กฎของชเต็ฟฟัน–บ็อลทซ์มัน

มีข้อผิดพลาดในการสร้างรูปย่อ:

กราฟของฟังก์ชันซึ่งแสดงสัดส่วนระหว่างพลังงานทั้งหมดที่ถูกส่งออกมาจากวัตถุดำ $j^{\star }$ กับอุณหภูมิทางอุณหพลศาสตร์ $T$ และเส้นสีฟ้าแสดงถึงพลังงานทั้งหมดตามการประมาณของวีน (Wien approximation) $j_W^{\star }=j^{\star }/\zeta (4)\approx 0.924\sigma T^4$

กฎของชเต็ฟฟัน–บ็อลทซ์มัน (แม่แบบ:Langx) ใช้อุณหภูมิเพื่ออธิบายถึงพลังงานที่วัตถุดำแผ่รังสีออกมา โดยกล่าวว่าพลังงานทั้งหมดซึ่งวัตถุดำแผ่ออกมาต่อหน่วยพื้นที่ผิวที่ความยาวคลื่นทุกค่าต่อหน่วยเวลา $j^{\star }$ (หรือเรียกว่าความเปล่งรังสีของวัตถุดำ) ซึ่งแปรผันตรงกับอุณหภูมิทางอุณหพลศาสตร์ ของวัตถุดำ T กำลังสี่:

$j^{\star }=\sigma T^4.$

ในที่นี้ σ เป็นค่าคงตัว เรียกว่า ค่าคงตัวของชเต็ฟฟัน–บ็อลทซ์มัน (Stefan–Boltzmann constant) ซึ่งหามาได้จากค่าคงตัวทางฟิสิกส์ค่าอื่นที่รู้อยู่แล้ว ค่าคงตัวนี้มีค่าเท่ากับ

$\sigma =\frac{2{\pi }^5{k}^4}{15c^2{h}^3}=5.670373\times 10^{-8}\mathrm{W}{\mathrm{m}}^{\mathrm{-}\mathrm{2}}{\mathrm{K}}^{\mathrm{-}\mathrm{4}},$

เมื่อ k เป็นค่าคงตัวบ็อลทซ์มัน h เป็นค่าคงตัวของพลังค์ และ c เป็นอัตราเร็วของแสงในสุญญากาศ ความแรงรังสี (radiance) จากองศาการมองที่กำหนด (วัตต์ต่อตารางเมตรต่อสเตอเรเดียน) ถูกกำหนดไว้เป็น

$L=\frac{j^{\star }}{\pi }=\frac{\sigma }{\pi }{T}^4.$

วัตถุที่ไม่ดูดกลืนรังสีตกกระทบทั้งหมด (บางครั้งถูกเรียกว่าวัตถุเทา) ปล่อยพลังงานรวมทั้งหมดน้อยกว่าวัตถุดำและมีคุณลักษณะสภาพเปล่งรังสี (Emissivity) $\epsilon <1$:

$j^{\star }=\epsilon \sigma T^4.$

การเปล่งรังสี $j^{\star }$ มีมิติ (dimensional analysis) เป็นฟลักซ์พลังงาน (energy flux) (พลังงานต่อหน่วยเวลาต่อหน่วยพื้นที่) และหน่วย SI ของมันคือจูลต่อวินาทีต่อตารางเมตรหรือวัตต์ต่อตารางเมตร หน่วย SI ของอุณหภูมิสัมบูรณ์ T คือเคลวิน สภาพเปล่งรังสีของวัตถุเทาคือ $\epsilon$ และหากเป็นวัตถุดำที่สมบูรณ์ $\epsilon =1$ ส่วนในกรณีทั่วไป (และสมจริงกว่า) นั้นสภาพเปล่งรังสีขึ้นอยู่กับความยาวคลื่น

$\epsilon =\epsilon (\lambda )$

เราสามารถหากำลังทั้งหมดที่ถูกแผ่รังสีออกมาจากวัตถุได้ด้วยการคูณด้วยพื้นที่ผิว $A$:

$P=A{j}^{\star }=A\epsilon \sigma T^4.$

อนุภาคระดับความยาวคลื่นและเล็กกว่าความยาวคลื่น อภิวัสดุ (metamaterial) และโครงสร้างนาโนอื่น ๆ ไม่อยู่ภายใต้ข้อจำกัดของทัศนศาสตร์เชิงเรขาคณิตหรือรังสี และอาจถูกออกแบบมาให้เกินกว่ากฎของชเต็ฟฟัน-บ็อลทซ์มัน

