ฉบับร่าง:พีชคณิตเชิงเรขาคณิต

ในทางคณิตศาสตร์ พีชคณิตเชิงเรขาคณิต (อังกฤษ: geometric algebra: GA) (และรู้จักในชื่อพีชคณิตแบบคลิฟฟอร์ด) เป็นส่วนขยายของพีชคณิตมูลฐานเพื่อใช้กับวัตถุทางเรขาคณิต เช่น เวกเตอร์ พีชคณิตเชิงเรขาคณิตสร้างขึ้นจากการตำเนินการมูลฐานสองตัวคือการบวกและผลคูณเชิงเรขาคณิต การคูณเวกเตอร์ให้ผลลัพธ์ในมิติที่สูงขึ้นเรียกมัลติเวกเตอร์ เมื่อเทียบกับรูปนัยนิยมอื่นที่กระทำกับวัตถุทางเรขาคณิต น่าสังเกตว่าพีชคณิตเชิงเรขาคณิตมีการหารเวกเตอร์ (แต่โดยทั้วไปไม่ทุกสมาชิกที่ทำได้) และการบวกของวัตถุต่างมิติ

แฮร์มัน กรัสมันได้อธีบายผลคูณเชิงเรขาคณิตนี้ไว้สั้น ๆ โดยมากเขาสนใจพัฒนาพีชคณิตภายนอกซึ่งคล้าย ๆ กัน ในปีค.ศ.1878 วิลเลียม คิงดอน คลิฟฟอร์ดได้ขยายผลงานของกรัสมันได้สร้างสิ่งที่ตอนนี้โดยทั่วไปเรียกกันว่าพีชคณิตแบบคลิฟฟอร์ดเพื่อเป็นเกียรติแก่เขา (แต่คลิฟฟอร์ดเองเลือกที่จะเรียกว่าพีชคณิตเชิงเรขาคณิต) คลิฟฟอร์ดได้นิยามพีชคณิตแบบคลิฟฟอร์ดกับผลของมันไว้ว่าเป็นการรวมกันของพีชคณิตแบบกรัสมันและพีชคณิตควอเทอร์เนียน การเพิ่มคู่ของผลคูณภายนอกกรัสมันยอมให้การใช้พีชคณิตแบบกรัสมัน-เคย์ลี และแบบคงรูปของอันหลังรวมกับพีชคณิตแบบคลิฟฟอร์ดแบบคงรูปผลให้เกิดพีชคณิตเชิงเรขาคณิตแบบคงรูป (อังกฤษ: conformal geometric algebra: CGA) ให้โครงร่างสำหรับเรขาคณิตแบบฉบับ ในทางปฏิบัติ การตำเนินการเหล่านี้และอนุพันธ์ยอมให้เกิดการสมนัยกันของสมาชิก ปริภูมิย่อยและการตำเนินการของพีชคณิตที่มีความหมายทางเรขาคณิต เป็นเวลาหลายทศวรรษที่พีชคณิตเชิงเรขาคณิตค่อนข้างถูกละเลย ถูกบดบังไปมากโดยแคลคูลัสเวกเตอร์แล้วพัฒาขึ้นใหม่เพื่ออธิบายแม่เหล็กไฟฟ้า คำว่า"พีชคณิตเชิงเรขาคณิต"เป็นที่นิยมอีกครั้งในช่วงทศวรรษ1960 โดยเฮสเทเนส ผู้บอกความสำคัญต่อฟิสิกส์สัมพัทธภาพ

สเกลาร์และเวกเตอร์มีความหมายเหมือนปกติ และประกอบเป็นปริภูมิย่อยที่เด่นชัดในพีชคณิตเชิงเรขาคณิต ไบเวกเตอร์เป็นตัวแทนที่ธรรมชาติกว่าของปริมาณเวกเตอร์เทียมของแคลคูลัสเวกเตอร์ โดยปกติจะนิยามโดยใช้ผลคูณเชิงเวกเตอร์ เช่น พื้นที่กำหนดทิศ มุมหมุนกำหนดทิศ ทอร์ค โมเมนตัมเชิงมุม และสนามแม่เหล็ก ไทรเวกเตอร์สามารถแทนปริมาตรกำหนดทิศ และอื่น ๆ สมาชิกตัวหนึ่งเรียกว่าเบลดอาจใช้แทนปริภูมิย่อยของ $V$ และภาพฉายเชิงตั้งฉากบนปริภูมิย่อยนั้น การหมุนและการสะท้อนจะแสดงเป็นสมาชิก ต่างจากพีชคณิตเวกเตอร์ พีชคณิตเชิงเรขาคณิตโดยธรรมชาติจะรองรับมิติจำนวนเท่าไหร่ก็ได้ และรูปกำลังสองใด ๆ เช่นในสัมพัทธภาพ

