กฎโคไซน์ของลัมแบร์ท

กฎโคไซน์ของลัมแบร์ท (Lambert's cosine law) ในทางทัศนศาสตร์ คือกฎที่กล่าวว่าความเข้มของการส่องสว่างหรือความเข้มของการแผ่รังสีที่สังเกตได้จากพื้นผิวสะท้อนแสงพร่าในอุดมคติจะแปรตามค่าโคไซน์ของมุม θ ระหว่างลำแสงตกกระทบกับแนวฉากผิวของวัตถุ เรียกอีกอย่างว่า กฎการแผ่รังสีโคไซน์ (cosine emission law) หรือ กฎการแผ่รังสีของลัมแบร์ท (Lambert's emission law) ตั้งชื่อตามโยฮัน ไฮน์ริช ลัมแบร์ท จากหนังสือ Photometria ของเขาที่ตีพิมพ์เป็นภาษาละตินในปี 1760

พื้นผิวที่เป็นไปตามกฎโคไซน์ของลัมแบร์ทเรียกว่าเป็น ผิวลัมแบร์ท (Lambertian surface) และมีคุณสมบัติการสะท้อนแบบลัมแบร์ท พื้นผิวลัมแบร์ทจะมีความแผ่รังสีเท่ากันไม่ว่าเมื่อมองจากมุมใด และในสายตาของมนุษย์ก็จะมองว่ามีความสว่างเท่ากันในทุกมุม เหตุผลที่พื้นผิวลัมแบร์ทมีความส่องสว่างเท่ากันคือ แม้ว่าความส่องสว่างที่ปล่อยออกมาจากพื้นที่ที่พิจารณาจะลดลงตามโคไซน์ของมุมการแผ่รังสี แต่ขนาดที่ปรากฏของพื้นที่ที่ผู้สังเกตมองเห็นก็จะลดลงตาม ดังนั้นค่าความแผ่รังสี (= ฟลักซ์รังสี/มุมตัน/พื้นที่การฉาย) จึงเท่ากัน

แสงพร่าและการแผ่รังสีบนผิวลัมแบร์ท

หากพื้นที่หนึ่ง ๆ ปล่อยรังสีออกมาเนื่องจากถูกส่องสว่างโดยแหล่งกำเนิดแสงภายนอก ความรับอาบรังสี (พลังงาน/เวลา/พื้นที่) ที่ตกบนพื้นที่นั้นจะแปรตามค่าโคไซน์ของมุมระหว่างแนวฉากของผิวกับมุมที่แสงตกกระทบ การกระเจิงบนผิวลัมแบร์ทนั้นจะเกิดขึ้นกับแสงที่ตกกระทบ โดยเกิดการกระเจิงในลักษณะเดียวกับกฎโคไซน์ในการแผ่รังสีบนผิวลัมแบร์ท ซึ่งหมายความว่าแม้ว่าค่าความแผ่รังสีของผิวลัมแบร์ทจะขึ้นอยู่กับมุมระหว่างแนวฉากของผิวกับทิศทางไปแหล่งกำเนิดแสง แต่ก็ไม่ได้ขึ้นอยู่กับมุมมองของผู้สังเกต

หากเรามองว่าพื้นผิวของดวงจันทร์เป็นผิวลัมแบร์ท ความสว่างควรจะลดลงอย่างมากที่บริเวณใกล้ขอบของดวงจันทร์ เนื่องจากมุมตกกระทบของแสงที่ตกกระทบจากดวงอาทิตย์เพิ่มขึ้น อย่างไรก็ตาม ในความเป็นจริงแล้วความสว่างไม่ได้ลดลง จึงกล่าวได้ว่าผิวดวงจันทร์ไม่ได้เป็นผิวลัมแบร์ท นอกจากนี้ ในทางปฏิบัติแล้ว แสงที่มุมตกกระทบเอียงจะกระเจิงมากกว่า เมื่อเทียบกับพื้นผิวลัมแบร์ท