ประวัติ

ในปี ค.ศ. 1864 จอห์น ทินดัลล์ (John Tyndall) นำแสนอการวัดค่าการเปล่งรังสีอินฟราเรดของเส้นใยทองคำขาวและสีของเส้นใยที่สอดคล้องกันแม่แบบ:Sfn

สัดส่วนกำลังสี่ของอุณหภูมิสัมบูรณ์นั้นถูกนิรนัยโดยโยเซ็ฟ ชเต็ฟฟัน (ค.ศ. 1835–1893) ในปี ค.ศ. 1879 บนพื้นฐานของการวัดผลการทดลองของทินดัลล์ในบทความ Über die Beziehung zwischen der Wärmestrahlung und der Temperatur (เกี่ยวกับความสัมพันธ์ระหว่างการแผ่รังสีความร้อนกับอุณหภูมิ) ใน Bulletins from the sessions ของ Vienna Academy of Sciences.

ลูทวิช บ็อลทซ์มัน (ค.ศ. 1844–1906) ได้นำเสนอการอนุพัทธ์กฎนี้ผ่านการพิจารณาเชิงทฤษฎีในปี ค.ศ. 1884 โดยนำงานของอาดอลโฟ บาร์โตลี (Adolfo Bartoli) มาใช้ ในปี ค.ศ. 1876 บาร์โทลิได้อนุพัทธ์การมีอยู่ของแรงดันรังสี (radiation pressure) จากหลักอุณหพลศาสตร์ และต่อมาบ็อลทซ์มันได้พิจารณาถึงเครื่องจักรความร้อนที่ใช้รังสีแม่เหล็กไฟฟ้าเป็นสิ่งที่ทำงานแทนแก็สอุดมคติ

กฎนี้ถูกยืนยันผ่านการทดลองแทบจะทันที ไฮน์ริช ฟรีดริช เวเบอร์ ได้ชี้ให้เห็นการเบี่ยงเบนในอุณหภูมิที่สูงกว่าแต่ได้มีการยืนยันถึงความแม่นยำเกือบสมบูรณ์ภายในความไม่แน่นอนของการวัดในอุณหภูมิสูงถึง 1535 เคลวินในปี ค.ศ. 1897 กฎนี้รวมไปถึงการคาดการณ์เชิงทฤษฎีของค่าคงตัวของชเต็ฟฟัน–บ็อลทซ์มันว่าเป็นฟังก์ชันของอัตราเร็วของแสง ค่าคงตัวบ็อลทซ์มัน และค่าคงตัวของพลังค์เป็นผลพวงโดยตรงของกฎของพลังค์อย่างที่ถูกกำหนดไว้ในปี ค.ศ. 1900

ตามการนิยามหน่วยฐานเอสไอใหม่ พ.ศ. 2562 ซึ่งแก้ไขค่าของค่าคงตัวบ็อลทซ์มัน k ค่าคงตัวของพลังค์ h และอัตราเร็วของแสง c ค่าคงตัวของชเต็ฟฟัน–บ็อลทซ์มันมีค่าอย่างแม่นยำเท่ากับ

$\sigma =\frac{5454781984210512994952000000{\pi }^5}{29438455734650141042413712126365436049}\mathrm{W}{\mathrm{m}}^{\mathrm{-}\mathrm{2}}{\mathrm{K}}^{\mathrm{-}\mathrm{4}}.$