ตัวอย่างการใช้งานพีชคณิตเชิงเรขาคณิตในฟิสิกส์ได้แก่ พีชคณิตกาลากาศ(และที่ไม่พบบ่อยพีชคณิตของปริภูมิกายภาพ) และพีชคณิตเชิงเรขาคณิตแบบคงรูป แคลคูลัสเชิงเรขาคณิต ส่วนขยายของพีชคณิตเชิงเรขาคณิตที่รวมอนุพันธ์และปริพันธ์ สามารถใช้กำหนดทฤษฎีอื่น ๆ เช่นการวิเคราะห์เชิงซ้อน และเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์ ต.ย. โดยใช้พีชคณิตแบบคลิฟฟอร์ดแทนรูปแบบเชิงอนุพันธ์ พีชคณิตเชิงเรขาคณิตได้รับการสนับสนุนจากโดยเฉพาะเดวิด เฮสเทเนสและคริส ดอรัน ให้เป็นกรอบทางคณิตศาสตร์ที่ต้องการสำหรับฟิสิกส์ ผู้เสนออ้างว่าให้คำอธิบายที่กระทัดรัดและเข้าใจง่ายในหลายสาขารวมทั้งกลศาสตร์แบบฉบับและควอนตัม ทฤษฎีแม่เหล็กไฟฟ้า และสัมพัทธภาพ พีชคณิตเชิงเรขาคณิตยังสามารถใช้เป้นเครื่องมือในการคำนวนในคอมพิวเตอร์กราฟิกส์ และวิทยาการหุ่นยนต์

นิยามและสัญกรณ์

มีหลากหลายวิธีที่นิยามระบบพีชคณิตเชิงเรขาคณิต วิธีดั้งเดิมของเฮสเทเนสเป็นเชิงสัจพจน์ "เต็มไปด้วยความสำคัญทางเรขาคณิต" และสมมูลกับพีชคณิตแบบคลิฟฟอร์ดสากล

ให้ปริภูมิเวกเตอร์มิติจำกัด $V$ บนฟีลด์ $F$ ด้วยรูปแบบเชิงเส้นคู่สมมาตร (การคูณภายใน ต.ย. ยูคลิเดียนหรือลอเรนต์เซียนเมตริก) $g : V \times V \to F$ พีชคณิตเชิงเรขาคณิตของปริภูมิกำลังสอง $(V, g)$ นั้นเป็นพีชคณิตแบบคลิฟฟอร์ด $Cl (V, g)$ สมาชิกในนั้นเรียกว่ามัลติเวกเตอร์ พีชคณิตแบบคลิฟฟอร์ดโดยทั่วไปแล้วจะกำหนดนิยามเป็นพีชคณิตผลหารของพีชคณิตเทนเซอร์ แต่การกำหนดนิยามแบบนี้นามธรรม ดั้งนั้นนิยามดังต่อไปนี้จะเสนอโดยไม่ต้องใช้พีชคณิตนามธรรม แม่แบบ:ทฤษฎีบทคณิตศาสตร์ เพื่อปกปิดรูปแบบเชิงเส้นคู่สมมาตรลดรูป เงื่อนไขสุดท้ายต้องได้รับการแก้ไข สามารถแสดงได้ว่าเงื่อนไขหล่าวนี้บอกได้ว่าเป็นผลคูณเชิงเรขาคณิตเพียงอย่างเดียว

สำหรับที่เหลือของบทความนี้ จะพิจรณาแต่กรณีจริงที่ $F = ℝ$ สัญกรณ์ $𝒢 (p, q)$ ( $𝒢 (p, q, r)$ ตามลำดับ) จะใช้แสดงระบบพีชคณิตเชิงเรขาคณิตที่มีรูปแบบเชิงเส้นคู่ $g$ มีซิกเนเจอร์เป็น $(p, q)$ ( $(p, q, r)$ ตามลำดับ)