การแผ่รังสีจากผิวลัมแบร์ทนั้นไม่ได้ขึ้นอยู่กับปริมาณรังสีรวมที่ตกกระทบ แต่ขึ้นอยู่กับการแผ่รังสีจากตัวแหล่งกำเนิดเอง ตัวอย่างเช่น สมมติว่าดวงอาทิตย์เป็นแหล่งกำเนิดรังสีแบบลัมแบร์ท อาจกล่าวได้ว่าพื้นผิวของดวงอาทิตย์มีความสว่างเท่ากันตลอดพื้นผิว อย่างไรก็ตาม ในความเป็นความจริงแล้วดวงอาทิตย์ไม่ใช่แหล่งกำเนิดรังสีแบบลัมแบร์ทเนื่องจากมีการมืดคล้ำที่ขอบ ตัวอย่างแหล่งกำเนิดรังสีแบบลัมแบร์ทคือวัตถุดำ

การพิสูจน์ความเท่ากันของความสว่าง

รูปที่ 1: การแผ่รังสีในแนวฉากและนอกแนวฉาก (โฟตอน/วินาที) จำนวนโฟตอนต่อวินาทีภายในพื้นที่รูปลิ่มแต่ละช่องนั้นแปรผันตามพื้นที่ของลิ่มนั้น

รูปที่ 2: ความเข้มแสงที่สังเกตการณ์ได้ (โฟตอน/(s·cm2·sr)) จากแนวและนอกแนวฉาก dA0 คือพื้นที่ของรูรับแสงที่มองอยู่ dΩ คือมุมตันบนพื้นผิวซึ่งมองจากจุดสังเกตการณ์

การเกิดการสะท้อนบนผิวลัมแบร์ทแสดงดังในรูปที่ 1 และ 2 ในที่นี้เพื่อให้เห็นภาพชัดเจนขึ้น จะอธิบายในรูปของจำนวนโฟตอน แทนพลังงานการส่องสว่างหรือความแผ่รังสี พื้นที่รูปลิ่มแต่ละช่องภายในวงกลมล้วนมีมุมขนาด dΩ เท่ากัน และจำนวนโฟตอนต่อวินาทีที่ฉายรังสีไปยังพื้นที่รูปลิ่มคงที่เท่ากันตลอดผิวลัมแบร์ท

ความยาวของลิ่มแต่ละอันสามารถมองว่าเป็นผลคูณของเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลมและ cos(θ) นอกจากนี้ โฟตอนที่ปล่อยออกมาต่อหน่วยมุมตันจะมีค่าสูงสุดที่แนวฉาก และจะเป็นศูนย์ที่ θ = 90° ในทางคณิตศาสตร์ ความแผ่รังสีที่แนวฉากแสดงเป็น "ต่อวินาที ต่อตารางเมตร ต่อสเตอเรเดียน" (s·cm²·sr) โดยจำนวนโฟตอนที่ปล่อยออกมาจากพื้นที่ลิ่มแนวตั้งต่อวินาทีจะเป็น / dΩ dA ส่วนจำนวนโฟตอนที่ปล่อยออกมาต่อวินาทีที่มุม θ จากลิ่มแนวตั้งก็จะเป็น /cos(θ) dΩ dA

รูปที่ 2 เป็นแผนภาพแสดงมุมมองจากจุดสังเกต เมื่อมองจากด้านบนพื้นที่หน่วยหนึ่งโดยตรง จะมองเห็นพื้นที่ dA ที่มีมุมตันเป็น dΩ₀ ผ่านรูรับแสงพื้นที่ dA₀ อาจสรุปได้ว่า รูรับแสงดังกล่าวจะทำให้เกิดมุมทึบขนาด dΩ ในกรณีเมื่อมองจากพื้นที่หนึ่งหน่วย จุดสังเกตการณ์ของค่าที่แนวฉากนี้จะบันทึกได้เป็น /dΩ dA โฟตอน/วินาที และความแผ่รังสีที่วัดได้จะกลายเป็น