ตัวอย่าง

อุณหภูมิของดวงอาทิตย์

ชเต็ฟฟันยังได้คำนวณอุณหภูมิบนพื้นผิวของดวงอาทิตย์ด้วยกฎของเขาแม่แบบ:Rp. เขาอนุมานจากข้อมูลของ ฌัก-หลุยส์ ซอแร (Jacques-Louis Soret; 1827–1890) ได้ว่าความหนาแน่นของฟลักซ์พลังงานจากดวงอาทิตย์มีค่ามากกว่าความหนาแน่นของฟลักซ์พลังงานจากแผ่นโลหะบาง ๆ ชนิดหนึ่งที่ร้อนถึง 29 เท่า แผ่นบาง (lamella) รูปร่างกลมถูกวางไว้ห่างไประยะหนึ่งซึ่งทำให้มองเห็นอยู่ในมุมเดียวกับดวงอาทิตย์ โซเรต์ประมาณไว้ว่าอุณหภูมิของแผ่นบางคือประมาณ 1900 ถึง 2000°C ชเต็ฟฟันสันนิษฐานว่า ⅓ ของฟลักซ์พลังงานจากดวงอาทิตย์ถูกดูดกลืนโดยบรรยากาศของโลก เขาจึงถือว่าฟลักซ์พลังงานของดวงอาทิตย์ที่ถูกต้องมีค่ามากกว่าค่าของโซเรต์ 3/2 เท่า คือ 29 × 3/2 = 43.5 เท่า

ค่าของการดูดกลืนของบรรยากาศไม่เคยมีการวัดค่าอย่างแม่นยำจนกระทั่งปี ค.ศ. 1888 และ 1904 ค่าของอุณหภูมิที่ชเต็ฟฟันได้มาคือค่ามัธยฐานของค่าก่อน ๆ คือ 1950 °C และค่าสัมบูรณ์เท่ากับ 2200 K ในเมื่อ 2.57⁴ = 43.5 จึงอนุมานตามกฎได้ว่าอุณหภูมิของดวงอาทิตย์มีค่ามากกว่าอุณหภูมิของแผ่นบางแผ่นนั้น 2.57 เท่า เขาจึงได้ค่าออกมาเท่ากับ 5430 °C หรือ 5700 K (ค่าที่วัดได้ปัจจุบันคือ 5778 K) นี่เป็นการวัดค่าอุณหภูมิของดวงอาทิตย์ที่สมเหตุสมผลเป็นครั้งแรก แต่ก่อนนี้ค่าที่วัดได้มีค่าต่ำสุดตั้งแต่ 1800 °C จนถึงค่าสูงสุด 13,000,000 °C โกลด ปูยเย (Claude Pouillet) (ค.ศ. 1790–1868) คำนวณได้ค่าต่ำสุด 1800 °C ในปี ค.ศ. 1838 โดยใช้กฎของดูลง–เปอตี (Dulong–Petit law)

อุณหภูมิของดาวฤกษ์

อุณหภูมิของดาวฤกษ์ดวงอื่นนอกเหนือจากดวงอาทิตย์สามารถประมาณได้ด้วยวิธีที่คล้ายกันโดยการถือพลังงานที่เปล่งออกมาเสมือนการแผ่รังสีของวัตถุดำ So:

$L=4\pi R^2\sigma {T_e}^4$

โดย L เป็นกำลังส่องสว่าง σ เป็นค่าคงตัวของชเต็ฟฟัน–บ็อลทซ์มัน R เป็นรัศมีของดาว (stellar radius) และ T เป็นอุณหภูมิยังผล เราสามารถใช้สูตรเดียวกันเพื่อคำนวณรัศมีโดยประมาณของดาวฤกษ์แถบลำดับหลัก (main sequence stars) เทียบกับของดวงอาทิตย์:

$\frac{R}{R_{\odot }}\approx {\left(\frac{T_{\odot }}{T}\right)}^{-2}\cdot \sqrt{\frac{L}{L_{\odot }}}$

โดย $R_{\odot }$ เป็นรัศมีดวงอาทิตย์ $L_{\odot }$ เป็นความสว่างดวงอาทิตย์เป็นต้น

นักดาราศาสตร์สามารถอนุมานหารัศมีของดาวฤกษ์ได้ด้วยกฎของชเต็ฟฟัน–บ็อลทซ์มัน

กฎนี้ปรากฏในอุณหพลศาสตร์ (Black hole thermodynamics) ของหลุมดำในสิ่งที่เรียกว่าการแผ่รังสีฮอว์กิง

อุณหภูมิยังผลของโลก

ในทางคล้ายกันเราสามารถคำนวณอุณหภูมิยังผลของโลก T_⊕ ด้วยการจับพลังงานที่ได้รับจากดวงอาทิตย์มาเท่ากับพลังงานที่แผ่รังสีจากโลกภายใต้การประมาณของวัตถุดำ (การผลิตพลังงานของโลกเองนั้นน้อยพอที่ไม่จำเป็นต้องสนใจ) กำลังส่องสว่างของดวงอาทิตย์ L_⊙ ถูกกำหนดไว้เป็น:

$L_{\odot }=4\pi R_{\odot }^2\sigma T_{\odot }^4$

พลังงานเคลื่อนมาที่โลกผ่านทรงกลมรัศมี a₀ หรือระยะทางจากดวงอาทิตย์มาที่โลก ความรับอาบรังสี (irradiance) (พลังที่ได้รับต่อหน่วยพื้นที่) ถูกกำหนดไว้เป็น

$E_{\oplus }=\frac{L_{\odot }}{4\pi a_0^2}$

รัศมีของโลกเท่ากับ R_⊕ ดังนั้นจึงมีพื้นที่ตัดขวางเท่ากับ $\pi R_{\oplus }^2$ ฟลักซ์การแผ่รังสี (radiant flux) (นั่นคือ พลังแสงอาทิตย์) ที่โลกดูดกลืนถูกกำหนดเป็น:

${\mathrm{\Phi }}_{\text{abs}}=\pi R_{\oplus }^2\times E_{\oplus }:$

เพราะกฎของชเต็ฟฟัน–บ็อลทซ์มันใช้เลขชี้กำลังที่สี่ จึงมีผลให้การแลกเปลี่ยนเสถียร ฟลักซ์ที่ถูกปล่อยจากโลกจึงมีแนวโน้มเท่ากับฟลักซ์ที่ดูดกลืน และมีสภาพใกล้เคียงกับสภาวะคงที่:

$\begin{array}{cc}4\pi R_{\oplus }^2\sigma T_{\oplus }^4& =\pi R_{\oplus }^2\times E_{\oplus }\\ & =\pi R_{\oplus }^2\times \frac{4\pi R_{\odot }^2\sigma T_{\odot }^4}{4\pi a_0^2}\\ \end{array}$

T_⊕ จึงหาได้จาก:

$\begin{array}{cc}{T}_{\oplus }^4& =\frac{R_{\odot }^2{T}_{\odot }^4}{4a_0^2}\\ T_{\oplus }& =T_{\odot }\times \sqrt{\frac{R_{\odot }}{2a_0}}\\ & =5780\mathrm{K}\times \sqrt{\frac{696\times 10^6\mathrm{m}}{2\times 149.598\times 10^9\mathrm{m}}}\\ & \approx 279\mathrm{K}\end{array}$

โดย T_⊙ เป็นอุณหภูมิของดวงอาทิตย์ R_⊙ เป็นรัศมีของดวงอาทิตย์ และ a₀ เป็นระยะทางระหว่างโลกกับดวงอาทิตย์ ทั้งหมดนี้ให้ค่าอุณหภูมิยังผลของโลกเท่ากับ 6 °C บนพื้นผิวของโลก เมื่อเราถือว่าโลกไม่มีชั้นบรรยากาศและสามารถดูดกลืนการเปล่งรังสีที่ตกกระทบได้ทั้งหมด

โลกมีอัตราส่วนสะท้อนเท่ากับ 0.3 นั่นหมายความว่า 30% ของรังสีจากดวงอาทิตย์ที่ชนโลกนั้นจะสะท้อนกลับไปในอวกาศ ผลของอัตราส่วนสะท้อนที่มีต่ออุณหภูมิสามารถถูกประมาณได้ว่าพลังงานที่ถูกดูดกลืนลดลงเหลือ 70% แต่โลกก็จะยังแผ่รังสีออกแบบวัตถุดำ (ตามนิยามของอุณหภูมิยังผลซึ่งเป็นสิ่งที่เรากำลังคำนวณ) การประมาณอันนี้ลดอุณหภูมิที่คำนวณลงได้ 0.7^1/4 เท่าเหลือ 255 K (−18 °C)

อุณหภูมิที่คำนวณได้ด้านบนเป็นอุณหภูมิของโลกอย่างที่มองเห็นจากอวกาศ ไม่ใช่อุณหภูมิบนพื้นผิวแต่เป็นค่าเฉลี่ยของวัตถุที่เปล่งรังสีทั้งหมดตั้งแต่บนพื้นผิวจนถึงพื้นที่ระดับสูง อุณหภูมิพื้นผิวเฉลี่ยจริงของโลกคือประมาณ 288 K (15 °C) ซึ่งสูงกว่าอุณหภูมิยังผล 255 K และอุณหภูมิของวัตถุดำ 279 K เนื่องมาจากปรากฏการณ์เรือนกระจก