ผลคูณในพีชคณิตนี้เรียกว่าผลคูณเชิงเรขาตณิต และผลคูณในพีชคณิตภายนอกที่มีอยู่เรียกว่าผลคูณภายนอก (บ่อยครั้งเรียกว่าผลคูณลิ่ม) โดยมาตรฐานจะแสดงการคูณเหล่านี้โดยการเขียนติดกัน (โดยไม่เขียนสัญกรณ์การคูณ) และสัญกรณ์ $\land$ ตามลำดับ

นิยามที่ได้กล่าวไปนั้นยังค่อนข้างเป็นนามธรรม ดังนั้นจะสรุปสมบัติของผลคูณเชิงเรขาคณิตที่นี่ สำหรับมัลติเวกเตอร์ $A, B, C \in 𝒢 (p, q)$ :

$A B \in 𝒢 (p, q)$ (สมบัติการปิด)
$1 A = A 1 = A$ เมื่อ $1$ เป็นสมาชิกเอกลักษณ์ (การมีอยู่ของสมาชิกเอกลักษณ์)
$A (B C) = (A B) C$ (สมบัติการเปลี่ยนหมู่)
$A (B + C) = A B + A C$ และ $(B + C) A = B A + C A$ (สมบัติการแจกแจง)
$a^{2} = g (a, a) 1$ สำหรับ $a \in V$

ผลคูณภายนอกมีสมบัติเหมือนกัน ยกเว้นสมบัติสุดท้ายได้รับการแทนที่โดย $a \land a = 0$ สำหรับ $a \in V$

สังเกตว่าในสมบัติสุดท้ายข้างบน จำนวนจริง $g (a, a)$ ไม่จำเป็นต้องไม่เป็นลบ ถ้า $g$ ไม่เป็นบวกแน่นอน สมบัติที่สำคัญหนึ่งของผลคูณเชิงเรขาคณิตคือการมีอยู่ของสมาชิกที่มีตัวผกผันการคูณ สำหรับเวกเตอร์ $a$ ถ้า $a^{2} \neq 0$ แล้ว $a^{- 1}$ มีเท่ากับ $g (a, a)^{- 1} a$ สมาชิกที่ไม่ใช่ศูนย์ของพีชคณิตนี้ไม่จำเป็นว่าจะมีตัวผกผันการคูณเสมอ ตัวอย่างเช่น ถ้า $u$ เป็นเวกเตอร์ใน $V$ เมื่อ $u^{2} = 1$ แล้วสมาชิก $\frac{1}{2} (1 + u)$ จะเป็นทั้งสมาชิกนิจพลไม่ชัดและตัวหารของศูนย์ ดังนั้นจึงไม่มีตัวผกผัน

โดยปกติจะระบุ $ℝ$ และ $V$ กับเรนจ์ภายใต้การซ้อนธรรมชาติ $ℝ \to 𝒢 (p, q)$ และ $V \to 𝒢 (p, q)$ ในบทความนี้ การระบุนี้จะได้รับการสมมติ โดยตลอด คำว่าสเกลาร์และเวกเตอร์จะอ้างถึงสมาชิกของ $ℝ$ และ $V$ ตามลำดับ (และเรนจ์ภายใต้การซ้อนนี้)

ผลคูณเชิงเรขาคณิต

แม่แบบ:Main

สำหรับเวกเตอร์ $a$ และ $b$ เราสามารถเขียนผลคูณเชิงเรขาคณิตของสองเวกเดอร์ใด ๆ $a$ และ $b$ เป็นผลบวกของผลคูณสมมาตรและผลคูณอสมมาตร

$a b = \frac{1}{2} (a b + b a) + \frac{1}{2} (a b - b a)$

จึงกำหนดนิยามของการคูณภายในเป็น

$a \cdot b : = g (a, b)$

ทำให้ผลคูณสมมาตรสามาตรเขียนได้เป็น

$\frac{1}{2} (a b + b a) = \frac{1}{2} ((a + b)^{2} - a^{2} - b^{2}) = a \cdot b$

