ทรงรี

ทรงรี วาดในซอฟต์แวร์นิวพลอต

ทรงรี คือผิวกำลังสองชนิดหนึ่ง ในสามมิติ เทียบได้กับวงรีในสองมิติ รูปสมการมาตรฐานของทรงรี บนแกน x-y-z ในระบบพิกัดคาร์ทีเซียน คือ

$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$

โดย a, b และ c เป็นค่าคงที่ จำนวนจริงบวก เป็นค่าที่กำหนดรูปร่างของทรงรี ในกรณีที่ค่าคงที่ 2 ตัวมีค่าเท่ากัน จะได้กรณีพิเศษคือ ทรงคล้ายทรงกลม กรณีที่ค่าทั้ง 3 ค่ามีค่เท่ากันจะได้เป็น ทรงกลม

ถ้าสมมุติให้ a ≥ b ≥ c แล้ว

• a ≠ b ≠ c จะได้เป็น ทรงรีแกนไม่เท่า (scalene ellipsoid)
• c = 0 ได้เป็น วงรี
• c > a = b ได้รูป ทรงคล้ายทรงกลมแบนข้าง (prolate spheroid) รูปคล้ายลูกรักบี้
• c < a = b ได้รูป ทรงคล้ายทรงกลมแบนขั้ว (oblate spheroid)
• b = a = c ได้ ทรงกลม

ปริมาตร

หีบปริมาตรของทรงรี มีค่าเท่ากับ $\frac{4}{3}\pi abc$

พื้นที่ผิว

พื้นที่ผิวของทรงรี มีค่าเท่ากับ

$2\pi (c^2+\frac{b{c}^2}{\sqrt{a^2-c^2}}F(\theta ,m)+b\sqrt{a^2-c^2}E(\theta ,m))$

โดยที่

$m=\frac{a^2(b^2-c^2)}{b^2(a^2-c^2)}\theta =\arcsin \left(e\right)e=\sqrt{1-\frac{c^2}{a^2}}$

และ $F(\theta ,m)$ และ $E(\theta ,m)$ คือ ปริพันธ์เชิงวงรี ไม่สมบูรณ์ชนิดที่หนึ่ง และ ชนิดที่สอง

สูตรหาพื้นที่:

• กรณีรูปแบน: $=2\pi \left(ab\right)$
• กรณีรูปแบนข้าง: $=2\pi (c^2+ac\frac{\arcsin \left(e\right)}{e})$
• กรณีรูปแบนขั้ว: $=2\pi (a^2+c^2\frac{\mathrm{arctanh}\left(e\right)}{e})$

สูตรหาพื้นที่โดยประมาณ:

• กรณีแกนไม่เท่า: $\approx 4\pi {\left(\frac{a^p{b}^p+a^p{c}^p+b^p{c}^p}{3}\right)}^{1/p}$

โดยที่ p ≈ 1.6075 ให้ค่าความผิดพลาดสัมพัทธ์ ไม่เกิน 1.061% (สูตรของ นุด ทอมเซน) ; ค่า p = 8/5 = 1.6 เป็นค่าที่ดีที่สุดสำหรับทรงรี ที่คล้ายทรงกลม โดยมีค่าความผิดพลาดสัมพัทธ์ไม่เกิน 1.178% (สูตรของ เดวิด แคนเทรล)