ด้านบนเราสมมติว่าพื้นผิวทั้งหมดของโลกมีอุณหภูมิเดียวกัน เราจึงถามได้อีกว่าอุณหภูมิของพื้นผิววัตถุดำบนโลกจะมีอุณหภูมิเท่าใดหากเราสมมติว่าผิวนั้นอยู่ในสภาวะสมดุลกับแสงอาทิตย์ที่ตกกระทบ แต่นี่ขึ้นอยู่กับองศาของแสงอาทิตย์และปริมาณบรรยากาศที่แสงส่องผ่าน เมื่อดวงอาทิตย์อยู่เหนือศีรษะและพื้นผิวนอนราบ ความรับอาบรังสีสามารถสูงถึง 1120 W/m² และเราได้อุณหภูมิจากกฎของชเต็ฟฟัน–บ็อลทซ์มันเท่ากับ

$T={\left(\frac{1120{\text{ W/m}}^2}{\sigma }\right)}^{1/4}\approx 375\text{ K}$

หรือ 102 °C (ด้านบนชั้นบรรยากาศอุณหภูมิจะสูงขึ้นเป็น: 394 K.) เราสามารถมองพื้นผิวของโลกได้ว่า "พยายาม" กลับเข้าสู่สภาวะสมดุลในช่วงเวลากลางวันแต่ถูกทำให้เย็นลงโดยบรรยากาศ และ "พยายาม" กลับเข้าสู่สภาวะสมดุลกับแสงดาวและแสงจันทร์ในช่วงเวลากลางคืนแต่ถูกทำให้อุ่นโดยบรรยากาศ

ต้นกำเนิด

การอนุพัทธ์ความหนาแน่นของพลังงานโดยทางอุณหพลศาสตร์

ข้อเท็จจริงว่าความหนาแน่นของพลังงาน (energy density) ภายในกล่องที่บรรจุรังสีแปรผันกับ $T^4$ นั้นสามารถหามาได้ด้วยอุณหพลศาสตร์แม่แบบ:Sfn การอนุพัทธ์นี้ใช้ความสัมพันธ์ระหว่างแรงดันรังสี p กับความหนาแน่นของพลังงานภายใน (internal energy) $u$ ซึ่งสามารถแสดงได้ด้วยรูปแบบของเทนเซอร์ความเค้น-พลังงานแม่เหล็กไฟฟ้า (electromagnetic stress–energy tensor) ความสัมพันธ์นี้คือ:

$p=\frac{u}{3}.$

จากความสัมพันธ์ทางอุณหพลศาสตร์มูลฐาน (fundamental thermodynamic relation)

$dU=TdS-pdV,$

หลังจากหารด้วย $dV$ และตรึงค่า $T$ ไว้ เราจึงได้นิพจน์ดังต่อไปนี้:

${\left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)}_T=T{\left(\frac{\partial S}{\partial V}\right)}_T-p=T{\left(\frac{\partial p}{\partial T}\right)}_V-p.$

สมการสุดท้ายได้มาจากความสัมพันธ์ของแมกซ์เวลล์:

${\left(\frac{\partial S}{\partial V}\right)}_T={\left(\frac{\partial p}{\partial T}\right)}_V.$

จากนิยามของความหนาแน่นของพลังงาน เราจึงได้

$U=uV$

โดยความหนาแน่นของพลังงานของการแผ่รังสีขึ้นอยู่กับอุณหภูมิเท่านั้น ดังนั้น

${\left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)}_T=u{\left(\frac{\partial V}{\partial V}\right)}_T=u.$

แล้วสมการนี้

${\left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)}_T=T{\left(\frac{\partial p}{\partial T}\right)}_V-p,$

เมื่อแทน ${\left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)}_T$ และ $p$ ด้วยนิพจน์ซึ่งสมมูลของแต่ละอันลงไปในสมการ ก็จะเขียนใหม่ได้เป็น