ในทางกลับกัน $g$ ได้รับการกำหนดอย่างสมบูรณ์โดยพีชคณิตนี้ ผลคูณอสมมาตรคือผลคูนภายนอกของสองเวกเตอร์ ผลคูณของพีชคณิตภายนอกที่อยู่ภายใน

$a \land b : = \frac{1}{2} (a b - b a) = - (b \land a)$

แม่แบบ:Multiple image

แล้วโดยการบวกตรง ๆ

$a b = a \cdot b + a \land b$ คือรูปไม่ทั่วไปหรือรูปเวกเตอร์ของผลคูณเชิงเรขาคณิต

ผลคูณภายในและภายนอกมีความสัมพันธ์กับแนวคิดในพีชคณิตเวกเตอร์ ในทางเรขขาคณิต $a$ และ $b$ จะขนานก็ต่อเมื่อผลคูณเชิงเรขาคณิตเท่ากับผลคูณภายใน ในทางกลับกัน $a$ และ $b$ จะตั้งฉากก็ต่อเมื่อผลคูณเชิงเรขาคณิตเท่ากับผลคูณภายนอก ในระบบพีชคณิตเชิงเรขาคณิตซึ่งกำลังสองของเวกเตอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์เป็นบวก ผลคูณภายในของเวกเตอร์ทั้งสองสามารถระบุได้ว่าคือผลคูณจุดในพีชคณิตเวกเตอร์ ผลคูณภายนอกสามารถระบุได้ว่าคือพื้นที่มีเครื่องหมายที่โดนล้อมโดยสี่เหลี่ยมด้านขนานโดยมีด้านเป็นเวกเตอร์ ผลคูณไขว้ของสองเวกเตอร์ใน $3$ มิติที่มีรูปแบบกำลังสองเป็นบวกแน่นอนดกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดกับผลคูณภายนอก

ระบบพีชคณิตเชิงเรขาคณิตที่สนใจส่วนใหญ่มีรูปแบบกำลังสองไม่ลดรูป ถ้ารูปแบบกำลังสองลดรูปโดยสมบูรณ์แล้ว ผลคูณภายในระหว่างสองเวกเตอร์ใด ๆ จะมีค่าเป็นศูนย์ และระบบพีชคณิตเชิงเรขาคณิตนั้นจะเป็นเพียงแค่ระบบระบบพีชคณิตภายนอก บทความนี้จะพูดถีงระบบพีชคณิตเชิงเรขาคณิตที่ไม่ลดรูป เว้นแต่จะระบุไว้

ผลคูณภายนอกโดยธรรมชาติจะขยายเป็นตัวดำเนินการทวิภาคเชิงเส้นคู่เปลี่ยนหมู่ได้ของสองสมาชิกในระบบพีชคณิต สอดคล้องกับเอกลักษณ์

$\begin{matrix} 1 \land a_{i} & = a_{i} \land 1 = a_{i} \\ a_{1} \land a_{2} \land \dots \land a_{r} & = \frac{1}{r!} \sum_{σ \in 𝔖_{r}} sgn (σ) a_{σ (1)} a_{σ (2)} \dots a_{σ (r)}, \end{matrix}$

เมื่อผลบวกรวมทุกการสับเปลี่ยนของเลขดัชนี ที่มี $sgn (σ)$ เป็นเครื่องหมายของการสับเปลี่ยน และ $a_{i}$ เป็นเวกเตอร์ (ไม่ใช่สมาชิกทั่วไปของระบบพีชคณิต) เนื่องจากทุกสมาชิกของระบบพีชคณิตสามารถเขียนในรูปของผลบวกของผลคูณในรูปนี้ สามารถนิยามผลคูณภายนอกสำหรับทุกคู่ของสมาชิกระบบพีชคณิต มาจากนิยามของผลคูณภายนอกก่อระบบพีชคณิตสลับ

เบลด เกรด และฐานหลัก

มัลติเวกเตอร์ที่เป็นผลคูณภายนอกของ $r$ เวกเตอร์ที่อิสระเชิงเส้นเรียกว่าเบลด และมีเกรด $r$ มัลติเวกเตอร์ที่เป็นผลบวกของเบลดเกรด $r$ เรียกว่ามัลติเวกเตอร์(เอกพันธุ์)เกรด $r$ จากสัจพจน์สมบัติการปิด ทุกมัลติเวกเตอร์ที่เป็นผลบวกของเบลด

