สเตอเรเดียน

ไฟล์:Steradian.svg

มุมในทรงตันขนาด 1 สเตอเรเดียน

สเตอเรเดียน (แม่แบบ:Langx) คือหน่วยวัดมุมในวัตถุทรงตันชนิดหนึ่ง ใช้อธิบายขนาดของการวาดมุมแบบสองมิติ บนปริภูมิสามมิติ ในแนวความคิดเดียวกับการวัดมุมบนระนาบสองมิติของเรเดียน ชื่อของ สเตอเรเดียน มาจากภาษากรีก stereos แปลว่า ตัน สเตอเรเดียนยังเป็นหน่วยอนุพัทธ์เอสไอ และใช้สัญลักษณ์ "sr"

สเตอเรเดียนนั้นเป็นหน่วยที่ไร้มิติ เช่น 1 sr = m²·m^-2 = 1 แต่ก็ควรใส่หน่วย "sr" ไว้เพื่อให้มีความแตกต่างจากหน่วยอนุพัทธ์ที่ไร้มิติอื่น ๆ หรือไม่มีเลย ก็คือพื้นที่ของรูปที่เห็นหารด้วยพื้นที่ทั้งหมดของพื้นที่ที่เห็น

นิยาม

หนึ่งสเตอเรเดียน คือ ขนาดของมุมในทรงตันที่วัดจากจุดศูนย์กลางของทรงกลมที่มีรัศมียาว r ที่กวาดไปบนพื้นที่ผิวของทรงกลมนั้น เป็นพื้นที่เท่ากับ r²

ไฟล์:Steradian cone and cap.svg

ภาพตัดตามยาวของกรวยและหมวกของทรงกลม บนพื้นที่ผิว A

ถ้าสมมติให้ A มีพื้นที่เท่ากับ r² ที่อยู่บนหมวกของทรงกลมซึ่งมีพื้นที่ผิวเท่ากับ 2πrh
เราจะได้ความสัมพันธ์คือ แม่แบบ:เศษ = แม่แบบ:เศษ ดังนั้นมุมในทรงตันของกรวยที่อยู่ภายในจะกวาดมุมออกไปเท่ากับ θ ดังนี้

$\begin{array}{cc}\theta & ={\cos }^{-1}\left(\frac{r-h}{r}\right)\\ & ={\cos }^{-1}(1-\frac{h}{r})\\ & ={\cos }^{-1}(1-\frac{1}{2\pi })\approx 0.572rad\text{ or }32.77^{\circ }\end{array}$

ซึ่งค่ามุมนี้แสดงให้เห็นว่าจุดยอดของกรวยนั้นกางออก 2θ ≈ 1.144 rad หรือ 65.54° เนื่องจากพื้นที่ผิวของทรงกลมนั้นมีค่า 4πr² ดังนั้นมุมในทรงตันของทรงกลมจึงมีค่า 4π ≈ 12.56637 สเตอเรเดียน และมุมในทรงตันที่มากที่สุดที่เป็นไปได้ก็คือ 4π สเตอเรเดียนนั่นเอง สเตอเรเดียนสามารถเรียกอีกอย่างหนึ่งได้ว่า ตารางเรเดียน

หนึ่งสเตอเรเดียนยังมีค่าเท่ากับพื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยมบนพื้นผิวทรงกลมที่มีมุมเกิน 1 เรเดียน หรือเท่ากับพื้นที่ แม่แบบ:เศษ ของพื้นที่ผิวทรงกลม หรือเท่ากับ (แม่แบบ:เศษ)² ≈ 3282.80635 ตารางองศา

เราสามารถหาสูตรของมุมตัน (ในหน่วยสเตอเรเดียน) ที่เกิดจากภาคตัดขวางของรูปทรงกรวย ที่รองรับมุมเรเดียน 2θ ได้ดังนี้

$\begin{array}{cc}\mathrm{\Omega }& =\frac{A}{r}\\ & =\frac{2\pi rh}{r^2}\\ & =\frac{2\pi h}{r}\\ \end{array}$

จะได้

$\frac{h}{r}=\frac{\mathrm{\Omega }}{2\pi }$

$\begin{array}{cc}\theta & ={\cos }^{-1}\left(\frac{r-h}{r}\right)\\ & ={\cos }^{-1}(1-\frac{h}{r})\\ & ={\cos }^{-1}(1-\frac{\mathrm{\Omega }}{2\pi })\\ \cos \theta =1-\frac{\mathrm{\Omega }}{2\pi }\\ \end{array}$

$\mathrm{\Omega }=2\pi (1-\cos \theta )$

ถ้าให้มุมที่จุดยอดของกรวยเป็น θ สมการความสัมพันธ์ดังกล่าวจะเป็น

$\mathrm{\Omega }=2\pi (1-\cos \frac{\theta }{2})$

ความคล้ายคลึงกับหน่วยเรเดียน

ในสองมิติ มุมเรเดียนมีความสัมพันธ์กับส่วนของเส้นโค้งที่รองรับดังนี้

$\theta =\frac{l}{r}$

เมื่อ

l แทน ส่วนของเส้นโค้ง

r แทน รัศมีของวงกลม

ในสามมิติ มุมตันในหน่วยสเตอเรเดียนมีความสัมพันธ์กับพื้นที่ที่รองรับดังนี้

$\mathrm{\Omega }=\frac{S}{r^2}$

เมื่อ

S แทน พื้นที่ผิว

r แทน รัศมีของทรงกลม

พหุคูณของเอสไอ

มุมสเตอเรเดียนมีค่าสูงสุดเพียงแค่ 4π ≈ 12.56637 ดังนั้นหน่วยสเตอเรเดียนจึงไม่ต้องอาศัยตัวคูณให้มากขึ้น แต่สำหรับตัวหารแล้ว เราสามารถเปรียบเทียบขนาดของพหุคูณเอสไอของสเตอเรเดียนได้ดังนี้

พหุคูณ	ชื่อ	สัญลักษณ์	ขนาดเมื่อเทียบกับโลก
101	เดคาสเตอเรเดียน	dasr	ใหญ่กว่าพื้นน้ำทั้งหมดบนโลกเล็กน้อย
100	สเตอเรเดียน	sr	ประมาณทวีปเอเชีย
10−1	เดซิสเตอเรเดียน	dsr	พื้นที่ของอาร์เจนตินารวมกับเปรู
10−2	เซนติสเตอเรเดียน	csr	พื้นที่ของโคลัมเบีย
10−3	มิลลิสเตอเรเดียน	msr	พื้นที่ของสวิตเซอร์แลนด์
10−6	ไมโครสเตอเรเดียน	µsr	พื้นที่ของแซนตามอนิกา (รัฐแคลิฟอร์เนีย)
10−9	นาโนสเตอเรเดียน	nsr	พื้นที่ของสนามอเมริกันฟุตบอล 8 สนาม
10−12	พิโคสเตอเรเดียน	psr	พื้นที่ของอพาร์ตเมนต์ขนาดเล็ก
10−15	เฟมโตสเตอเรเดียน	fsr	พื้นที่ของกระดาษ A5
10−18	อัตโตสเตอเรเดียน	asr	พื้นที่ขนาด ¼ ตารางนิ้ว
10−21	เซปโตสเตอเรเดียน	zsr	พื้นที่หน้าตัดของสายไฟเบอร์ 32
10−24	ยอกโตสเตอเรเดียน	ysr	พื้นที่ผิวของเซลล์เม็ดเลือดแดง