$u=\frac{T}{3}{\left(\frac{\partial u}{\partial T}\right)}_V-\frac{u}{3}.$

ในเมื่ออนุพันธ์ย่อย ${\left(\frac{\partial u}{\partial T}\right)}_V$ สามารถแสดงออกเป็นความสัมพันธ์ระหว่าง $u$ และ $T$ เพียงสองอย่างเท่านั้น (ถ้าย้ายข้างไปอยู่อีกฝั่งของสมการ) เราสามารถเปลี่ยนอนุพันธ์ย่อยนี้เป็นอนุพันธ์แบบธรรมดา และหลังจากแยกผลต่างเชิงอนุพันธ์ออกจากกันแล้วสมการจะกลายเป็น

$\frac{du}{4u}=\frac{dT}{T},$

ซึ่งนำไปสู่ $u=A{T}^4$ โดย $A$ เป็นค่าคงตัวของปริพันธ์ค่าหนึ่ง

การอนุพัทธ์จากกฎของพลังค์

ไฟล์:Stefan-Boltzmann Law.png

การอนุพัทธ์กฎของชเต็ฟฟัน–บ็อลทซ์มันด้วยกฎของพลังค์

เราสามารถอนุพัทธ์กฎนี้ได้ด้วยการพิจารณาพื้นผิวของวัตถุดำแบนราบราบขนาดเล็กซึ่งแผ่รังสีออกมาเป็นครึ่งทรงกลม และจะใช้ระบบพิกัดทรงกลมในการอนุพัทธ์ โดย θ เป็นมุมเชิงขั้ว (zenith angle) และ φ เป็นมุมทิศ (azimuth angle) พื้นผิวของวัตถุดำแบนราบอยู่บนระนาบ xy ที่ θ = ^{แม่แบบ:Pi}/₂

ความเข้มของแสงที่เปล่งออกมาจากพื้นผิววัตถุดำถูกกำหนดโดยกฎของพลังค์เป็น:

$I(\nu ,T)=\frac{2h{\nu }^3}{c^2}\frac{1}{e^{h\nu /(kT)}-1}.$

โดย

• $I(\nu ,T)$ คือปริมาณของกำลังต่อหน่วยพื้นที่ผิวต่อหน่วยมุมตัน (solid angle) ต่อหน่วยความถี่ ที่เปล่งออกมา ณ ความถี่ $\nu$ จากวัตถุดำที่อุณหภูมิ T.
• $h$ คือค่าคงตัวของพลังค์
• $c$ คืออัตราเร็วของแสง และ
• $k$ คือค่าคงตัวบ็อลทซ์มัน

$I(\nu ,T)Ad\nu d\mathrm{\Omega }$ คือปริมาณของกำลังที่แผ่ออกมาโดยพื้นที่ผิว A ผ่านมุมตัน dΩ ในช่วงความถี่ระหว่าง ν และ ν + dν.

กฎของชเต็ฟฟัน–บ็อลทซ์มันกำหนดกำลังที่เปล่งออกมาต่อหน่วยพื้นที่ของวัตถุเป็น

$\frac{P}{A}=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}I(\nu ,T)d\nu \int \cos \theta d\mathrm{\Omega }$

โคไซน์มีอยู่ในสมการเพราะวัตถุดำเป็นแหล่งกำเนิดรังสีแบบลัมแบร์ท (นั่นคือ ปฏิบัติตามกฎโคไซน์ของลัมแบร์ท) หมายความว่าความเข้มที่ตรวจวัดได้ตลอดทรงกลมนั้นจะเท่ากับความเข้มจริงคูณด้วยโคไซน์ของมุมเชิงขั้ว เราจำเป็นเป็นต้องปริพันธ์ $d\mathrm{\Omega }=\sin \theta d\theta d\phi$ ตลอดครึ่งทรงกลม และปริพันธ์ $\nu$ จาก 0 ถึง ∞ เพื่ออนุพัทธ์หากฎของชเต็ฟฟันบ็อลทซ์มัน

$\begin{array}{cc}\frac{P}{A}& =\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}I(\nu ,T)d\nu \underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}d\phi \underset{0}{\overset{\pi /2}{\int }}\cos \theta \sin \theta d\theta \\ & =\pi \underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}I(\nu ,T)d\nu \end{array}$

แล้วใส่ค่า I ลงไป:

$\frac{P}{A}=\frac{2\pi h}{c^2}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{{\nu }^3}{e^{\frac{h\nu }{kT}}-1}d\nu$