การจำลองทางเรขาคณิต

ความหมายทางเรขาคณิตในแบบจำลองปริภูมิเวกเตอร์

การฉาย และรีเจกชัน

สำหรับเวกเตอร์ $a$ ใด ๆ และเวกเตอร์ $m$ ใด ๆ ที่หาตัวผกผันได้

$a = a m m^{- 1} = (a \cdot m + a \land m) m^{- 1} = a_{‖ m} + a_{⊥ m}$

เมื่อภาพฉายของ $a$ บน $m$ (หรือส่วนขนาน) คือ

$a_{‖ m} = (a \cdot m) m^{- 1}$

และฺรีเจกชันของ $a$ จาก $m$ (หรือส่วนที่ตั้งฉาก) คือ

$a_{⊥ m} = a - a_{‖ m} = (a \land m) m^{- 1}$

ใช้แนวคิดว่า $k$ -เบลด $B$ เป็นตัวแทนปริภูมิย่อยของ $V$ และทุกมัลติเวกเตอร์มารถเขียนในรูปของพจ์ของเวกเตอร์ สามารวางนัยการฉายของมัลติเวกเตอร์ทั่วไปบน $k$ -เบลด $B$ ที่หาตัวผกผันได้ ให้อยู่ในรูปทั่วไปได้เป็น

$𝒫_{B} (A) = (A ⌋ B) ⌋ B^{- 1}$

และรีเจกชันสามารถนิยามได้เป็น

$𝒫_{B}^{⊥} (A) = A - 𝒫_{B} (A)$

การฉายและรีเจกชันสามารถวางนัยทั่วไปได้กับเบลดศูนย์ $B$ โดยการเปลี่ยนตัวผกผัน $B^{- 1}$ ด้วยตัวผกผันเทียม $B^{+}$ เทียบกับผลคูณย่อ ผลลัพท์ของการฉายทับกันสนิททั้งสองกรณีสำหรับเบลดไม่เป็นศูนย์ สำหรับเบลดศูนย์ $B$ นิยามของการฉายที่ได้ให้มานี้ด้วยผลคูณย่อตัวแรกแทนที่จะเป็นตัวที่สองที่ซึ่งควรใช้ตัวผกผันเทียม เพราะเมื่อนั้นผลลัพท์จะจำเป็นต้องอยู่ในปริภูมิย่อยที่มี $B$ เป็นตัวแทน

การฉายวางนัยทั่วไปผ่านสภาพเชิงเส้นไปยังมัลติเวกเตอร์ทั่วไป $A$ การฉายจะไม่เป็นเชิงเส้นที่ $B$ และไม่สามารถวางนัยทั่วไปกับวัตถุ $B$ ที่ไม่ใช่เบลดได้

การสะท้อน

การสะท้อนอย่างง่ายในระนาบเกินเขียนได้ง่ายในพีชคณิตนี้ผ่านการคอนจูเกตด้วยเวกเตอร์ สามารถก่อกำเนิดกรุปของการหมุนและการหมุนไม่ตรงแบบทั่วไป

ภาพสะท้อน $c^{'}$ ของเวกเตอร์ $c$ ตามเวกเตอร์ $m$ หรือโดยสมมูล ในระนาบเกินตั้งฉากกับ $m$ ผลลัพธ์ของการสะท้อนจะเป็น $c^{'} = - c_{‖ m} + c_{⊥ m} = - (c \cdot m) m^{- 1} + (c \land m) m^{- 1} = (- m \cdot c - m \land c) m^{- 1} = - m c m^{- 1}$

การหมุน

ถ้ามีผลคูณเวกเตอร์ $R = a_{1} a_{2} \dots a_{r}$ แล้วจะเขียนการผันกลับได้เป็น

$\tilde{R} = a_{r} \dots a_{2} a_{1}$

ให้เป็นตัวอย่าง สมมติว่า $R = a b$ เราจะได้

$R \tilde{R} = a b b a = a b^{2} a = a^{2} b^{2} = b a^{2} b = b a a b = \tilde{R} R$

