เรขาคณิตเชิงพีชคณิต

พื้นผิวตอกเกลียตติ (Togliatti surface) เป็นพื้นผิวพีชคณิตที่มีดีกรีเท่ากับห้า รูปนี้จำลองส่วนหนึ่งของโลคัสค่าจริงของพื้นผิวดังกล่าว

 เรขาคณิตเชิงพีชคณิต (แม่แบบ:Langx) เป็นสาขาหนึ่งของคณิตศาสตร์ที่เริ่มแรกศึกษารากของพหุนามหลายตัวแปร โดยอาศัยวิธีการทางพีชคณิตนามธรรม โดยเฉพาะอย่างยิ่งเครื่องมือจากพีชคณิตสลับที่เพื่อใช้การแก้ปัญหาทางเรขาคณิตเกี่ยวกับเซตของรากของพหุนามดังกล่าว

วัตถุพื้นฐานของการศึกษาในเรขาคณิตเชิงพีชคณิตคือวาไรตีเชิงพีชคณิต (Algebraic variety) ซึ่งเป็นผลเฉลยของระบบสมการพหุนามเมื่อมองว่าเป็นวัตถุเรขาคณิต ตัวอย่างวาไรตีเชิงพีชคณิตที่ได้รับการศึกษามากที่สุด เช่น เส้นโค้งเชิงพีชคณิตระนาบ ซึ่งรวมถึง เส้นตรง วงกลม พาราโบลา วงรี ไฮเพอร์โบลา, เส้นโค้งคิวบิก เช่น เส้นโค้งเชิงวงรี และเส้นโค้งควอร์ติกเช่น เลมนิสเคต และ วงรีแคสสินี เส้นโค้งข้างต้นมีจุดบนเส้นโค้งบางจุดที่มีความสำคัญและมีทฤษฎีที่เกี่ยวข้อง อาทิเช่น จุดเอกฐาน จุดเปลี่ยนเว้า และจุดที่ตำแหน่งอนันต์ ส่วนทฤษฎีขั้นสูงของเรขาคณิตเชิงพีชคณิตสนใจทอพอโลยีของเส้นโค้งต่าง ๆ และความสัมพันธ์ระหว่างเส้นโค้งแต่ละเส้น

เรขาคณิตเชิงพีชคณิตเป็นหัวใจสำคัญของคณิตศาสตร์สมัยใหม่ และมีความเชื่อมโยงไปยังสาขาต่าง ๆ จำนวนมาก เช่น การวิเคราะห์เชิงซ้อน ทอพอโลยี และ ทฤษฎีจำนวน ตลอดจนมีบทประยุกต์ในการออกแบบการทดลองในสถิติเชิงคณิตศาสตร์

แนวคิดพื้นฐาน

รากของระบบพหุนาม

ทรงกลมและวงกลมเอียง

ในเรขาคณิตเชิงพีชคณิต นักคณิตศาสตร์ศึกษารากของระบบสมการพหุนาม ซึ่งสามารถมองได้ว่าเป็นเซตของจุดในปริภูมิมิติต่าง ๆ ตัวอย่างเช่น ทรงกลมที่มีรัศมีเท่ากับ 1 ในปริภูมิแบบยุคลิดสามมิติ R³ เป็นเซตของจุด (x,y,z) ∈ R³ ทั้งหมดที่ทำให้

$x^2+y^2+z^2-1=0$

อีกตัวอย่างหนึ่ง วงกลมเอียง ใน R³ ซึ่งเกิดจากเซตของจุด (x,y,z) ทั้งหมดที่สอดคล้องกับระบบสมการพหุนามสองสมการ

$\{\begin{array}{c}{x}^2+y^2+z^2-1=0\\ x+y+z=0\end{array}$

วาไรตีเชิงพีชคณิต

แม่แบบ:หลัก วาไรตีเชิงพีชคณิต (Algebraic variety) เป็นวัตถุพื้นฐานที่ศึกษาในเรขาคณิตเชิงพีชคณิต ในที่นี้เราสนใจวาไรตีในเรขาคณิตเชิงพีชคณิตคลาสสิค ซึ่งมีนิยามดังนี้

วาไรตี V เหนือ Rⁿ (หรือ Cⁿ) เป็นเซตของจุด (x₁,...,x_n) ที่สอดคล้องกับระบบสมการพหนุม f_i (x₁,...,x_n) สำหรับแต่ละ i = 1, 2, ...

