต่งรูปทรงของผิวเฉพาะที่ เช่นใช้ในการเพิ่มหลุมหรือรอยบุ๋ม ดังแสดงในภาพด้านล่าง

ไฟล์:HQNoHole.png	$\Rightarrow$	ไฟล์:HQOneHoleV1.png	ไฟล์:HQOneHoleV2.png	ไฟล์:HQOneHoleV3.png
ไฮเปอร์ควอดริก		ภาพคอมโพสิทไฮเปอร์ควอดริก โดยการเพิ่มพจน์ของเลขยกกำลัง 1 พจน์