เราต้องใช้การแทนที่เพื่อแก้ปริพันธ์นี้

$\begin{array}{cc}u& =\frac{h\nu }{kT}\\ du& =\frac{h}{kT}d\nu \end{array}$

และได้:

$\frac{P}{A}=\frac{2\pi h}{c^2}{\left(\frac{kT}{h}\right)}^4\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{u^3}{e^u-1}du.$

ปริพันธ์ฝั่งขวาเป็นแบบมาตรฐานซึ่งมีชื่อเรียกหลายชื่อ มันเป็นกรณีเฉพาะของปริพันธ์โพส-ไอน์สไตน์ (Bose-Einstein integral), โพลีลอการิทึม (Polylogarithm) หรือฟังก์ชันซีตาของรีมัน $\zeta (s)$ ค่าของปริพันธ์เท่ากับ $6\zeta (4)=\frac{{\pi }^4}{15}$ ทำให้ได้ผลลัพธ์สำหรับพื้นผิววัตถุดำเป็น:

$j^{\star }=\sigma T^4,\sigma =\frac{2{\pi }^5{k}^4}{15c^2{h}^3}=\frac{{\pi }^2{k}^4}{60{\hslash }^3{c}^2}.$

สุดท้าย แม้การพิสูจน์นี้เริ่มจากการพิจารณาพื้นผิวแบนราบขนาดเล็กเท่านั้น แต่เราสามารถประมาณพื้นผิวที่อนุพันธ์ได้ (Differentiable manifold) ทุกผิวด้วยพื้นผิวแบนราบขนาดเล็กได้ พลังงานทั้งหมดที่แผ่ออกมาคือผลรวมของพลังงานที่แผ่ออกมาจากพื้นผิวทั้งหมดตราบใดที่ลักษณะทางเรขาคณิตของพื้นผิวนั้นไม่ทำให้วัตถุดำต้องดูดกลืนรังสีที่ตัวเองเปล่งออกมากลับเข้าไป และพื้นที่ผิวทั้งหมดคือผลรวมของพื้นที่ของพื้นผิวแต่ละผิว ดังนั้นกฎนี้จึงเป็นจริงสำหรับวัตถุดำแบบคอนเวกซ์หรือนูน (convex set) ทุกวัตถุตราบใดที่พื้นผิวมีอุณหภูมิเท่ากันตลอดทั้งผิว กฎนี้สามารถขยายไปใช้กับวัตถุที่ไม่นูนได้เพียงใช้ข้อเท็จจริงที่ว่าเปลือกหุ้มคอนเวกซ์ (convex hull) ของวัตถุดำนั้นแผ่รังสีเสมือนตัวมันเองเป็นวัตถุดำ

ความหนาแน่นของพลังงาน

เราสามารถคำนวณความหนาแน่นของพลังงานรวม U ได้ในลักษณะคล้ายกัน ต่างกันเพียงคราวนี้เราจะปริพันธ์ตลอดทั้งทรงกลม และไม่มีโคไซน์ และเราจะหารฟลักซ์พลังงาน (U c) ด้วยอัตราเร็ว c เพื่อให้ค่าความหนาแน่นของพลังงาน U:

$U=\frac{1}{c}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}I(\nu ,T)d\nu \int d\mathrm{\Omega }$

ดังนั้น $\underset{0}{\overset{\pi /2}{\int }}\cos \theta \sin \theta d\theta$ ถูกแทนที่ด้วย $\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}\sin \theta d\theta$, ซึ่งให้ตัวประกอบเพิ่มค่าเท่ากับ 4

ดังนั้น จากทั้งหมดได้:

$U=\frac{4}{c}\sigma T^4$

ดูเพิ่ม

• กฎการกระจัดของวีน (Wien's displacement law)
• กฎของเรย์ลี–จีนส์ (Rayleigh–Jeans law)
• ความแผ่รังสี
• วัตถุดำ
• สมการซากุมะ–ฮัตโตริ (Sakuma–Hattori equation)

บรรณานุกรม

• แม่แบบ:Citation ; Available at: National Institute of Science Communication and Information Resources (New Dehli, India)
• แม่แบบ:Citation

แหล่งข้อมูลอื่น

• แม่แบบ:คอมมอนส์-หมวดหมู่-บรรทัด