เส้นโค้งเชิงพีชคณิตคือวาไรตีเชิงพีชคณิตที่มี n = 2 วาไรตีเชิงพีชคณิตที่พื้นฐานที่สุด ได้แก่ วาไรตีสัมพรรค (Affine variety) และวาไรตีเชิงภาพฉาย หรือวาไรตีโพรเจคทีฟ (Projective variety)

ฟังก์ชันพหุนามและเซตเชิงพีชคณิต

แม่แบบ:หลัก ให้ $k$ เป็นฟิลด์ ในเรขาคณิตเชิงพีชคณิตคลาสสิกนิยมใช้ฟิลด์จำนวนเชิงซ้อน C แต่เราสามารถเปลี่ยน C เป็นฟีลด์ที่มีสมบัติปิดเชิงพีชคณิตใด ๆ ได้ (นั่นคือทุกพหุนามดีกรีมากกว่า 1 ในฟิลด์ $k$ มีรากเสมอ) โดยที่ทฤษฎีทั่วไปยังคงเป็นจริง

เราสนใจปริภูมิสัมพรรค (Affine space) มิติ n เหนือฟิลด์ k ซึ่งเขียนแทนด้วย ${𝐀}^n(k)$ (บางครั้งเขียน ${𝐀}^n$ เมื่อ $k$ ชัดเจนจากบริบท) สังเกตว่า หากเรากำหนดระบบพิกัดฉากให้ ${𝐀}^n(k)$ แล้ว ${𝐀}^n(k)$ จะกลายเป็นปริภูมิเวกเตอร์ $k^n$ เหตุผลที่เราไม่พิจารณา $k^n$ โดยตรงก็เพื่อ "ลืม" ว่า $k^n$ มีโครงสร้างเป็นปริภูมิเวกเตอร์

ฟังก์ชัน $f:{𝐀}^n\to {𝐀}^1$ จะเป็น ฟังก์ชันพหุนาม (หรือ ฟังก์ชันปกติ) หากสามารถเขียนเป็นพหุนามได้ นั่นคือถ้ามีพหุนาม $p\in k[x_1,\dots ,x_n]$ ที่ทำให้ $f(M)=p(t_1,\dots ,t_n)$ สำหรับทุกจุด $M$ ที่มีพิกัด $(t_1,\dots ,t_n)$ ใน ${𝐀}^n$ ในกรณีที่ฟีลด์ของเราเป็นฟิลด์ปิดเชิงพีชคณิต (หรือโดยทั่วไปกว่าเมื่อฟิลด์เป็นฟิลด์อนันต์) จะมีความสัมพันธ์ 1-1 ทั่วถึงระหว่างฟังก์ชันพหุนามและพหุนามใน $k[x_1,\dots ,x_n]$ ซึ่งทำให้เซตของฟังก์ชันพหุนามทั้งหมดเป็นริง เรียกว่า ริงของฟังก์ชันพหุนาม และเขียนแทนด้วย $k[{𝐀}^n]$

ให้ $S$ เป็นเซตของพหุนามใน $k[{𝐀}^n]$ เซตศูนย์ หรือ เซตแวนิชชิง (Zero set หรือ Vanishing set) ของ S คือเซต $V(S)$ ของจุดทั้งหมดใน ${𝐀}^n$ ที่ทำให้พหุนามทุกตัวใน $S$ เป็นศูนย์ที่จุดนั้น ตามนิยามด้านล่าง

$V(S)=\{(t_1,\dots ,t_n)\mid p(t_1,\dots ,t_n)=0\text{ for all }p\in S\}$

จะเรียกสับเซต $W$ ใด ๆ ของ ${𝐀}^n$ ว่าเป็น เซตเชิงพีชคณิต (Algebraic set) ถ้าหาก $W$ สามารถเขียนได้ในรูป $V(S)$ สำหรับบางเซต $S\subseteq k[{𝐀}^n]$

ความสมมูลระหว่างเรขาคณิต-พีชคณิต

เราสนใจปัญหาที่ว่า หากระบุสับเซต $W$ ใด ๆ ของ ${𝐀}^n$ มา สามารถหาเซตของพหุนาม $S\subseteq k[{𝐀}^n]$ ที่ก่อกำเนิด $W$ (หรือก็คือ $V(S)=W$) ได้หรือไม่

นิยามเซต $I(W)$ แทนเซตของพหุนามทั้งหมดที่เซตศูนย์ของมันมี $W$ เป็นสับเซต สัญลักษณ์ $I$ มาจากสมบัติที่ว่าเซตดังกล่าวเป็นไอดีลของ ${𝐀}^n$

จากนิยามข้างต้น ทำให้เกิดคำถามต่อไปนี้

• กำหนดเซต $W\subseteq {𝐀}^n$ ใด ๆ เมื่อไรที่ $W=V(I(W))$
• กำหนดเซตของพหุนาม $S$ เมื่อไรที่ $S=I(V(S))$