ปรับขนาด $R$ เพื่อที่ $R \tilde{R} = 1$ แล้ว

$(R v \tilde{R})^{2} = R v^{2} \tilde{R} = v^{2} R \tilde{R} = v^{2}$

ดังนั้น $R v \tilde{R}$ ไม่เปลี่ยนแปลงขนาดของ $v$ ยังสามารถแสดงได้ว่า

$(R v_{1} \tilde{R}) \cdot (R v_{2} \tilde{R}) = v_{1} \cdot v_{2}$

ดังนั้นการแปลง $R v \tilde{R}$ ทำให้ทั้งขนาดและมุม(ระหว่างเวกเตอร์)คงสภาพ จึงสามารถระบุได้ว่าเป็นการหมุนหรืแการหมุนไม่ตรงแบบ เรียก $R$ ว่าโรเตอร์ ถ้าเป็นการหมุนแท้ (ตามที่เป็นอยู่ถ้าสามารถเขียนได้อยู่ในรูปผลคูณของเวกเตอร์คู่ตัว) และเป็นตัวอย่างของสิ่งใน GA ที่เรียกว่าเวอร์เซอร์

มีวิธีทั่วไปในการหมุนเวกเตอร์ที่เกี่ยวข้องกับมัลติเวกเตอร์ในรูป $R = e^{- B θ / 2}$ ที่ก่อให้เกิดการหมุน $θ$ ในระนาบและทิศทา่งกำหนดโดย $2$ -เบลด $B$

โรเตอร์เป็นรูปทั่วไปของควอเทอร์เนีนรบนปริภูมิ $n$ -มิติ

ตัวอย่างและการประยุกต์ใช้

ปริมาตรเกินของทรงสี่เหลี่ยมด้านขนานโดยเวกเตอร์

สำหรับเวกเตอร์ $a$ และ $b$ ที่แผ่เป็นสี่เหลี่ยมด้านขนานจะได้

$a \land b = ((a \land b) b^{- 1}) b = a_{⊥ b} b$

แคลคูลัสเชิงเรขาคณิต

บทความหลัก แคลคูลัสเชิงเรขาคณิต พีชคณิตของปริภูมิกายภาพ

แคลคูลัสเชิงเรขาคณิตขยายรูปนัยนิยมเพื่อรวมการอนุพันธ์และการปริพันธ์รวมถึงเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์และรูปแบบเชิงอนุพันธ์

โดยพื้นฐาน อนุพันธ์เวกเตอร์ได้นิยามเพื่อให้ทฤษฎีบทของกรีนในพีชคณิตเชิงเรขาคณิตเป็นจริง

$\int_{A} d A \nabla f = \oint_{\partial A} d x f$

จึงสามารถกล่าวได้ว่า

$\nabla f = \nabla \cdot f + \nabla \land f$

เป็นผลคูณเชิงเรขาคณิต วางนัยทั่วไปได้กับทฤษฎีบทของสโตรกส์อย่างมีผล (รวมทั้งในรูปแบบเชิงอนุพันธ์ด้วย)

ใน 1 มิติ เมื่อ $A$ เป็นเส้นโค้งที่มีจุดปลายเป็น $a$ และ $b$ แล้ว

$\int_{A} d A \nabla f = \oint_{\partial A} d x f$

จะย่อลงเป็น

$\int_{a}^{b} d x \nabla f = \int_{a}^{b} d x \cdot \nabla f = \int_{a}^{b} d f = f (b) - f (a)$

หรือทฤษฎีมูลฐานของแตลคูลัสเชิงปริพันธ์

และที่ได้รับพัฒนาคือแนวคิดของแมนิโฟลด์เวกเตอร์และทฤษฎีการปริพันธ์เชิงเรขาคณิต(ที่วางนัยทั่วไปกับรูปแบบเชิงอนุพันธ์)

ประวัติ

ดูเพิ่ม

หมายเหตุ

แม่แบบ:รายการหมายเหตุ

อ้างอิง

แหล่งอ้างอิงและอ่านเพิ่มเติม

แม่แบบ:Refbegin

Arranged chronologically

แม่แบบ:Refend

ฉบับร่าง:พีชคณิตเชิงเรขาคณิต

เนื้อหา