$I_0=\frac{Id\mathrm{\Omega }dA}{d{\mathrm{\Omega }}_{0}d{A}_0}$ /(s·cm²·sr)

เมื่อมองจากจุดสังเกตการณ์ที่ทำมุม θ กับแนวฉาก จะสังเกตการณ์พื้นที่หน่วยขนาด dA ผ่านรูรับแสงเดียวกันที่พื้นที่ dA₀ แล้วมีขนาดมุมตันเป็น dΩ₀ cos(θ) ที่จุดสังเกตการณ์นี้ค่าที่ถูกบันทึกจะเป็น /cos(θ) dΩ dA โฟตอน/วินาที และค่าความแผ่รังสีที่วัดได้จะเป็น

$I_0=\frac{I\cos (\theta )d\mathrm{\Omega }dA}{d{\mathrm{\Omega }}_0\cos (\theta )d{A}_0}=\frac{Id\mathrm{\Omega }dA}{d{\mathrm{\Omega }}_{0}d{A}_0}$ โฟตอน/(s·cm²·sr)

ซึ่งมีค่าเท่ากับเมื่อมองจุดสังเกตการณ์บนแนวฉาก ดังนั้นจึงได้ข้อสรุปว่าความแผ่รังสี (หรือความสว่าง) จะไม่ขึ้นอยู่กับมุมที่สังเกตการณ์

ฟลักซ์ส่องสว่างและความเข้มของการส่องสว่างสูงสุด

โดยทั่วไปความเข้มของการส่องสว่าง ณ จุดหนึ่ง ๆ บนพื้นผิวหนึ่ง ๆ จะแตกต่างกันไปตามทิศทาง บนพื้นผิวลัมแบร์ท การกระเจิงของรังสีถูกกำหนดโดยกฎโคไซน์ โดยขึ้นกับค่าสูงสุดของการส่องสว่างที่แนวฉาก สมมติว่าถ้าพื้นผิวเป็นผิวลัมแบร์ท ให้ฟลักซ์ส่องสว่างรวมเป็น $F_{tot}$ และความเข้มของการส่องสว่างสูงสุดเป็น $I_{max}$ จากกฎโคไซน์แล้วได้ว่า

$F_{tot}=\underset{0}{\overset{\pi /2}{\int }}\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}\cos (\theta )I_{max}\sin (\theta )\mathrm{d}\varphi \mathrm{d}\theta$

$=2\pi \cdot I_{max}\underset{0}{\overset{\pi /2}{\int }}\cos (\theta )\sin (\theta )\mathrm{d}\theta$

$=2\pi \cdot I_{max}\underset{0}{\overset{\pi /2}{\int }}\frac{\sin (2\theta )}{2}\mathrm{d}\theta$

ดังนั้น

$F_{tot}=\pi \mathrm{s}\mathrm{r}\cdot I_{max}$

ในที่นี้ $\sin (\theta )$ คือดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ยาโคบีสำหรับทรงกลมหนึ่งหน่วย และ $I_{max}$ คือฟลักซ์ส่องสว่างต่อสเตอเรเดียน ในทำนองเดียวกัน ความเข้มสูงสุดจะเท่ากับค่าฟลักซ์ส่องสว่างที่แผ่มาคูณด้วย $1/(\pi \mathrm{s}\mathrm{r})$

ตัวอย่าง: พื้นผิวที่มีความสว่าง cd/m² (=100 nt, จอภาพ PC ทั่วไป) หากเป็นผิวลัมแบร์ทโดยสมบูรณ์แบบ จะมีความเข้มของการแผ่รังสีที่ 314 lm/m² สำหรับพื้นที่ 0.1 m² (≒ จอภาพ 19 นิ้ว) ปริมาณแสงที่ปล่อยออกมา หรือฟลักซ์ส่องสว่างทั้งหมดจะเป็น 31.4 lm

ดูเพิ่ม

• ความส่งผ่าน
• ความสะท้อน