คำตอบของคำถามแรกได้จากการกำหนดทอพอโลยีบน ${𝐀}^n$ เรียกว่า ทอพอโลยีซาริสกี (Zariski topology) ซึ่งเซตปิดบนทอพอโลยีดังกล่าว ได้แก่เซตเชิงพีชคณิตทั้งหมด และทอพอโลยีนี้สะท้อนโครงสร้างพีชคณิตของ $k[{𝐀}^n]$ แล้วจะได้ว่า $W=V(I(W))$ ก็ต่อเมื่อ $W$ เป็นเซตเชิงพีชคณิต หรือเซตปิดในทอพอโลยีซาริสกี ส่วนคำถามที่สองนั้นเป็นผลจากทฤษฎีบทที่เรียกว่า ฮิลแบร์ทนูลสเต็ลเลินซาต์ส หรือ ทฤษฎีบทโลคัส-ศูนย์ของฮิลแบร์ท (Hilbert's Nullstellensatz) ซึ่งกล่าวว่า $I(V(S))$ เป็นราดิคัลของไอดีลที่ก่อกำเนิดโดย $S$ ผลลัพธ์จากทฤษฎีทั้งสองระบุว่า ไอดีลใน $k[{𝐀}^n]$ และเซตเชิงพีชคณิตใน ${𝐀}^n$ เป็นอย่างเดียวกัน

วาไรตีสัมพรรค

แม่แบบ:หลัก เซตเชิงพีชคณิตจะเป็น เซตลดรูปไม่ได้ (Irreducible set) หากมันไม่เป็นยูเนียนของเซตเชิงพีชคณิตที่เล็กกว่าสองเซตได้ เราพบว่า เซตเชิงพีชคณิตใด ๆ อยู่ในรูปยูเนียนจำกัดของเซตเชิงพีชคณิตที่ลดรูปไม่ได้ และการแยกส่วนแบบดังกล่าวมีได้แบบเดียว ดังนั้นส่วนประกอบหรือเซตเชิงพีชคณิตที่ลดรูปไม่ได้ดังกล่าวจึงถูกเรียกว่า ส่วนประกอบที่ไม่สามารถลดรูปได้ (Irreducible components) ของเซตพีชคณิต เซตเชิงพีชคณิตที่ลดรูปไม่ได้เรียกอีกอย่างว่า วาไรตี หรือ วาไรตีสัมพรรค เพื่อระบุเจาะจงว่าเราทำงานอยู่ในปริภูมิสัมพรรค

มีทฤษฎีบทว่า เซตเชิงพีชคณิตจะเป็นวาไรตีก็ต่อเมื่อ มีไอดีลเฉพาะ $I$ ของ $k[{𝐀}^n]$ ที่ทำให้เซตเชิงพีชคณิตนั้นเป็นเซตศูนย์ของไอดีล $I$

ประวัติ

คริสต์ศตวรรษที่ 20

วาน เดอร์ วาร์เดน, ออสการ์ ซาริสกี และ อองเดร์ แวย์ พัฒนารากฐานสำหรับเรขาคณิตเชิงพีชคณิตโดยอาศัยพีชคณิตสลับที่ รวมถึง ทฤษฎีแวลิวเอชัน (Valuation theory) และทฤษฎีของไอดีล เป้าหมายประการหนึ่งเพื่อสร้างกรอบโครงร่างที่รัดกุมเพื่อใช้พิสูจน์ผลงานของนักคณิตศาสตร์ด้านเรขาคณิตเชิงพีชคณิตสกุลอิตาลี ทั้งนี้เพราะว่า นักคณิตศาสตร์ในสกุลนี้ใช้แนวคิดเรื่อง จุดทั่วไป (Generic points) ในงานคณิตศาสตร์โดยไม่มีคำจำกัดความที่ชัดเจน นิยามจุดทั่วไปกำหนดเป็นครั้งแรกโดยนักคณิตศาสตร์ข้างต้นในช่วงทศวรรษ 1930

ในช่วงทศวรรษที่ 1950 และ 1960 ฌ็อง-ปิแยร์ แซร์ และ อเล็กซองดร์ โกรเธนดีก สร้างรากฐานใหม่โดยใช้ ทฤษฎีชีฟ (Sheaf theory) ในภายหลังโกรเธนดีกได้ริเริ่มเสนอแนวคิดเกี่ยวกับ สกีม (Scheme) ร่วมกับวิธีการทางฮอมอโลยี

วาไรตีที่สำคัญรูปแบบหนึ่งคือ วาไรตีอาบีเลียน ซึ่งเป็นวาไรตีเชิงภาพฉายที่มีจุดบนวาไรตีนี้เป็นกรุปอาบีเลียน ตัวอย่างต้นแบบของวาไรตีอาบีเลียนคือ เส้นโค้งเชิงวงรี ซึ่งมีทฤษฎีที่เกี่ยวข้องมากมาย เส้นโค้งเชิงวงรีเป็นเครื่องมือในการพิสูจน์ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์ และยังใช้ใน การเข้ารหัสเส้นโค้งเชิงวงรีอีกด้วย

ดูเพิ่ม

• แม่แบบ:Cite book
• แม่แบบ:Cite book
• แม่แบบ:Cite book
• The Rising Sea: Foundations of Algebraic Geometry โดย Ravi Vakil
• The Stacks Project หนังสือโอเพินซอร์สสำหรับอ้างอิงเกี่ยวกับเรขาคณิตเชิงพีชคณิต